D60438. Sans compas
Sur la feuille apparaissent les trois sommets d’un triangle, ainsi qu’un cercle passant par deux des sommets et le centre du cercle inscrit (mais ce dernier point n’apparaît pas, non plus que le centre du cercle tracé).
Il s’agit de déterminer le centre du cercle inscrit, alors qu’on ne dispose que d’une règle (non graduée).
Solution
SoitAsommet du triangle extérieur au cercle,B etC sommets sur le cercle, I centre du cercle inscrit à construire ; les perpendiculaires en B à IB et en C àIC se coupent enJ centre du cercle exinscrit dans l’angleA.IJ est un diamètre du cercle donné en même temps que la bissectrice de l’angleA. La symétrie par rapport à la droiteAIJ conserve le cercle et échange les droites AB et AC; celles-ci recoupent le cercle en B0 et C0; B0C0 est symétrique deBC et son intersection avecBC fournit un point deAIJ, permettant de construireI.
Exception : siAB =AC,ABetACsont tangentes au cercle ; la construction ci-dessus est inopérante et le problème est impossible avec la règle seule, comme il résulte de l’ouvrage “Théorie des corps” de Jean-Claude Carréga (référence fournie par Christian Stéfani).
