http://alexandre.boisseau.free.fr/Prive/WWW/MathsPCet/dm4.pdf
DM 4 pour le Vendredi 7 janvier PC
*Pensez à faire une marge sur vos copies (minimum 5 cm).
On considère dans ce problème un entier n avec nÊ2. Pour une matrice A∈Mn(R), on définit l’ensemble :
R(A)=©
B∈Mn(R)|B2=Aª On définit également l’ensemble :
SP=©
M∈Mn(R)|SpR(M)⊂R+∗ª
Dans tout le sujet, E désigne unR-espace vectoriel de dimension finie avec n=dimE . Partie 1 Autour deR(In)
1. Pour un réelα, calculer µ1 α
0 −1
¶2
. L’ensembleR(I2) est il fini ? L’ensembleR(In) est-il fini ? 2. Rappeler la définition d’une symétrie deE. Donner la matrice d’une symétrie dans une base adaptée deE.
3. Quelles sont les symétriessdeEtelles que Sp(s)⊂R+∗?
4. Démontrer queR(In)∩SPcontient une unique matrice et préciser quelle est cette matrice.
Partie 2 Quelques résultats généraux
5. Montrer que siA∈SPetAest diagonalisable, alorsR(A)∩SPest non vide.
On considère dans la suite de cette partie une matrice A diagonalisable telle que A∈SP ainsi que des matrices B et C appartenant àR(A)∩SP. On note f , g et h les endomorphismes deRncanoniquement associés respectivement à A, B et C respectivement. On noteλ1, . . . ,λples valeurs propres distinctes de A (ce sont donc des réels strictement positifs) et E1, . . . ,Eples sous-espaces propres associés, autrement dit Ei=Ker(A−λiIn)pour i∈ 1,p.
6. Démontrer queE1, . . . ,Epsont stables pargeth.
7. Soiti∈ 1,p, on notegi ethiles endomorphismes deEiinduits respectivement pargethet on posesi=λ−1/2i gietri=λ−1/2i hi. Démontrer quesietrisont des symétries deEiet que leurs valeurs propres sont strictement positives. Que peut-on en déduire sursietri?
8. Démontrer queg=hpuis en déduire le cardinal de l’ensembleR(A)∩SP.
Dans la suite du problème, pour une matrice A∈SP diagonalisable, on notep
A l’unique matrice appartenant àR(A)∩SP.
9. Quelques exemples.
(a) SoitA= µ4 4
0 16
¶
. Justifier quep
Aexiste et expliciter cette matrice.
(b) Justifier quep
Inexiste et expliciter cette matrice.
Partie 3 Deux exemples
On considère dans cette partie les matrices A2= µ2 1
1 2
¶ et A3=
3 −1 1
1 1 1
1 −1 3
.
10. Démontrer que la matrice A2est diagonalisable et déterminer une matriceP ∈GL2(R) telle queP−1A2Psoit une matrice diagonale (on choisira la matricePde sorte que les coefficients de sa première ligne soient tous égaux à 1).
11. SoitB∈M2(R), on poseB0=P−1B PetD=P−1A2P. (a) Démontrer que :B∈R(A2)≺=ÂB0∈R(D).
(b) Démontrer que siB0∈R(D), alorsB0etD commutent.
(c) Déterminer les éléments deR(D).
(d) Déterminer les éléments deR(A2) (en utilisant les matricesPetP−1). Préciser en particulier le cardinal deR(A2).
(e) Déterminer le cardinal deR(A2)∩SP.
12. Démontrer que la matrice A3est diagonalisable et déterminer une matriceP ∈GL3(R) telle queP−1A3Psoit une matrice diagonale (on choisira la matricePde sorte que les coefficients de sa première ligne soient tous égaux à 1).
13. Démontrer que l’ensembleR(A3) n’est pas fini. Que peut-on dire de l’ensembleR(A3)∩SP? Partie 4 Étude d’un algorithme d’approximation de pA
14. Soienta∈R+∗et (uk)kÊ0la suite définie par récurrence en posant : u0=1
∀k∈N,uk+1=1 2 µ
uk+ a uk
¶
(a) Démontrer que la suite (uk)kÊ0est bien définie et à valeurs strictement positives.
(b) Justifier que pourk∈N,u2k+1−aÊ0.
(c) Démontrer que la suite (uk)kÊ1est décroissante.
(d) Démontrer que la suite (uk)kÊ0converge et préciser sa limite.
