LICENCE Physique & Applications 2009-2010 L3 – S5 – UFR Sciences & Ingénierie
Option Mécanique des Fluides I
Allée de von Karman derrière un
cylindre-Image équipe ITD-IMFS Dany Huilier
Examen d’option Mécanique des Fluides I – Session II de juin Lundi 7 juin 2010 –Amphi Fresnel
Durée : 2h (14h-16h)
Toutes notes et documents autorisées, sauf les ouvrages.
Problème
Déterminez la chute de pression dans un conduite horizontale en fonte neuve de L =300 m long et de D = 0.20m de diamètre. La vitesse moyenne V de l’eau est de 1.7 m/s, la densité de l’eau est de 999 kg/m3, sa viscosité cinématique est de 1.12E-6 m2/s et la rugosité absolue ε est obtenue à partir du tableau ci-dessous (fonte neuve).
Déterminez
• la chute de pression
Δ p
dans la conduite,• la contrainte à la paroi
• la puissance à fournir par une pompe dont le rendement est de 60 % pour véhiculer l’eau dans la conduite
On calculera à titre de comparaison le coefficient de perte de charge f à l’aide a) du diagramme de Moody
b) de l’équation de Haaland (1983)
⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎣
⎡ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
−
=
11 . 1
10
3 . 7
/ Re
9 . log 6 8 .
1 1 D
f
ε
c) Dans le cas des écoulements d’eau, on peut tout-à-fait utiliser des lois des écoulements en canaux à surface libre voire en conduites d’eau partiellement remplies ou entièrement pleines.
On se propose de vérifier la loi de Hazen-Williams donnée (en unités SI) par :
54 . 0 63 . 0
H
S
R C 8492 . 0 V =
avec :V vitesse de débit (m/s) RH : rayon hydraulique (m)
C : coefficient de rugosité de Hazen-Williams
S : pente de la ligne de charge (perte de charge exprimée en mètre par unité de longueur, donc sans unité)
Vérifiez si cette loi corrobore les données du problème (donne une vitesse de débit proche de celle de l’énoncé) et les résultats de calcul de perte de charge la question a) en utilisant le tableau qui donne le coefficient de rugosité de Hazen-Williams pour différentes conduites. Pour ce faire, à partir de la réponse de la question a), calculez d’abord la perte de charge (exprimée en mètre de colonne d’eau
par le périmètre mouillé Pm. Dans le cas d’une conduite circulaire pleine de rayon R, et , donc
2
m
R
S = π
R2 Pm = π
2 2
2
R
R R
H= R =
π π
Tableau 1: Rugosité moyenne de conduites commerciales
Matériau Condition Rugosité absolue en mm
Acier Feuille de métal neuve Acier inoxydable Commercial, neuf
Rivé Rouillé
0.05 0.002 0.046 3.0 2.0
Fer Fonte, neuve
Forgé, nouveau Galvanisé, nouveau
Fonte asphaltée
0.26 0.046
0.15 0.12
Cuivre Tube étiré 0.002
Plastique Tube étiré 0.0015
Verre Lisse Béton Lisse
Rugueux
0.04
Caoutchouc Lisse 0.012.0 Bois Défoncé 0.5
Solution : Écrivons l’équation de Bernoulli entre l’entrée (section 1) et la sortie (section 2) de la conduite
h
fg z V z p
g V
p
1+
12+
1=
2+
22+
2+ 2
2 γ
γ
où z1 =z2et V1 =V2 =1.7 m/s,
g V D f L h
f2
=
2 avec L = 300 m, D = 0.20 m et f peut être évalué à partir du diagramme de Moody. L’équation de Bernoulli donne :2 2
1
2
1 V D f L p p
p = − = ρ
Δ
Le nombre de Reynolds est donné par :303570 10
12 . 1
20 . 0 7 .
Re = UD = 1 x
−6= ν
On a comme rugosité relative : 0.0013 20
. 0 00026 .
0 =
= m
m D
ε
Car ε = 0.26E-3 m pour de la fonte neuve.
Une lecture sur le diagramme de Moody donne :
f = 0 . 022
De même l’équation de Haaland donne :
788 . 7 6
. 3 0013 . 0 303570
9 . log 6
8 . 7 1
. 3
/ Re
9 . log 6 8 .
