(II) Géométrie affine

Cours du 7 mai 2003 – Déterminants et géométrie affine.

(I) Déterminants

Théorème : Soit n un entier naturel. Il existe une unique application de

n n

dans , noté dét, et vérifiant les propriétés suivantes :

dét est linéaire par rapport à chacune des variables, c’est-à-dire, pour un entier 1 i n et des vecteurs u₁,u₂ , ,u_n, un vecteur w_i et un scalaire , on a

1 2 1 2 1 2

dét v v, , ,v_i w_i, ,v_n dét v v, , , ,v_i ,v_n dét v v, , ,w_i, ,v_n Si on note e e₁, ₂ , ,e_n la base canonique de ⁿ, on a dét e e₁, ₂, ,e_n 1

S’il existe deux entiers i et j compris entre 1 et n avec i j et v_i v_j, alors

1 2

dét v v, , ,v_n 0 On peut aussi interpréter un déterminant comme associé à une matrice. En effet, si l’on écrit les coordonnées des vecteurs v₁,v₂ , ,v_n dans la base canonique et si on dispose ces coordonnées en

colonne on obtient une matrice

11 1

1

n

n nn

a a

A

a a

, alors, on note

11 1

1 2

1

dét , , ,

n n

n nn

a a

v v v

a a

.

Dans le cas n 1, on a a a, attention au conflit de notations. Lorsque n 2, on retrouve

a b

ad bc c d

, et pour tout n, on a

1 0 0

0 1

0 1

0 0 1

.

Règles de calcul des déterminants

1. Soient deux entiers naturels j et n avec 1 j n, alors, on a

11 1

1

1 1

1

1 1

n

j n j

j j nj nj

n nn

a a

a D a D

a a

où D_ij est le déterminant de la matrice carrée d’ordre n 1 obtenue en rayant la i^ème ligne et la j^ème colonne de A.

2. Si l’on permute deux lignes de A, le signe de détA est changé.

3. Si l’on multiplie une ligne de A par un scalaire , détA est multiplié par le même scalaire.

4. On ne change pas la valeur de détA en ajoutant à une ligne une combinaison linéaire des autres.

5. On a détA dét^tA, ainsi, on peut remplacer sans problème le mot ligne par le mot colonne dans tout ce qui précède. Il est conseillé de réécrire 1. dans ce nouveau contexte.

6. Le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit de ses coefficients diagonaux.

L’intérêt de ces règles est de faciliter le calcul d’un déterminant, le jeu consistant à faire apparaître le maximum de 0, par exemple par une méthode de type Gauss (sur les lignes et sur les colonnes), pour arriver à une matrice triangulaire.

A quoi servent les déterminants

Les deux résultats essentiels (et liés entre eux) sont :

1. Le système de vecteurs v₁,v₂ , ,v_n est une base de ⁿ si et seulement si dét v v₁, ,₂ ,v_n 0. C’est donc ce scalaire qui rendra compte ou non de la liberté de ce système (ou du fait équivalent qu’il engendre l’espace).

2. La matrice carrée d’ordre n est inversible si et seulement si détA 0.

On déduit de cela une méthode de calcul du rang d’une matrice (traduire en système de vecteurs) : Le rang de la matrice A est le plus grand entier p pour lequel il existe un déterminant d’ordre p extrait de A (l’extraction se faisant par suppression de lignes et de colonnes entières).

(II) Géométrie affine

Le cadre de la géométrie affine est encore celui, naïf, de ⁿ avec 1 n 3. Si O désigne l’origine de l’espace, on confondra si nécessaire le vecteur OA

et le point A. Pour deux points A et B, le vecteur AB

est le vecteur OB OA

, on note A u

l’unique point B avec AB u

.

Sous-espace affine et applications affines : Soit A un point de ⁿ et E un sous-espace vectoriel de

n

, l’ensemble E A E

est le sous-espace affine de direction E passant par A. Un repère affine de E

est un p-uple

1, 2, , _p

A A A de points de E

de sorte que le système de vecteurs

1 2, 1 3, , 1 _p

A A A A A A

soit une base de E. Un repère cartésien de E

est un p-uple

1 1

, , , _p

B u u où B est un point de E et

1, , _p 1

u u une base de E. On peut passer aisément de repère affine à repère cartésien, définir les coordonnées barycentriques d’un point dans un repère affine.

On appelle application affine de ⁿ dans lui-même la composée d’une application linéaire et d’une translation. Concrètement, cela signifie que si f est une application affine, il existe une application linéaire f

et un vecteur u

de sorte que, pour tout point A, on a

Of A f OA u

. Ainsi,

Of O u

.

Les translations, les homothéties sont des applications affines. On peut caractériser l’ensemble de ces applications comme ceci : L’application f est une homothétie ou une translation si et seulement s’il existe un scalaire de sorte que, pour tout couple de points

,

A B , on a

f A f B AB

.

On en déduit une propriété intéressante de l’ensemble réunissant les translations et les homothéties : il est stable par composition, ce qui n’est pas le cas de l’ensemble des homothéties. On apprendra à cette occasion à rechercher le centre d’une homothétie composée de deux autres.

Projections et symétries. Supposons que ³ P D, où P est un plan, D est une droite, et soit A un point de ³, on définit le plan P A P

et la droite D A D

. Notons que P D A

. Dans cette configuration, pour tout point M de ³, il existe un unique point M_P de P

et un unique point M_D de D

de sorte que AM AM_P AM_D

. On dit que M_P et M_D sont les projetés de M sur P

parallèlement à D et sur D

parallèlement à P. Alors, la projection sur P

parallèlement à D, et la projection sur D

parallèlement à P est une application affine.

Enfin, pour tout point M de ³, il existe un unique point

/

sP D M , et un unique point

/

sD P M de sorte que :

/

MsP D M

soit un vecteur de P, et que

/

AM AsP D M

soit un vecteur de D. Ce point

/

sP D M est le symétrique de M par rapport à P

parallèlement à D. On définit de même le symétrique de M par rapport à D

parallèlement à P. Bien entendu, ces symétries sont des applications affines… On peut aussi définir une symétrie par rapport à un point correspondant à la somme directe extrême ³ 0 ³. On caractérise ainsi symétries et projections : est une symétrie si et seulement si 3

2 1

,p est une projection si et seulement si p p p .