15. SoitA∈SPdiagonalisable. On définit une suite de matrices (Uk)kÊ0en posant : U0=In
∀k∈N,Uk+1=1 2
¡Uk+AUk−1¢
Justifier que la suite (Uk)kÊ0est bien définie. Démontrer que la suite (Uk)kÊ0converge et préciser sa limite.
16. Écrire dans le langage PYTHONune fonctionapprox(A,k)qui calcule et renvoie la matriceUk définie à partir de la matriceA. On rappelle que :
• A.dot(B)effectue le produit matriciel deAetB;
• np.identity(n)renvoie la matrice identité de taillen;
• np.linalg.inv(A)renvoie l’inverse de la matriceA(inversible).
Utiliser cette fonction pour vérifier les résultats de la question 12.
17. Déterminer la complexité de la fonctionapprox(A,k)en fonction den (dimension de la matriceA) etk. On rappelle que le produit de deux matrices carrées de taillena une complexité O(n3) et le calcul de l’inverse d’une matrice carrée de taillen(inversible) a également une complexité O(n3).
Correction DM 4
Partie 1 Autour deR(In) 1. NotonsBα=
µ1 α 0 −1
¶
. Par un calcul direct on obtient : Bα2=I2
Ainsi,Bα∈R(I2). L’ensembleR(I2) est donc infini puisqu’il contient toutes les matricesBαpour α∈Rqui sont distinctes. On définit ensuite les matrices par blocs
Cα=
µ Bα (0) (0) In−2
¶
∈Mn(R)
On a alorsCα2=In, les matricesCαpourα∈Rsont distinctes doncR(In) est également un ensemble infini.
2. On appelle symétrie deEtoute applications:E→Epour laquelle il existe deux sous-espaces vec- torielsFetG, supplémentaires dansEtels que : pour toutx∈F,s(x)=xet pour toutx∈G,s(x)= −x.
Si c’est le cas et si on noteBune base deEadaptée à la décompositionE=F⊕Getp=dimF, alors : MatB(s)=
µ Ip (0) (0) −In−p
¶
3. On reprend les notations précédentes oùsest une symétrie deEetBune base adaptée. Comme MatB(s) est diagonale, on a Sp(s)⊂{−1, 1}. Si on suppose de plus Sp(s)⊂R+∗, alors−1∉Sp(s) donc MatB(s)=Inet ainsis=idE. Réciproquement, sis=idE, alorssest une symétrie deEet Sp(s)={1}
donc Sp(s)⊂R+∗. Par conséquent, il existe une unique symétriesdeEtelle que Sp(s)⊂R+∗et cette symétrie est l’application idE.
4. ConsidéronsB∈R(In)∩SPet notonssl’application linéaire canoniquement associée àB. On a par définitionB2=Indoncs2=id et ainsisest une symétrie deRn. De plus Sp(s)=Sp(B)⊂R+∗donc d’après la question précédentes=id et ainsiB=In. Réciproquement, siB=Inon a bienB2=Inet Sp(B)={1}⊂R+∗de sorte queB∈R(In)∩SP. On en déduit queR∩SP={In}. L’ensembleR(In)∩SP contient donc une unique matrice, c’est la matrice In.
Partie 2 Quelques résultats généraux
5. On suppose queA∈SPetAest diagonalisable. Il existe alors une matriceP∈GLn(R) telle que P−1APsoit diagonale. On note :
P−1AP=
λ1 (0)
. . .
(0) λn
avecλ1, . . . ,λnR+∗puisque ce sont les valeurs propres deA. On pose :
B=P
pλ1 (0)
. . .
(0) p
λn
P−1
AlorsB2=Ace qui montre queB∈R(A). De plus, Sp(B)={p
λ1, . . . ,p
λn}⊂R+∗, ainsiB∈R(A)∩SP.
L’ensembleR(A)∩SPest par conséquent non vide.
6. On a :
f◦g=g2◦g=g3=g◦g2=g◦f
doncf etgcommutent. Par conséquent, les sous-espaces propres def,E1, . . . ,Epsont stables parg.
On montre de même quef ethcommutent doncE1, . . . ,Epsont stables parh.
7. Soitx∈Ei, on af(x)=λixdonc : s2i(x)= 1
λi
gi2(x)= 1 λi
f(x)= 1
λiλix=x
Ainsi,s2i =idEi doncsiest une symétrie (deEi). On montre de même queriest une symétrie deEi. Considéronsα∈Sp(si) etxun vecteur propre associé. On a alorsx6=0 et :
si(x)= 1 pλi
gi(x)= 1 pλi
g(x)=αx
On a alorsg(x)=p
λiαxet commex6=0,xest un vecteur propre pourgdoncp
λiα∈Sp(g). Comme Sp(g)⊂R+∗, on ap
λiα>0 et commep
λi>0 on en déduit queα>0. Ceci montre que Sp(si)⊂R+∗. On montre de même que Sp(ri)⊂R+∗. D’après les résultats précédents (question 3), on en déduit quesi=ti=idEi.
