Bilan en m´ecanique des ﬂuides.

(1)

Bilan en m´ ecanique des fluides.

P. Ribi`ere

Coll`ege Stanislas

Ann´ee Scolaire 2017/2018

P. Ribière (Collège Stanislas) Bilan en mécanique des fluides. Année Scolaire 2017/2018 1 / 51

(2)

1 Introduction aux bilans en m´ecanique des fluides.

2 Bilan de mati`ere.

3 Bilan d’´energie, point de vue thermodynamique.

4 Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique.

5 Bilan de quantit´e de mouvement.

6 Bilan de moment cin´etique.

(3)

Introduction aux bilans en m´ecanique des fluides.

Plan

(4)

Introduction aux bilans en m´ecanique des fluides.

Etude d’une enceinte E en r´egime stationnaire.

Figure–Etude d’une enceinte en r´egime permanent.

Le probl`eme est que cette enceinte est un syst`eme ouvert :

du fluide rentre et sort tout instant.

Premier étape : se ramener à un système fictif fermé pendant dt :

D´ efinition du syst` eme fictif ferm´ e

Syst`eme F ferm´e

`

a t, F(t)= enceinte E(t) et le fluide rentrant pdt dtdans E.

`

a t+dt, F(t+dt)= enceinte E(t+dt) et le fluide sortant pdtdtdans E.

(5)

Bilan de mati`ere.

Plan

(6)

Bilan de mati`ere.

La masse du syst`eme ferm´e se conserve : DMF

Dt = 0

orDMF=MF(t+dt)−MF(t) = (ME(t+dt) +dms)−(ME(t) +dme) par extensivit´e de la masse.

Puis commeM_E(t+dt) =M_E(t) puisque le r´egime est stationnaire, DMF = (dms−dme)

dms=dme

La masse sortante est ´egale `a la masse rentrante.

Dms=Dme

le d´ebit massique en r´egime stationnaire se conserve.

µsvsSs=µeveSe

avecv la vitesse d´ebitante.

(7)

Bilan d’´energie, point de vue thermodynamique.

Plan

(8)

Bilan d’´energie, point de vue thermodynamique. Premier principe.

Plan

Premier principe.

Second principe.

Application : d´etente de Joule Kelvin.

(9)

Premier principe : DEF

Dt +DUF

Dt =PForce ext´erieure non conservative+PThermique

DE_MF =E_F(t+dt)−E_F(t) = (E_E(t+dt) +dmes)−(E_E(t) +dmee) =dm(es−ee) DUF =UF(t+dt)−UF(t) = (UE(t+dt) +dmus)−(UE(t) +dmue) =dm(us−ue) PForce ext´erieure non conservative=PForce pression=peveSe−pSvsSs=Dm(_µ^p^s

s −^p^e

µe) Dm(es+hs−ee−he) =PForce ext´erieure non conservative utile+PThermique

Premier principe de la thermodynamique.

Dm(es+hs−ee−he) =PForce ext´erieure non conservative utile+PThermique

∆e+ ∆h=wForce ext´erieure non conservative utile+q avecei= ¹₂v_i²+gzi

Remarque :

Dans les exercices de thermodynamiques, il est fr´equent de n´egligerei devanthi.

(10)

Premier principe : DEF

Dt +DUF

Dt =PForce ext´erieure non conservative+PThermique

DE_MF =E_F(t+dt)−E_F(t) = (E_E(t+dt) +dmes)−(E_E(t) +dmee) =dm(es−ee) DUF =UF(t+dt)−UF(t) = (UE(t+dt) +dmus)−(UE(t) +dmue) =dm(us−ue) PForce ext´erieure non conservative=PForce pression=peveSe−pSvsSs=Dm(_µ^p^s

s −^p^e

µe) Dm(es+hs−ee−he) =PForce ext´erieure non conservative utile+PThermique

Premier principe de la thermodynamique.

Dm(es+hs−ee−he) =PForce ext´erieure non conservative utile+PThermique

∆e+ ∆h=wForce ext´erieure non conservative utile+q avecei=¹₂v_i²+gzi

(11)

Bilan d’´energie, point de vue thermodynamique. Second principe.

Plan

Premier principe.

Second principe.

(12)

DS_F =δS_cr´_ee+δS_´_echang´_ee

DSF =SF(t+dt)−SF(t) = (SE(t+dt) +dmss)−(SE(t) +dmse) =dm(ss−se)

Second principe de la thermodynamique.

Syst`eme F ferm´e

Dm(ss−se) = ˙Scrée+ ˙Séchangée

∆s=scrée+séchangée

(13)

DS_F =δS_cr´_ee+δS_´_echang´_ee

DSF =SF(t+dt)−SF(t) = (SE(t+dt) +dmss)−(SE(t) +dmse) =dm(ss−se)

Second principe de la thermodynamique.

