Math. - CC 2 - S1 - Algèbre

? Spé - St Joseph/ICAM Toulouse ? - - 2016-2017 -

Math. - CC 2 - S1 - Algèbre

vendredi 25 novembre 2016 - Durée 1 h

Toutes les réponses seront justifiées. La notation tiendra compte du soin apporté à la rédaction.

Exercice 1

On considèreE=R[X]leR-espace vectoriel des polynômes à une indéterminéeX et à coefficients réels.

Pour toutn∈N, on noteE_n le sous-espace vectoriel de E des polynômes de degré inférieur ou égal ànetB_n la base canonique(X⁰, X, X²,· · ·, Xⁿ).

1. On considèren∈Net l’application suivante : un :

E_n → E

P 7→ u_n(P) =P⁰⁰−2XP⁰ .

a. Montrer queun est un endomorphisme deEn. b. Donner la matrice de un dans la baseBn.

c. Déterminer le spectre deun et justifier queun est diagonalisable.

2. On considère l’application suivante :

f :

R → R

x 7→ f(x) =e^−x2 .

a. Soitn∈N.

i. Montrer que la dérivée d’ordren de la fonctionf est de la forme f⁽ⁿ⁾=f ×Hn oùHn ∈En et vérifieHn+1=H_n⁰ −2XHn.

ii. Montrer queB_n⁰ = (H0, H1,· · · , Hn)est une base deEn. b. Montrer que, pour tout entier naturel nnon nul, on a :

Hn+1=−2XHn−2nH_n−1.

(On pourra utiliser la relation dⁿ⁺¹ dxⁿ⁺¹

e^−x2

= dⁿ dxⁿ

−2xe^−x2

et la formule de Leibniz)

c. En déduire que, pour tout entier naturelnnon nul, on a :

H_n⁰ =−2nH_n−1.

d. Montrer que, pour tout couple d’entiers (k, n)tel que06k6n,Hk est un vecteur propre de un et donner la valeur propre correspondante.

e. Donner la matrice de un dans la baseB⁰_n.

T.S.V.P.

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Exercice 2

On considère le R−espace vectoriel E = R² et un endomorphismef de E qui admet λ = e^2iπ3

√2 pour valeur propre.

1. Déterminer le polynôme caractéristique def.

2. Justifier quef ◦f + 1

√2f+1

2Id_E= 0.

3. Soitaun vecteur non nul de E.

a. Montrer queB = (a, f(a))est une base deE.

b. Déterminer la matrice Adef dans la baseB. c. Calculer, pour tout entiern, la valeur deAⁿ. 4. Montrer que, pour toutx∈E, on a lim

n→+∞fⁿ(x) = 0.

Fin de l’énoncé d’algèbre

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