1 1
1.1110 11
. 1
10
=
⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎣
⎡ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
−
⎥ =
⎥ ⎦
⎤
⎢ ⎢
⎣
⎡ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
−
= D
f
ε
Ce qui donne : f = 0.0217
La perte de charge est donnée par :
) ( / 47637 )
7 . 1 ( 2 999 1 20 . 0 022 300 . 2 0
1
2 2 22
1
V N m Pa
D f L p p
p = − = = =
Δ ρ
La puissance dissipée est donnée par
:
Watts D
U p S U p
W = Δ . . = Δ . . π 2/ 4 = 47637 .( 1 . 7 ). π .( 0 . 20 )
2/ 4 = 2544
La pompe de rendement 0.6 devra fournir 2544/0.6 = 4240 Watts
La contrainte à la paroi est donnée par :L Pa pR
W
7 . 94
600 ) 1 . 0 )(
47637 (
2 = =
= Δ τ
On applique la loi de Hazen-Williams donnée (en unités SI) par :
54 . 0 63 . 0
H
S
R C 8492 . 0 V =
avec :V vitesse de débit (m/s) RH : rayon hydraulique (m)
C : coefficient de rugosité de Hazen-Williams
S : pente de la ligne de charge (perte de charge exprimée en mètre par unité de longueur, donc sans unité)
Dans le cas d’une conduite circulaire pleine de rayon R,
S
m= π R
2 et Pm =2πR, doncR m
R
R
HR 0 . 05 2
2
2
= =
= π π
La pente de ligne de charge vaut : 0.0162 )
300 )(
81 . 9 )(
998 (
47637 =
Δ =
= gL S P
ρ
On pourra prendre comme valeur du coefficient de Hazen-Williams : C = 130
s m S
R C
V =0.8492 H0.63 0.54 =0.8392(130)(0.05)0.63(0.0162)0.54 =1.806 /
Tuyaux droits et très lisses 140
Tuyaux de fonte lisses et neufs 130
Tuyaux de fonte usés et d’acier riveté neufs 110
Tuyaux d’égouts vitrifiés 110
Tuyaux de fonte ayant quelques années d’usage 100
Tuyaux de fonte en mauvais état 80
Tableau 2 : Quelques valeurs du coefficient C de Hazen-Williams
Diagramme de Moody - Nikuradse
Equations de la couche limite – analyse dimensionnelle
On part des équations de Navier-Stokes en écoulement bidimensionnel incompressible stationnaire : En sachant que la dimension suivant x est L, suivant y est δ, avec δ/L = ε << 1, que la dimension de U(x,y) est Ua, celle de V(x,y) est Va
L’équation de continuité en 2D s’écrit :
0 ,
0 0
= +
= +
∂ = +∂
∂
∂
L V L U V
L U
y V x U
a a a
a
δ ε
Alors : V
a≈ ε . U
a⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ +∂
∂ + ∂
∂
− ∂
∂ = + ∂
∂
∂
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2
.
1.
L U L U L
U L U
U L U U
V L U
y U x
U x
P y
V U x U U
a a a
a
a a a
a a
ν ε ν δ δ
ρ ν
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ +∂
∂ + ∂
∂
− ∂
∂ = + ∂
∂
∂
2 2 2
2 2
2
2 2 2 2
1.
L V L
V L
U V L U V
V L
V V
L U V
y V x
V y
P y
V V x U V
a a
a a a a
a a
a a a
ν ε ν δ δ
ρ ν
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ + ∂
∂
− ∂
∂ = + ∂
∂
∂
2 2
1.
y U x
P y
V U x
U U
ν
ρ
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ + ∂
∂
− ∂
∂ = + ∂
∂
∂
2 2
1.
y V y
P y
V V x
U V
ν
ρ
En première approximation à epsilon près :
x P y
P
∂
≈ ∂
∂
∂ ε et P ( x , y ) ≈ P ( x )
y P
y U dx
dP y
V U x U U
∂
− ∂
=
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ + ∂
−
∂ = + ∂
∂
∂ 1 . 0
1 .
2 2
ρ
ρ ν
Soit :
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
≈ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
= ∂
∂ + ∂
∂
∂
2 2
2 2
ν δ ν
a
a
U
L U
y U y
V U x U U
Ce qui donne une approximation de l’épaisseur de couche limite :
