Sur l’intégrale <span class="mathjax-formula">$\int \cos ^{2m+1}xdx$</span>

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

S. R EALIS

Sur l’intégrale ^R cos

^2m+1

xdx

Nouvelles annales de mathématiques 2^e série, tome 13 (1874), p. 83-88

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SUR L'INTEGRALE

PAR M. S. REALIS.

fcos-

J

1. Dans les Traités de Calcul intégral se trouve rap- portée, d'après Euler, la formule

1 x dx

sin x 2 m

cosîn\r cos2"*—2 x

2/rt+lL 2 /W I imiim — 2 )

lm — \){im — 3)

imiim — 2 ) . . . 6 . 4 . 2 "1

h , "-Y- '—=-—^-^— -f- const.,

t M ƒ// ^~* k j \2. f IC ^"~ KJ j • . • \J • *J • i I

et la formule analogue relative à fsin*m+1 xdx^ pour m entier et positif.

Mais ce que les auteurs négligent de signaler, du moins d'une manière explicite, c'est la forme simple et mnémo- nique que prend le second membre de la formule ci-dessus lorsqu'on en fait disparaître les cosinus, en y changeant cos2x en i — sin*x. On trouve en effet, abstraction faite

6.

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de la constante introduite par l'intégration,

. _ sin.r sm3.r cos3 x dx = —?

i 3

sm x sm3.r S!n5.z cosbxdx = 2 — 1 —?

i 3 5

ƒ ƒ•

I cos7 .rtf.r — 3 —- h 3

•/ i 3

ƒ

5 sin.r sin\r n sin5.r cos? xdx — A —~— -ho -z; 4

1 3 5

A —~— ho z; 4

1 3 5 7

où l'on voit apparaître les coefficients biiiômiaux, et d'où Ton peut conclure, par une induction sûre,

/ • •

sin.r sin3.r m{ m — i ) sin5.r cos21""1"1 x dx — m 1

i 3 2 5 m [m — i ) ( m — i ) sin7.r

2. 3 7 '

et aussi, par conséquent,

, /* . cos.r ('os3.?' ml m — i)cos5.r I I sin2m+l xdx z=z h m —- ' ——-

/ v W l 3 2 5

( 2 ) <

' m[m — 1 ) ( m — 2 ) cos7 .r

Mais une remarque qu'il importe d'ajouter, c'est que les formules (1) et (2), construites ici dans l'hypothèse de m entier et positif, ont lieu, en réalité, pour toute va- leur positive eu négative de m.

Pour s'en convaincre, on n'a qu'à développer en série l'intégrale ƒ cos*m+i xdx, après l'avoir mise sous la forme ƒ (1 — sin8x)f"rfsînx. On obtient en effet, après la ré-

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duction de (i — sin*.r)m en série et l'intégration, J ( i — sin².r )'" d sin x

sin.r sin3.r m[m

i

quel que soit l'exposant réel m, et en admettant que la fonction sina: reste comprise entre les limites — i et -f-i.

Le secand membre de cette équation, auquel on peut ajouter une constante arbitraire, tant que l'intégrale reste indéfinie, est une expression finie dans le cas de m entier et positif, et présente, dans les autres cas, une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de sim:.

Pour s i n . r = i f c i , la série qu'on vient d'écrire con- tinue d'être convergente si m^>—i, et, en ce cas, elle convient encore à Fintégrale^onsidérée. Si Ton a m <— i , la série n'a pas de limite finie pour sinx = ± i ; cepen- dant, comme alors l'intégrale devient infinie en même temps que la série, l'équation peut encore être regardée comme donnant un résultat exact.

D'après cela, la formule (i) subsiste, quel que soit le nombre /TZ, et pour toutes les valeurs de smx qui ne dé- passent pas les limites — i et -h i, c'est-à-dire pour toutes les valeurs réelles de l'arc x.

Cette conclusion se rapporte au cas de l'intégrale indé- finie. A l'égard des intégrales définies, il sera facile de voir que l'intégration doit être effectuée dans une étendue où la fonction ct>s.r ne change pas de signe. Sans cette condition, l'application immédiate de la formule (i) par la substitution des limites de x n'aurait lieu, d'une ma- nière générale, que pour les valeurs positives de im H- i.