Syst`eme F ferm´e

Dm(ss−se) = ˙Scrée+ ˙Séchangée

∆s=scrée+séchangée

(14)

Bilan d’´energie, point de vue thermodynamique. Application : d´etente de Joule Kelvin.

Plan

Premier principe.

Second principe.

(15)

D´etente de Joule Kelvin ou Joule Thomson :

Détente dans un étranglement ou à travers d’un milieux poreux (sable, coton...)

∆h=wForce ext´erieure non conservative utile+q= 0 + 0

D´ etente isenthalpique de Joule Kelvin.

La d´etente de Joule Kelvin est isenthalpique.

Donc pour un gaz parfait, elle est isotherme : ∆h= 0⇒∆T= 0. Le gaz parfait suit la seconde loi de Joule.

(16)

D´etente de Joule Kelvin ou Joule Thomson :

Détente dans un étranglement ou à travers d’un milieux poreux (sable, coton...)

∆h=wForce ext´erieure non conservative utile+q= 0 + 0

D´ etente isenthalpique de Joule Kelvin.

La d´etente de Joule Kelvin est isenthalpique.

Donc pour un gaz parfait, elle est isotherme : ∆h= 0⇒∆T= 0.

Le gaz parfait suit la seconde loi de Joule.

(17)

Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique.

Plan

(18)

Bilan d’énergie, point de vue mécanique. Théorème de l’énergie mécanique.

Plan

Théorème de l’énergie mécanique.

Applications.

(19)

DEF

Dt =PForce ext´erieure non conservative+PForce int´erieure non conservative

OrDEF =EF(t+dt)−EF(t) = (EE(t+dt) +dmes)−(EE(t) +dmee) =dm(es−ee) Dm(es−ee) =PForce ext´erieure non conservative+PForce int´erieure non conservative

Th´ eor` eme de l’´ energie m´ ecanique.

Dm(es−ee) =PForce ext´erieure non conservative+PForce int´erieure non conservative

∆e=wForce ext´erieure non conservative+wForce int´erieure non conservative

avecei= ¹₂v_i²+gzi

Remarque :

Cette expression (ou ce point de vue mécanique) est tout aussi général que le précédent mais la différence est que cette expression est moins adaptée que la précédente dans le cas où

wForce int´erieure non conservative6= 0, i.e. en pr´esence de frottements.

(20)

DEF

Th´ eor` eme de l’´ energie m´ ecanique.

avece_i=¹₂v_i²+gz_i

Remarque :

(21)

DEF

Th´ eor` eme de l’´ energie m´ ecanique.

avece_i=¹₂v_i²+gz_i Remarque :

(22)

Explicitons les termes : Dm=µeveSe=µsvsSs

eMs−eMe= ¹₂v_s²+gzs+...−¹₂v_e²−gze−...

PForce ext´erieure non conservative=PForce pression=peveSe−pSvsSs

PForce int´erieure non conservative= 0absence de viscosit´e.

Finalement, en supposantl’´ecoulement incompressible et homog`eneµs=µe=µ: Dm(1

2v_s²+gzs−1

2v_e²−gze) =peveSe−psvsSs

(1

2µv_s²+µgzs−1

2µv_e²−µgze) =pe−ps

Th´ eor` eme de Bernoulli.

Pour un écoulement parfait, homogène, incompressible, stationnaire, sur un tube de champ constitué de lignes de courant très proches,

pe+µgze+1

2µv_e²=ps+µgzs+1 2µv_s²

(23)

Explicitons les termes : Dm=µeveSe=µsvsSs

eMs−eMe= ¹₂v_s²+gzs+...−¹₂v_e²−gze−...

PForce ext´erieure non conservative=PForce pression=peveSe−pSvsSs

PForce int´erieure non conservative= 0absence de viscosit´e.

Finalement, en supposantl’´ecoulement incompressible et homog`eneµs=µe=µ: Dm(1

2v_s²+gzs−1

2v_e²−gze) =peveSe−psvsSs

(1

2µv_s²+µgzs−1

2µv_e²−µgze) =pe−ps

Th´ eor` eme de Bernoulli.

Pour un écoulement parfait, homogène, incompressible, stationnaire, sur un tube de champ constitué de lignes de courant très proches,

pe+µgze+1

(24)

Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique. Applications.

Plan

Applications.

(25)

Effet Venturi (dans un ´ecoulement parfait).

Figure–Effet Venturi.

(26)

Effet Venturi et trompe `a eau.

(27)

Effet Venturi sur le D´etroit de Gibraltar.

Figure–Effet Venturi et D´etroit de Gibraltar (colonnes d’Hercule).

