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Démonstration de la formule <span class="mathjax-formula">$\int _{-\infty }^{+\infty } e^{- x^2}dx=\sqrt{\pi }$</span>

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Texte intégral

(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

E. G UITTON

Démonstration de la formule

R+∞

−∞

e

−x2

dx = √ π

Nouvelles annales de mathématiques 4e série, tome 6 (1906), p. 237-239

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1906_4_6__237_1>

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(2)

[E5]

DEMONSTRATION DE LA FORMULE

e-** dx = \/iz ;

- 0 0

PAR M. E. GUITTON.

Je vais montrer que cette intégrale définie est la limite vers laquelle tend

r+m t ~2 \ m»

J '»=/ l 1 - ^ dx

quand /n augmente indéfiniment par valeurs entières.

Prouvons d'abord que im a pour limite y/ir.

(3)

( a38 )

Le changement de variable x = m sincp donne

1Z

J,n = m j cos2"*

J,n j

2

on est ainsi conduit à considérer

= I

J

(c'est ce qu'on fait quand on démontre la formule de Wallis).

On voit facilement que :

i° lp diminue quand p augmente;

Ceci permet de calculer 1^ en remarquant que l { = i, l0 nrit; ensuite de conclure que

p lim , et finalement

Wmplj, = 'iiz.

Il reste pour achever à remplacer yo par im2-\~ i.

J'appelle A l'intégrale proposée, e étant un nombre positif aussi petit qu'on veut, il faut montrer que, à partir d'une certaine valeur de m, la différence entre A et 3m est inférieure à e.

Il existe un nombre positif a tel que

(4)

je vais faire grandir m en le prenant plus grand que a.

(

i 2 ) > quand mQlx) grandit, va évidemmentx* \m* en croissant, et Ton sait qu'il tend vers e~x\ donc,

x \

Par suite,

( i - ) dx< ]m

et

II suffit de montrer que Ton a, à partir de m suffi- samment grand,

En développant la fonction sous le signe / suivant les puissances ascendantes de x1 on trouve une série alternée; on augmente sa valeur d'abord en prenant la série des valeurs absolues, ensuite en remplaçant x par a : elle devient alors

/ a2 ea% — ( i -V —r/ a2 \m*

II suffit de prendre m assez grand pour que

ea*~ (H : I < - f

ce qui est possible, puisque le premier membre a pour limite zéro.

Références

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