Sur l’intégrale <span class="mathjax-formula">$\int \frac{d \theta }{1+e\cos \theta }$</span>

(1)

N

OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

R ENÉ G ARNIER Sur l’intégrale

^R _1+ecosθ^dθ

Nouvelles annales de mathématiques 4^e série, tome 12 (1912), p. 502-505

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(2)

SUR I/NTÉ6IIILE

Ir

• e c o s 6 '

PAR M. RENÉ GARNIER.

Je me propose d'indiquer dans celle Noie comment on peut obtenir l'intégrale indéfinie

à l'aide de considérations géométriques.

1. Supposons, comme il est permis, e > o , et con- sidérons l'ellipse (E) définie en coordonnées polaires par l'équation

r_

i -+- e cos 6 '

il s'jigit d'efFecluer la quadrature- ƒ rdH. Or, soient

(l) Gesammelte Abhandlungen von H. MINKOWSKI, t. II. Voir,

p a r e x e m p l e , les pages 2 i 5 , 257, 278.

(3)

( 5o3 )

F le foyer de (E) situé au pôle des coordonnées, O le centre de (E), M un point de (E), P le point du ceccLe principal correspondant à M dans la transformation

Fig. i.

homograpliique classique, N l'intersection de OP et FM, R et S les projections de M sur le grand axe OA.

et le peut axe OB, Q l'intersection de OP avec M S et I la projection de F sur OP. J'établirai d'abord la relation

ON-4-FN = OA + OB.

On a évidemment

OW-OF °Q et FN = OF FM

or OB

FR -h QS = OF - OR -+- OR ^ - = OF - OR

F R - h Q S ' OA— OB

OA

= OF — OR ^{O F}

(OA-hOB)OA ⁼ OF-OF ^Oï 0A-4-0B

Mais, d'après la démonstration classique de Cour- celles, on a

FM = PI,

(4)

OQ -+- FM = OA -+- OB — 01.

Il en résulte immédiatement

OA + OB

C. O- F . D.

2. Quand M décrit (E), le lieu du point N est donc une ellipse (e) de foyers O et F ( ' ) . Soit alors N' un

point infiniment voisin de N sur (e) ; on a, à drs infini- ment petits d'ordre supérieur près :

sinON'N sinFN'N

mais les angles ON;N et FN'N sont supplémentaires (à un infiniment petit près) en vertu de la propriété classique de la tangente à l'ellipse ; il vient donc :

(l ) On démontrerait de même que le lieu de Pinlersection de FM avec la symétrique de OP par rapport à OA est une hyperbole homofocale à ( e).

(5)

( 5o5 )

multipliant par j ~ et employant les notations habi- tuelles, on obtient la relation

(Ï) bdy*=rd&.

La valeur de l'intégrale indéfinie cherchée est donc

—- et la formule classique

P M

l'exprime immédiatement en fonction de 0, si l'on préfère ( *).

3. La Géométrie permet encore d'établir autrement la relation ( ï ) . Soient M/ un point de (E) infiniment voisin de M et P' le point correspondant du cercle principal. On a :

. FMM' OB aireFPP' OBPP'xPI

7 d « - 2 a n e F M - 2 0 A F M - — F M •

Mais on a

PJ = FM, d'où

La première méthode, quoique plus longue, a sur la seconde l'avanlage d'être indépendanle de l'expres- sion de Taire d'un secteur infiniment petit et de sa projection sur un plan ; elle fait connaître, en outre, une propriété remarquable du point N.

(*) Rappelons qu'analytiquement la relation ( ï ) résulte du r a p - prochement d e s é q u a t i o n s b s i n o = r s i n 6 e t — ~ = ——r» dont la

r H r s i n ? sinô seconde provient de ( 2 ) par différendation logarithmique.