8. Avec les notations de la question précédente, on a : si= 1
pλi
gi=ti= 1 pλi
hi
et on a ainsigi=hipour touti∈ 1,p. Considéronsx∈E, les sous-espacesE1, . . . ,Epsont supplé- mentaires (puisqueAest diagonalisable) donc il existe (x1, . . . ,xp)∈E1× · · · ×Eptel que :
x=x1+ · · · +xp Alors par linéarité degeth:
g(x)=g(x1)+ · · · +g(xp)
=g1(x1)+ · · · +gp(xp)
=h1(x1)+ · · · +hp(xp)
=h(x1)+ · · · +h(xp)
=h(x)
Doncg=het on en déduit queB=C. Ceci montre que l’ensembleR(A)∩SPcontient au plus un élément. Comme on sait que cet ensemble est non vide (question 5), on en déduit queA∩SPest de cardinal 1.
9. (a) La matriceAest triangulaire supérieure, on obtient directementχA(x)=(4−x)(16−x) donc Aest diagonalisable et Sp(A)={4, 16} doncA∈SP. D’après ce qui précède,p
Aexiste. On trouve facilement :
E4(A)=Vect µ1
0
¶
E16(A)=Vect µ1
3
¶
doncP= µ1 1
0 3
¶
est inversible etP−1AP=diag(4, 16). On définit une matriceBen posant :
B=P µ2 0
0 4
¶ P−1
On a alorsB2=Pdiag(4, 16)P−1=Aet commeBest semblable à une matrice diagonale, on trouve directement Sp(B)={2, 4}⊂R+∗. Ainsi,B∈R(A)∩SP. Or cet ensemble possède un unique élément (puisque A∈SPetAest diagonalisable, question 11) et cet élément estp
A.
Ainsi :
pA=B=P µ2 0
0 4
¶ P−1
Pour finaliser le calcul, il ne reste plus qu’à expliciterP−1. On trouve facilementP−1=
µ1 −1/3 0 1/3
¶
puis en effectuant le produit :
pA=
µ2 2/3
0 4
¶
(b) La matrice Inest diagonalisable et Sp(In)={1}⊂R+∗, doncpInest bien définie. Par ailleurs, on a clairement In∈R(In)∩SP, doncp
In=In. Partie 3 Deux exemples
10. On détermine le polynôme caractéristique deA2: χA2(x)=
¯
¯
¯
¯
2−x 1 1 2−x
¯
¯
¯
¯=(x−2)2−1=(x−3)(x−1)
Le polynômeχA2 est scindé à racines simples donc A2est diagonalisable et Sp(A2)={1, 3}. Pour µx
y
¶
∈R2:
µx y
¶
∈E1(A2) ≺===Â
½ 2x+y=x
x+2y=y ≺===Â x+y=0 µx
y
¶
∈E3(A2) ≺===Â
½ 2x+y=3x
x+2y=3y ≺===Â x−y=0 Ainsi,E1(A2)=Vect
µ1
−1
¶
etE3(A2)=Vect µ1
1
¶
donc P=
µ1 1
−1 1
¶
∈GL2(R) etP−1AP=diag(1, 3).
11. (a) On utiliseB=P B0P−1etA2=P D0P−1:
B∈R(A2) ≺===Â B2=A2 ≺===Â P B02P−1=P DP−1 ≺===Â B02=D ≺===Â B0∈R(D) en multipliant à gauche parP−1et à droite parP.
(b) On suppose queB0 ∈R(D), c’est à direB02=D. On a alorsB0D =B03=DB0 doncB0 etD commutent.
(c) ConsidéronsB0∈R(D), notéeB0= µa b
c d
¶
. D’après la question précédente,B0D−DB0=0 avec D=diag(1, 3) donc :
B0D−DB0= µa b
c d
¶ µ1 0 0 3
¶
− µ1 0
0 3
¶ µa b c d
¶
=
µa 3b c 3d
¶
−
µa b 3c 3d
¶
=
µ 0 −2b
−2c 0
¶
doncb=c=0 etB0est diagonale. OrB02=Ddonc : B02=
µa2 0 0 d2
¶
= µ1 0
0 3
¶
d’où a= ±1 etd = ±p
3. Réciproquement, siB0=diag(a,d) avec a= ±1 etd = ±p 3, on a clairementB02=D. Ainsi :
R(D)=
½µ1 0
0 p
3
¶ ,
µ−1 0
0 p
3
¶ ,
µ1 0 0 −p
3
¶ ,
µ−1 0 0 −p
3
¶¾
(d) CommeB∈R(A2) est équivalent àB0∈R(D), on a : R(A2)=©
P B0P−1|B0∈R(D)ª
=
½ P
µ1 0
0 p
3
¶ P−1,P
µ−1 0
0 p
3
¶ P−1,P
µ1 0 0 −p
3
¶ P−1,P
µ−1 0 0 −p
3
¶ P−1
¾
En particulier,R(A2) est de cardinal 4.
