Δ=Δ / gph = SRC8492.0V ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−= 7.3/Re9.6log8.11 Df Δ p

LICENCE Physique & Applications 2009-2010 L3 – S5 – UFR Sciences & Ingénierie

Option Mécanique des Fluides I

Allée de von Karman derrière un

cylindre-Image équipe ITD-IMFS Dany Huilier

Examen d’option Mécanique des Fluides I – Session II de juin Lundi 7 juin 2010 –Amphi Fresnel

Durée : 2h (14h-16h)

Toutes notes et documents autorisées, sauf les ouvrages.

Problème I : Perte de charges régulières (linéaires) dans les conduites

Déterminez la chute de pression dans un conduite horizontale en fonte neuve de L =300 m long et de D = 0.20m de diamètre. La vitesse moyenne V de l’eau est de 1.7 m/s, la densité de l’eau est de 999 kg/m³, sa viscosité cinématique est de 1.12E-6 m²/s et la rugosité absolue ε est obtenue à partir du tableau ci-dessous (fonte neuve).

Déterminez

• la chute de pression

Δ p

• la contrainte à la paroi

• la puissance à fournir par une pompe dont le rendement est de 60 % pour véhiculer l’eau dans la conduite

On calculera à titre de comparaison le coefficient de perte de charge f à l’aide a) du diagramme de Moody

b) de l’équation de Haaland (1983)

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

−

=

11 . 1

10

3 . 7

/ Re

9 . log 6 8 .

1 1 D

f

ε

c) Dans le cas des écoulements d’eau, on peut tout-à-fait utiliser des lois des écoulements en canaux à surface libre voire en conduites d’eau partiellement remplies ou entièrement pleines.

On se propose de vérifier la loi de Hazen-Williams donnée (en unités SI) par :

54 . 0 63 . 0

H

S

R C 8492 . 0 V =

V vitesse de débit (m/s) RH : rayon hydraulique (m)

C : coefficient de rugosité de Hazen-Williams

S : pente de la ligne de charge (perte de charge exprimée en mètre par unité de longueur, donc sans unité)

Vérifiez si cette loi corrobore les données du problème (donne une vitesse de débit proche de celle de l’énoncé) et les résultats de calcul de perte de charge la question a) en utilisant le tableau qui donne le

par le périmètre mouillé Pm. Dans le cas d’une conduite circulaire pleine de rayon R, et , donc

2

m

R

S = π

2 P_m = π

2 2

2

R

R R

= R =

π π

Tableau 1: Rugosité moyenne de conduites commerciales

Matériau Condition Rugosité absolue en mm

Acier Feuille de métal neuve Acier inoxydable Commercial, neuf

Rivé Rouillé

0.05 0.002 0.046 3.0 2.0

Fer Fonte, neuve

Forgé, nouveau Galvanisé, nouveau

Fonte asphaltée

0.26 0.046

0.15 0.12

Cuivre Tube étiré 0.002

Plastique Tube étiré 0.0015

Verre Lisse Béton Lisse

Rugueux

0.04

Caoutchouc Lisse 0.012.0 Bois Défoncé 0.5

Tableau 2 : Quelques valeurs du coefficient C de Hazen-Williams

Tuyaux droits et très lisses 140

Tuyaux de fonte lisses et neufs 130

Tuyaux de fonte usés et d’acier riveté neufs 110

Tuyaux d’égouts vitrifiés 110

Tuyaux de fonte ayant quelques années d’usage 100

Tuyaux de fonte en mauvais état 80

Diagramme de Moody - Nikuradse

Rappels théoriques : Perte de charges régulières (linéaires) dans les conduites Equation de Darcy-Weisbach (1854,1845)

Loi générale de la perte de charge Δh , Δp est

g D h LU

2 . . ²

λ

=

Δ

,

D h LU

g

p . 2 .

ρ

λ ρ Δ =

= Δ D

D LU h

g

p

. ). 2 / (Re,

ρ

ε λ

ρ Δ =

=

Δ , si Δh est exprimé en mètre de colonne d’eau

(mCE) , notation des hydrauliciens avec :

λ : coefficient de perte de charge U : vitesse moyenne de débit (=Q/S) Q : débit volumique, S section de la conduite

D : diamètre de la conduite, L : longueur du tronçon de la conduite λ est fonction du nombre de Reynolds et de la rugosité relative ε/D

Diagramme de Moody - Nikuradse

Problème II : Equations de la couche limite – analyse dimensionnelle

On considère l’écoulement sur un objet plan (dit de couche limite). En partant de l’équation de continuité et des équations de Navier-Stokes en écoulement bidimensionnel incompressible stationnaire :

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

∂ + ∂

∂

− ∂

∂ = + ∂

∂

∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

∂ + ∂

∂

− ∂

∂ = + ∂

∂

∂

∂ = +∂

∂

∂

2 2 2 2

2 2 2 2

1. 1. 0

y V x

V y

P y

V V x U V

y U x

U x

P y

V U x U U

y V x U

ρ ν ρ ν

et en sachant que la dimension suivant x est L, suivant y est δ, avec δ/L = ε << 1, que la dimension de U(x,y) est Ua, celle de V(x,y) est Va :

Montrez que ces équations se réduisent dans un premier temps à :

y P

y U dx

dP y

V U x U U

∂

− ∂

=

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

−

∂ = + ∂

∂

∂ 1 . 0

1 .

2 2

ρ

ρ ν

puis, sans gradient de pression extérieur (P(x→∞)=P_∞) à :

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂

∂ + ∂

∂

∂

2 2

y U y

V U x

U U

ν

ce qui donne, par le biais de l’analyse dimensionnelle, une approximation de l’épaisseur de couche limite :

L

U

δ ≈ ν