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Note sur la série <span class="mathjax-formula">$\displaystyle {\sum _1^\infty n^s u^n}$</span>

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Academic year: 2022

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(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

E. C AHEN

Note sur la série

∞

∑

1

n

s

u

n

Nouvelles annales de mathématiques 3

e

série, tome 10 (1891), p. 476-477

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1891_3_10__476_1>

© Nouvelles annales de mathématiques, 1891, tous droits réservés.

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(2)

NOTE SIR LA SÉRIE 2 »'«"î

PAR M. E. G4HEN, Professeur au lycée de Rennes.

Pour s = o,

oo

\ftSMrc— (modtt<i).

î

P o u r 5 = i ?

nun=1 TT-~à (m o d

" < 0 -

En général, s étant eu tier, V ns u11 = 7 : > A res-

^ d (i — u) î

tant fini pour u = i.

Je me propose d'étendre cette proposition au cas de s

quelconque ^> o.

(3)

( 477 )

On a, pour toute valeur de s, n étant un entier > i,

La série proposée peut donc s'écrire

Appelons a et j3 deux limites, l'une inférieure, l'autre supérieure au nombre ,

1 i •+• e »

On voit que la somme de la série est comprise entre

(S -+-î)(5 -H 2 ) . . .(5-H 7i)_ , .

et

ec

( s -+-1 ) . . . ( s -h n ) ^

c'est-à-dire entre

et

ce qui démontre le théorème.

C1) Voir SERRET, Cours de Calcul différentiel et intégral, t. II,

p. 180.

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