(e) Les matrices appartenant àR(A2) sont semblables à des matrices diagonales. On peut alors facilement déterminer leur spectre :
Sp µ
P µ1 0
0 p
3
¶ P−1
¶
=n 1,p
3o Sp
µ P
µ−1 0
0 p
3
¶ P−1
¶
=n
−1,p 3o Sp
µ P
µ1 0 0 −p
3
¶ P−1
¶
=n 1,−p
3o Sp
µ P
µ−1 0 0 −p
3
¶ P−1
¶
=n
−1,−p 3o
Il existe une seule matrice appartenant àR(A2) dont le spectre est inclus dansR+∗, plus précisément :
R(A2)∩SP=
½ P
µ1 0
0 p
3
¶ P−1
¾
et ainsi card (R(A2)∩SP)=1.
12. On commence par déterminer le polynôme caractéristique deA3: χA3(x)= −
¯
¯
¯
¯
¯
¯
3−x −1 1
1 1−x 1
1 −1 3−x
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= −
¯
¯
¯
¯
¯
¯
3−x −1 1
3−x 1−x 1 3−x −1 3−x
¯
¯
¯
¯
¯
¯C1←C1+C2+C3
=(x−3)
¯
¯
¯
1 −1 1 1 1−x 1 1 −1 3−x
¯
¯
¯=(x−3)
¯
¯
¯
1 −1 1 0 2−x 0 0 0 2−x
¯
¯
¯L2←L2−L1 L3←L3−L1
=(x−3)(x−2)2
On en déduit que Sp(A3)={3, 2} puis on détermine les sous-espaces propres deA3. Pour
x y z
∈R3:
x y z
∈E3(A3) ≺===Â
3x−y+z=3x x+y+z=3y x−y+3z=3z
≺===Â
y=z x−2y+z=0 x=y
≺===Â x=y=z
x y z
∈E2(A3) ≺===Â
3x−y+z=2x x+y+z=2y x−y+3z=2z
≺===Â x−y+z=0
On a ainsi :
E3(A3)=Vect
1 1 1
E2(A3)=Vect
1 1 0
,
1 0
−1
L’espaceE2(A3) est engendré par deux vecteurs non proportionnels, donc dimE2(A3)=2 et ainsiA3 est diagonalisable. De plus, en posant P=
1 1 1
1 1 0
1 0 −1
, on aP∈GL3(R) etP−1A3P=diag(3, 2, 2).
13. On a d’après la question précédente :
A3=Pdiag(3, 2, 2)P−1 Or d’après la question 1, pour toutα∈R:
µ1 α 0 −1
¶2
= µ1 0
0 1
¶
On en déduit :
µp 2
µ1 α 0 −1
¶¶2
= µ2 0
0 2
¶
Par conséquent, toute matriceBde la forme :
B=P
p3 0 0
0 p
2 p
2α
0 0 −p
2
P−1
est telle queB2=A3, doncB∈R(A3). L’ensembleR(A3) est donc infini. La matriceAest diagonali- sable etA∈SPdonc d’après la question 8,R(A3)∩SPest de cardinal 1.
Partie 4 Étude d’un algorithme d’approximation de pA 14. (a) On considère pourk∈Nl’hypothèse de récurrence :
H(k) :uk est bien défini etuk>0
Par définition,H(0) est vraie. Soitk∈Net supposonsH(k) vraie. On a ainsiuk >0 donc uk6=0 et :
uk+1=1 2 µ
uk+ a uk
¶
est bien défini. De plus,uk+1>0 comme somme de termes strictement positifs. Par conséquent, H(k+1) est vraie. Par récurrence, la suite (uk)k∈Nest bien définie et à valeurs dansR+∗. (b) Pourk∈N:
u2k+1−a=1 4 Ã
u2k+2a+a2 u2k
!
−a=1 4 Ã
u2k−2a+a2 u2k
!
