N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
J. P AOLI
La limite de (1 +
mx)
métablie par un procédé de démonstration élémentaire
Nouvelles annales de mathématiques 5e série, tome 2 (1923), p. 47-50
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[Dia]
LA LIMITE DE ( n ™ ) ' " ÉTABLIE PAR IL\ PROCÉDÉ DE DÉMOXSTRITIOX ÉLÉMENTAIRE
PAR J. PAOLT,
Professeur de Mathématiques spéciales au Lycée d'Alger.
Je rappelle l'inégalité connue, hien facile à établir d'ailleurs,
(0 • (i~a)»>i —na,
( 4 8 )
dans laquelle a désigne un nombre relatif plus petit que i, et n un nombre naturel.
Soient x un nombre relatif donné, et m un nombre naturel variable assujetti à la condition m -+- x > o.
(
i H ) du nombre naturel m estX \ m croissante et a une limite quand m augmente infini- ment.Démontrons d'abord qu'elle est croissante.
11 s'agit d'établir l'inégalité
ou
/ X \ ' " + l / X \m
\ m-4-i
laquelle, après avoir multiplié ses deux membres par le nombre positif ( 1 ? s écrit
(
m ( m -f- i -+- x ) x
ou encore
/ ( / n 4 - i ) ( w + # ) ^ Y
\ (m + i)(m+-j) /
puis enfin
Sous cette forme on voit que ce n'est autre que l'iné- galité (i) dans laquelle on a remplacé n par m-\- \ et a par le nombre — qui est manifestement
r (m -\- i) (m -h x) *•
plus petit que i.
Si le nombre donné x est négatif, la fonction ( i 4- — j est bornée supérieurement par le, nombre i ;
( 4 9 )
or elle est croissante, elle a donc une limite quand m augmente infiniment.
Supposons x positif et posons
/ x\m ( x\m y = H ) , * * = ( 1 ) - J \ m] \ m]
On a
/ xx\m
\ Tïl* J
J z
On vient de démontrer que z a une limite; je dis que ( i ) a pour limite i. En effet, si dans l'iné- galité (i) je remplace a par —- et n par m, j'obtiens
la double inégalité
/ X* \ m X*
\ m2/ m
montre bien que ( i — - ^ j a pour limite i quand m augmente infiniment. La fonction y a par conséquent une limite qui est égale à j-.
La proposition est donc démontrée, et la démonstra- tion a mis en évidence la propriété suivante : Si Ton désigne par l(x) la limite de ( i -\ J , on a
(
X \fndécroissante et a pour limite l(x). Cela résulte delà relation évidente
/ x \n _ i
V*4" m — x) "~ 7 x
I
( 5o )
Quel que soit le nombre naturel m on pourra donc écrire
/ x \m ( x \ '"-+-*
\ m] \ m-\-\ — x) En particulier, si x = i,
( 1 - 4 - — ) < e < ( I H )
Cette double inégalité peut être utilisée pour le calcul approché du nombre e.
