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Note sur les vraies valeurs des expressions de la forme <span class="mathjax-formula">$\frac{\infty }{\infty }$</span>

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(1)

N

OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

V ICTOR R OUQUET

Note sur les vraies valeurs des expressions de la forme

∞

∞

Nouvelles annales de mathématiques 2e série, tome 16 (1877), p. 113-116

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1877_2_16__113_1>

© Nouvelles annales de mathématiques, 1877, tous droits réservés.

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(2)

NOTE SUR LES VRAIES VALEURS DES EXPRESSIONS DE LA FORME § ;

PAR M. VICTOR ROUQUET,

Professeur de Mathématiques spéciales au lycée de Marseille.

L'énoncé que Ton donne habituellement est trop gé- néral. D'ailleurs il n'est pas difficile, avec un peu d'at- tention, de reconnaître que la demonstratie>n ordinaire est loin d'être irréprochable. Je me propose dans cette Note de donner un énoncé exact, et une démonstration que je crois rigoureuse, en me bornant au cas élémen- taire des fonctions réelles qui ont des dérivées.

LEMME. — La variable x augmentant indéfiniment, si la dérivée y' d'une fonction y de x tend vers une

y

limite a, le rapport - a la même limite a.

On peut supposer que la variable x augmente indéfi- niment par des valeurs positives ; car, si cela n'était pas, on remplacerait a: par —:r, auquel casj^' se changerait en —jr'.

Pour démontrer la proposition, il suffit de prouver que l'on peut trouver une valeur de x telle que, pour

Ànn. de Mathémat., Ie série, t. XVI. (Mars 1877.) 8

(3)

( " 4 )

toutes les valeurs de x qui lui sont supérieures, le rapport - soit compris entre a —a, et a 4- a, a étant uny

nombre positif donné, aussi petit que l'on voudra.

A cet effet, prenons un nombre positif a! moindre que a. Puisque la dérivée y' a pour limite a, quand x augmente indéfiniment, on peut assigner une valeur x0

telle que, pour les valeurs de x supérieures, y' soit com- prise entre a — af et a -Ha', c'est-à-dire telle que les inégalités

^ ' — (a —a' )> o et / ~ ( f l + a')<o

soient satisfaites pour x^> x0. Alors les fonctions

y— [a — ct!)x-\-k et y—[a-\-a!)x— /-, où k désigne une constante positive, et qui ont respecti- vement pour dérivées y'—(a — a') et y'—(a -+- a'), seront, la première croissante à partir de x0, et la seconde décroissante à partir de cette valeur; et, comme on peut déterminer la constante k de façon que, pour x = x0, la première soit positive et la seconde négative, la première des deux fonctions sera positive pour toutes les valeurs de x supérieures à x0, la seconde étant négative pour les mêmes valeurs, en sorte que les inégalités

- "> a — et! et - < a -f- a' -f- -

X XX X

auront lieu pour x^> x0.

Cela posé, assujettissons encore la variable x à la condition

- < a — a , d où x *">>

oror

Alors, pour les valeurs de x supérieures à la fois à

(4)

et a ;? on aura, a fortiori.

a — a' J 7

Y

- ^ > r t — a ' — ( a — a'), ou ^> a— a, et

Y

'— <C a -4- ot! -\- ( a — a' ) ou <T a H- a.

C'est ce qu'il fallait démontrer.

THÉORÈME.—Soit — une fraction dont les deux termes ^ fonctions d'une même variable x, augmentent indéfi-

niment quand x tend vers une valeur finie x0, ou augmente elle-même indéfiniment :

I° Si le rapport —p des dérivées des deux termes tendY'

vers une limite a, on aura

lim — — a.X

z

Y1

2° Si le rapport —j augmente indéfiniment, il en sera

X de même du rapporV—z

y et z étant des fonctions d'une même variable a:, on peut regarder^ comme une fonction de z, dont la déri- vée par rapport à z soit j / . ='-7»Y'

D'après le lemme, z augmentant indéfiniment, si yz = -7 tend vers une limite a, on a

lim — = a,Y z

yf ^ Z'

Si — augmente indéfiniment, le rapport inverse —

z j

8.

(5)

tend vers zéro, et alors, d'après le cas précédent, lim- = o, ce qui démontre que le rapport inverse - augmente indéfiniment.

Remarques. — Pour chercher la vraie valeur d'une fraction dont les deux termes sont fonctions d'une même variable et deviennent infinis pour une même valeur de cette variable, on peut donc substituer au rapport en question celui des dérivées des deux termes; de même, à ce dernier, celui des dérivées secondes, et ainsi de suite;

dans ce sens que si l'on trouve pour l'un de ces rapports une valeur déterminée finie ou infinie, ce résultat s'ap- plique aux rapports précédents.

Mais la réciproque peut ne pas être vraie. La frac-

X -+- COS.T , , , f. . • ! ' / - •

non 9 ou 1 on fait augmenter x mdetïniment, en

x -h sinx D

offre un exemple bien connu.

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