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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

A. F ANIEN Sur le calcul de π

Nouvelles annales de mathématiques 1

série, tome 9

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SUR LE CALCUL DE -

( v o i r t . 1 , p 1 9 0 , t I I , p 1 8 8 , t . I I I , p . 1 3 e t 5 8 , t . I V , p 1 5 6 t I X , p . 1 2 )

PAR M. A. FANIEN, Professeur à Redon (llle-et-Vilaine).

La méthode simple et facile de Lacroix donne

C, = -i

c désignant le côté du polygone régulier inscrit de n côtés ; c, le côté du polygone de in côtés, et le diamètre étant pris pour i. On tire de là

cm =r \ y 2 — y 2 -h V?. -f- . . . -f- v/4— (2rV.

Le nombre des radicaux superposés est //i -h i - On démontre que

et, par suite,

C i , . . . , Cm désignant les côtés des polygones circonscrits semblables. Donc P , Pt, . . . , Pm; p, pf,..., pm désignant les périmètres, on a

Donc — ^k désignant l'approximation demandée pour r , on devra avoir

d'où

ou, par logarithmes,

m

> H 4

Ainsi, n étant 6, on a

P=2V^, P=?>> P - y . = ? V " 3 - 3 < i , Iog4>o,6, d'où

= k i o *

> o , 6 6

Par exemple, pour h = 6, on prendra m = i o , et, par suite, dans l'expression c^rtn on devra prendre onze radi- caux pour que le périmètre pm soit la valeur approchée de 7T à

io(

Mais, dans l'expression

p^m=2^m.n c^m~i^m-^{.n.\J->, — V 2 + V 2 + • • • + ^ 4 — (^{2 r}) % le radical devant être multiplié par 2"¹"¹. n pour avoir p^m , et par suite 7: à moins de — p ce radical doit être évalué

r IO *

à moins d'une fraction plus petite que :• Ainsi, pour n = 6, fc = 6, /M = i o, on a

D'autre part, on sait qu'en extrayant la racine de 3 à —- et la racine de 2 4- \/3, à moins de - • — , on

à moins de—-, et ainsi de suite. Donc l'expression

pm~ 2m~'.6.y 2—y 2. -h V2-h ... -+-V³

donne 7i en prenant onze radicaux et extrayant les racines carrées successives avec l'approximation indiquée plus haut.

Pour k = 8, on a m >> -jr ou m = i4 ^ approximation _ \ Donc en prenant quinze radicaux et ex-

2I 3. 6 . 1 O8^ IO1 r ^

trayant les racines à moins de—-, on aura r. k moins de

i

D'ailleurs on a la formule remarquable (*)

. y 2 - V 2 -f- y 2 4 -

Les quatre méthodes dites des périmètres, des isopéri- mètres , des surfaces et des surfaces équivalentes ne sont que des transformations apparentes de la méthode précé- dente , et, par suite, on leur accorde peut-être une trop grande importance dans les examens.