Quant à la formule ('2), elle n'est qu'une transformée

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( M)

de (\)1 ces deux formules se déduisant Tune de l'autre par Je changement de x en x.

2. Soit fait, comme application de ce qui précède, m = —7, ou 2m -h i = o, et ajoutons la condition que l'intégrale (i) s'annule pour x = o. La constante de l'inté- gration sera nulle, la valeur de l'intégrale ne sera autre chose que x, et Ton aura, depuis x = o jusqu'à x=dz - ?

2

sin.r i sin^ajc i.3sin*,r i.3.5sin';r

I I I [

y _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ [

i i 3 2 . 4 5 2 - 4 - O 7

formule bien connue.

Soit encore m=z — -j,ou2m + i = — 2, et supposons de même que l'intégrale el la variable s'annulent en- semble. Le premier membre de la formule (1) sera

X

ôêos^{dx '}²ôr^{= tango;,}

et Ton aura ainsi

1 . 1.3 . 1 . 3 . 5 .

0 2 2 . 4 2 . 4 . 6

pour tous les arcs x compris entre et H—9 et même pour x = zh -1 ce qui est exact.

Prenons, pour dernier exemple, m = — 1, c'est- à-dire 2m4-1 = — 1 , et appliquons la formule (2). Nous obtiendrons, en intégrant entre les limites x et -» et faisant attention que

7T 2 dx

sin*

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l'égalité

x c'OS-c cos3x cos* o: cos'.r log cot - = 1 - 1 1 h. • . ,

° 2 i 3 5 7

depuis x = o jusqu'à x = TT. Ce résultat nous représente, sous une forme spéciale, une série logarithmique d'Euler.

3. Le second membre de la formule (i), en y mettant enévidence le facteur communsino:, puis remplaçant dans le développement chaque terme sin²*a: par(i — cos^f:r)*, peut être mis sous la forme

sin.r (A, -+- A2eos2.r 4- A3cos*.r -+• A4cos6.r -+-...).

Dans le cas de m entier et positif, et en supprimant la constante introduite par l'intégration, il devra y avoir identité entre cette expression et le second membre de la formule d'Euler, rappelée au commencement de cet article. Après avoir divisé ces deux expressions Jlar le facteur commun sin^r, on pourra donc égaler entre eux les coefficients des mêmes puissances de cos x , et Ton amè- nera par là des relations d'identité qu'il peut être utile de connaître.

Il vient, par exemple, en égalant de part et d'autre les termes indépendants de cosjr,

i i m (m — i) i m (m — i)(/w — i) , I 1 tfi f f Z 1 Z 1 — tfi _f_ _ _ f . . . Z 1 Z

3 5 2 7 2 . 3 2 # » - f - I i im{%m — 2 ) ( 2 / H — 4 ) * ' - 6 - 4 -2

2/72 + 1 [im — \){im — 3 ) [im — 5 ) . . . 5 . 3 . 1

à partir de m = i \ ce résultat s'obtient aussi en compa- rant les expressions de l'intégrale définie I cos^lm+1 xdx

Jo

fournies par les deux formules que nous considérons.

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( 88 )

la comparaison des coefficients de cos2.r donne

î î . î (m — î ) (m — 2 )

1 (m — i)[m — i)(m — 3) r 9 2 . 3 ' " ' ~^t~ 2 m H-1 I (277/ — 2) (2772 — 4 ) (2 772 6 ) . . . 6 . 4 - 2 1 m -h 1 ( 2772 •— 1 ) ( 2 m — 3 ) ( 2 m — 5 ) . . . 7 . 5 . 3

à partir de m = 2.

On trouve de même, d'après les coefficients de eas*.rT 1 1 . . 1 (7/2 — 2 ) (772 — 3 )

5 ? 9 2

I f 772 -2) (O T — 3 ) ( / W — 4 ) , 1 II 2.3

I ( 2 772 — 4 ) ( 2 77? 6 ) ( 2 77? — 8 ) . . . 6 « 4 • 2 2772 -+- I (2772 î ) ( 2 772 3 ) ( 2 772 5)...9.7.5

à partir de m = 3,

Et ainsi de suite. Ces relations ont de l'analogie avec celles qui font l'objet des questions 1079 et 1080, propo- sées par M. Haton de la Goupillière, et résolues par M. Moret-Blanc et par d'autres (voir ae série, t. XI, p. 192, 519 et 52o).