N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
S TIELTJES
Note sur l’intégrale
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Nouvelles annales de mathématiques 3e série, tome 9 (1890), p. 479-480
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NOTE SIR L'INTÉGRALE f e - " d u ;
PAR M. STIELTJES.
M. Méray a montré récemment (Bulletin des Sciences mathématiques, 1889) qu'on peut obtenir la valeur de cette intégrale à l'aide de la formule de Wallis, La déduction suivante se fonde sur la même idée, mais on la trouvera peut-être un peu plus simple.
Soit
\n— I utle—Hi du;
•A
une intégration par parties donne
ï n~~l \ •
*n — ' « - S i
d'où l'on conclut,
1 . 2 . 3 . . . * ï*+1 =
L'expression
e~H'du
est évidemment positive pour toute valeur réelle de x )
donc
ou, à cause de I//+, = - Iw_n
On a, par conséquent,
c'est-à-dire
4 A -1- 2 4 A -1- 2
en sorte qu'on peut poser
( r . ? . . 3 . . . A )2 , ^ ^ T f^ - ~ 4 i q ^ -( l H-S^ °< £ < ^ ' ou, en exprimant I2A par Io,
_ [ a . 4 . 6 . . . ( a ^ ) 12
'À ó ~ I I . 3 . 5 . . . ( 2 / C - I ) ] " H 2 A - + I) ( I "*" E'
En faisant croître indéfiniment l'entier A, il vient, d'après la formule de Wallis,
