N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
H. P ADÉ
Note sur la formule sin x = x
n=∞
∏
n=11 − x
2n
2π
2Nouvelles annales de mathématiques 3e série, tome 17 (1898), p. 312-314
<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1898_3_17__312_1>
© Nouvelles annales de mathématiques, 1898, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).
Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente men- tion de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
[D2c]
NOTE SUK L4 FORMULE
PAR M. H. P A D É .
Pour les valeurs réelles de .r, la formule qui donne le développement en produit infini de sin.r peut s'établir par une méthode plus simple que celles données ordi- nairement et qui peut encore être employée dans d'autres circonstances.
D'abord la convergence du produit infini résulte im- médiatement de ce que, pour (p -h I)TC >> | x |, dans les facteurs du produit
) )
sont positifs et plus petits que un, en sorte que, quand i augmente, ce produit, positif, diminue et tend par suite vers une limite.
Ceci posé, nous établirons d'abord ce lemme que, si a e t t sont deux nombres positifs, # < è, la fonction z i qUan(j z t e n (j ye r s zéro, vers sa limite %•
tang bz
par des valeurs croissantes. La dérivée ne diffère, en effet, que par un facteur positif de la quantité
a §\\\ibz — h sinvas = — | a 6 ( 62— à%)zi-\-,...
( 3 . 3 )
On conclut de là que la fonction i nr>
* -f tang2 [te
| a | < | p 1, tend vers sa limite i — ~ par des valeurs décroissantes.
Partons alors de la formule bien connue tang2 —
i ° m
2 — tang tang2 — \ / tang2 X
° m \ ƒ ö m
x i ! . . .1 i — -
}1Z ] \ ST.
tang2 — / \ tang2 —
° m/ \ b m/
où TU désigne un nombre entier positif et s le nombre
m — i m — i , . . .
entier ou > selon que m est pair ou impair.
En supposant A7ï^(/>-f-i)7:>|.r|, nous l'écrivons
(A)
Quand m croît, chaque facteur du second membre diminue*, en outre, il s'introduit de nouveaux facteurs positifs et plus petits que un; le second membre dimi- nue donc. Il est manifestement toujours supérieur à la valeur du produit infini
i)2*7 V
il lend donc, lorsque m g rand il indé(îi>imont, vers une
( 3 . 4 )
limite nu moins égale à la valeur de ce produit infini.
D'un autre eo'c, celle liniile est au plu-, égale à la limite du produit des II premiers facteurs
c'est-à-dire au i>lus é<iale au produit des 11 premiers facteurs de ( P ) . Dans ces conditions, la limite est la valeur du produit ( P).
Si l'on passe aussi à la limite dans le premier membre de (A), ce qui conduit a icmplacri les deux premiers facteurs eos/w — cl ///la ni» -'- par i (I x , et que Ton (basse \v. dénominateur, on obtient la formule qu'il s'agissait de démonlrei .
