N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
N. G OFFART
Évaluation géométrique de l’intégrale R
1−1 sinαdx
1−2xcosα+x2
= f (α)
Nouvelles annales de mathématiques 3
esérie, tome 4 (1885), p. 171-172
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ÉVALUATION GÉOMÉTRIQUE DE L'INTÉGRALE _
^2
PAR M. N. GOFFART.
La forme du dénominateur conduit naturellement considérer un triangle OBC, dans lequel
L/v_< ^ ^ I . \JD '•— CC* \j\J\u ^ ^ Ot.
Fig. r.
C
-
s, \ )l B B ' 4
et ou, en conséquence,
CB2= i — nx cos a -j- x2.
Soit pris R\V=dx, et abaissons la p e r p e n d i c u - laire CH5 faisons
HGB - cp, il vient
ö^cp = BGBr. En o u t r e ,
CH = sina = BGsinB, . . BG , BG . BC2 BB = smdo . = rfo -r—=c = ûfç TTH--
• sinB ' sinB ' GH La différentielle sous le signe J" est donc
= - r,T>,— — dv ~ BCB 1 — 2ar cosa -f- 57- CB2
L'intégrale devant être prise relativement à J de
— i à -f-i, soit OA = O A ' = O C ; il en résulte que l'intégrale eherchée est la somme des éléments angu- laires BCB'eompris entre CA' et CA : c'est donc l'angle droit
La seconde figure montre que, l'angle a étant compris entre T: et ?T:, les accroissements do sont négatifs;
F i g . ?.
a
r \
A' O , I! \\ H \
l'angle BCIV est engendré dans le sens opposé à celui de la première figure, en sorte que l'intégrale est, dans ce
c as. ~~~ •
(Généralement donc on a
/ " ( a ) = - p o u r •? fiT. < a < (rj n •+• I)TT,
= — - poui {'?n — I)T. < a < ?mz;
d'où l'on conclut qne la fonction f (y) est périodique.