=1 4 µ
uk− a uk
¶2
Ê0
(c) Pourk∈N∗:
uk+1−uk=1 2 µ
uk+ a uk
¶
−uk=1 2
µ a uk −uk
¶
=1
2·a−uk2 uk
D’après la question précédente, pour toutk∈N,uk2+1−a Ê0. On a ainsi, pour toutkÊ1, uk2−aÊ0 et donc, sachant queuk>0,uk+1−ukÉ0. La suite (uk)kÊ1est donc décroissante.
(d) La suite (uk)kÊ1est décroissante et elle est de plus minorée par 0. Ainsi, elle converge vers une limite`Ê0, on a doncuk−−−−−→
k→+∞ `. Par définition de la suite (uk) :
∀k∈N, 2ukuk+1=u2k+a
En faisant tendrekvers+∞, on obtient 2`2=`2+asoit`2=a. Comme de plus`Ê0, on en déduit que`=p
a. Finalement, on auk−−−−−→
k→+∞
pa.
15. La matriceAest diagonalisable, donc il existeP∈GLn(R) telle queP−1APest diagonale. On note D=P−1AP=diag(a1, . . . ,an) et commeA∈SPon aa1, . . . ,an∈R+∗. On remarque qu’en calculant les termes successifs de la suite (Uk), on obtient des matrices diagonales « via la matrice de passageP» et on retrouve comme coefficients diagonaux les termes des suites (uk) définies à partir dea1, . . . ,an. Pour préciser les choses, on note (uki) la suite définie de la même manière qu’à la question précédente avec la condition initialeu0i=ai. On définit ensuite pourk∈Nla matrice :
∆k=
u1k (0)
. . .
(0) ukn
Pourk∈N, on considère l’hypothèse de récurrence :
H(k) :Uk est bien définie etUk=P∆kP−1
Par définition,H(0) est vraie. Soitk∈Net supposonsH(k) vraie. La matrice∆kest par construction inversible (diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs d’après la question précédente), doncUk=P∆kP−1est également inversible et ainsi :
Uk+1=1 2
¡Uk+AUk−1¢ est bien définie. De plus :
Uk+1=1 2
³P∆kP−1+P DP−1¡
P∆kP−1¢−1´
=1 2P¡
∆k+D∆−k1¢ P−1 or :
∆k+D∆−k1=
u1k (0)
. . .
(0) ukn
+
a1 (0)
. . .
(0) an
1/u1k (0)
. . .
(0) 1/unk
=
uk1+a1/u1k (0)
. . .
(0) unk+an/unk
1 2
¡∆k+D∆−1k ¢
=
uk1+1 (0)
. . .
(0) unk+1
=∆k+1
DoncUk+1=P∆k+1P−1. Ainsi,H(k+1) est vraie. Par récurrence, la suite (Uk) est bien définie et de plus :
∀k∈N,Uk=P
uk1 (0)
. . .
(0) unk
P−1
D’après la question précédente,uki −−−−−→
k→+∞
paidonc :
∆k−−−−−→
k→+∞
pa1 (0)
. . .
(0) pan
puis par produit de suites convergentes :
Uk=P
u1k (0)
. . .
(0) ukn
P−1−−−−−→
k→+∞ P
pa1 (0)
. . .
(0) p
an
P−1=U
La matriceUest semblable à une matrice diagonale, on a donc facilement Sp(U)={p
a1, . . . ,p an}⊂ R+∗doncU∈SP. De plus,U2=A doncU ∈R(A). Comme Aest diagonalisable et A∈SP, on en déduit queU=p
A. Ainsi,Uk−−−−−→
k→+∞
pA.
16. On utilise une variableUqui contient successivement les termesU0, . . . ,Ukcalculés à l’aide d’une bouclefor:
import numpy as np
def approx(A,k):
(n,p) = A.shape U = np.identity(n) for i in range(k):
U = (U+A.dot(np.linalg.inv(U)))/2 return U
Avec la matriceAde la question 12 et pourk=20 : A = np.array([[4,4],[0,16]]) print(approx(A,20))
[[2. 0.66666667]
[0. 4. ]]
On retrouve bien la matrice trouvée en 12.a. De même pour la matrice identité : print(approx(np.identity(3),20))
[[1. 0. 0.]
[0. 1. 0.]
[0. 0. 1.]]
17. Le calcul de l’instruction à l’intérieur de la boucle a une complexité O(n3) (il y a successivement un calcul d’inverse en O(n3), un produit en O(n3) et une somme dont on peut considérer qu’elle est en O(n2)). Comme la boucle est répétéekfois, on a finalement une complexité en O(kn3).
