Expressions de <span class="mathjax-formula">$\mathrm {tang}^n \alpha $</span> et <span class="mathjax-formula">$\cot ^n \alpha $</span> sous forme de continuants

(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

T ^SURUICHI H ^AYASHI

Expressions de tang

ⁿ

α et cot

ⁿ

α sous forme de continuants

Nouvelles annales de mathématiques 4

^e

série, tome 2 (1902), p. 496-499

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(2)

[BI]

**EXPRESSIONS DE tang" a ET c o t » * SOIS FORME DE CONTINUANTS;**

I'AII M. TSURUICHI HAYASHI, ù Tokio.

En posaul

a3 = 7, ot"-t- 3" = t ' „ ,

(3)

( 497 ) on a les deux formules de récurrence

Un+1 =

par suite

%n— p«

x — 8 P

i 0

q p

i 0

q p

0

o q

. . . 0

. . . o . . . o

et

0 o o o

p q o o 1 p q o o i p q

o o o o

(déterminant d'ordre /Ï —

(déterminant d'ordre AI).

Supposons p = 2Ç et ^ = 1 ; les formules précé- dentes deviennent

! O O () l ( ) ( >

O O O O

(d'ordre n).

e t

Q I

O I (^d'ordre

0 0 0 0 . . >

Mathemat., 4e série, t. II. (Novembre 1902.) ^{0 2}

(4)

En ajoutant et retranchant, on en tire

et

s "+" v s — [ r ° ° • • • °

T 2 Ç I O . . . O O I 2 Ç I . . . O

o o o o . . . 91 £

Ç — y / Ç2 — 1 i o o . . . o T 2 Ç I O . . . O O I 2 £ I . . . O

(d'ordre n)

O O O . . . 'X l

En posant dans ces relations

et en se servant du théorème mentionné par M. C.-Â.

Laisant dans les Archiev d. Math. u. Physik, t. III, i

re

série, p. ^70, on trouve aisément

cota

— 1 0

1

2 cot2a

— 1

0 1

2 cot2a

0 . . . 0 . . .

1

0 0 0

2 cotaqc et

tangua =

tanga

— 1 0

0

1

— 2 cot2a

- 1

0

0 1

— 2 C 0 t 2 a

0 0

0 . . . I . . .

0

0 0 0

— 2 C0t2a

De même, en posant

= coséca

(5)

( 499 ) on pourrait obtenir

cot* a —

e t

ang"a ==

cota

i 0

0

tanga

i

o o

1

'2 coséc2 a

i

o

i

2 coséc2 a r o

o

1

2 coséc2 a o

0 I

7. coséc 2 a o

o . . . o . . .

ï . . .

o . . . o . . . o . . .

l . . .

o . . . o o o

2 C0SCC2a

o o o 2 coséc2 a Ces formes de rot"a et tang"a sont aussi remar- quables que eelles qui ont été trouvées par M. Studnicka pour cos 717. et — (PASCAL, Die Determinanten, p. 155-i 56, traduction allemande du I)^r Leitzmami), et qui peuvent être déduites de (2) cl (1) en posant