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Démonstration géométrique de l’inégalité <span class="mathjax-formula">$a-\sin a < \frac{a^3}{4}$</span>

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(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

J OSEPH J OFFROY

Démonstration géométrique de l’inégalité a − sin a <

a43

Nouvelles annales de mathématiques 2

e

série, tome 14 (1875), p. 171-172

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1875_2_14__171_1>

© Nouvelles annales de mathématiques, 1875, tous droits réservés.

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(2)

DÉMONSTRATION GÉOMÉTRIQUE DE L'INÉGALITÉ

a — sina <T -y.a*

A

PAR M. JOSEPH JOFFROY, Ancien élève de l'École Polytechnique.

Soit arcAM = a dans la circonférence de rayon 15 le nombre a représente le double du secteur ACM 5 sîna

le double du triangle ACM; et a — sina le double du segment AmM.

Ce segment est plus petit que le double du triangle AmM, si m est le milieu de l'arc AM.

Donc je puis écrire

a — sina <C^ ^.AmM9

o u

a — sintf <Ü 2MA X K/n.

a

Remplaçant MA par sa valeur 2 sin - et KM par sa

1

(3)

valeur wA.sinKA m ou a sin

2

-v» j'obtiens

4

J

a — sin a < 8 sin et a fortiori

4

i n - s i n * ( 7 ) 9

2

\4/

- ) -7 ) = - 7 " C. Q. F. D.

a/ \4/ 4

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