Mˆeme effet dans les couloirs du m´etro.

(28)

Effet Venturi et a´eration des pyramides.

(29)

Tube de Pitot.

Figure–Tube de Pitot.

(30)

Effet Venturi et tube de Pitot.

Figure–Tube de Pitot.

Figure–Sch´ema du tube de Pitot.

(31)

Th´eor`eme de Torricelli.

Application du théorème énergétiquepour calculer une vitesse.

Figure–Th´eor`eme de Torricelli.

D´emonstration 1 : par Bernoulli.

Démonstration 2 : par application du théorème énergétique.

(32)

Effet Magnus (directement li´e `a l’effet Venturi).

Figure–Effet Magnus.

Figure–Effet Magnus, simulation num´erique.

(33)

Retour sur la portance de l’aile d’avion.

Figure–Ecoulement sym´etrique autour de l’aile d’avion : pas de portance.

Figure–Ecoulement asym´etrique autour de l’aile d’avion : portance.

(34)

Retour sur la portance de l’aile d’avion.

Figure–Ecoulement asym´etrique autour de l’aile d’avion asym´etrique (NACA) : portance.

(35)

Figure–Effet de d´epression dans le sillage de l’avion.

(36)

(37)

Probl`eme connexe : la voile des navires, les ailerons des formule 1 et les foilers.

Figure–Foiler.

(38)

Quand peut on ”raisonnablement” consid´erer le fluide comme parfait ?

Figure–Ecoulement `a sillage turbulent derri`ere une aile d’avion.

(39)

Retour sur les pertes de charges.

pe+µgze+1

(40)

Bilan de quantit´e de mouvement.

Plan

(41)

Bilan de quantité de mouvement. Théorème de la résultante dynamique.

Plan

Théorème de la résultante dynamique.

Applications.

Retour sur l’´ecoulement de Poiseuille.

(42)

Bilan de quantité de mouvement. Théorème de la résultante dynamique.

D−→ PF

Dt =−→ Fext

D−→ PF =−→

PF(t+dt)−−→

PF(t) = (−→

PE(t+dt) +dm−→vs)−(ME(t) +dm−→ve) =dm(−→vs− −→ve) Dm(−→vs− −→ve) =−→

Fext

(43)

Bilan de quantit´e de mouvement. Applications.

Plan

Applications.

(44)

Calcul de la force exerc´ee par l’eau sur un tube coud´ee.

On s’int´eresse `a une canalisation de section S constante dans le plan horizontal faisant un coude

`

a 90^◦: l’entrée est suivant l’axe x et la sortie suivant l’axe y. L’écoulement de l’eau dans le tuyau est supposée parfait, homogène et incompressible, stationnaire dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. On noteve le module de la vitesse à l’entrée (uniforme sur la section du fluide) etvsle module de la vitesse à la sortie. De même,pe etps désigne la pression dans le fluide respectivement à l’entrée et à la sortie.

1 Montrer queve=vs 2 En d´eduire quepe=ps

3 Calculer la force qu’exerce l’eau sur le coude. Commenter

(45)

Probl`eme connexe : les turbines Pelton.

Figure–Turbine Pelton.

(46)

Problème connexe : les turbines à tuyère et éoliennes (même problème dans un tube de champ).

(47)

Probl`eme connexe : les inverseurs de pouss´ee.

Figure–Les inverseurs de pouss´ee.

(48)

Problème connexe essentiels : force de poussée d’une fusée.

(49)

Bilan de quantit´e de mouvement. Retour sur l’´ecoulement de Poiseuille.

Plan

Applications.

(50)

Bilan de quantit´e de mouvement. Retour sur l’´ecoulement de Poiseuille.

On étudie l’écoulement laminaire, permanent et incompressible d’un liquide visqueux dans une conduite cylindrique de faible rayon R et de longueur L, appelé écoulement de Poiseuille.

1 Quelle doit ˆetre la vitesse du fluide pour que l’´ecoulement de l’eau reste laminaire dans un tube de rayon 0,5mm ?

2 Justifier qu’il est raisonnable de supposer~v=vx(r)~ux.

3 Montrer que la force qu’exerce le tuyau sur le fluide est~F=η^dv_dr^x)(r=R).2πRL~ux 4 On souhaite faire un bilan sur le cylindre de fluide compris en r=0 et r, de longueur L,

montrer alors que

(P(0)−P(L)).πr²+ηdvx

dr )_(r₎.2πrL== 0

5 Ecrire la condition d’adh´erence du fluide sur la paroi

6 En d´eduirevx(r).

7 Calculer le débit volumique et la résistance hydraulique définit parP(0)−P(L) =Rhydro.Dv

(51)

Bilan de moment cin´etique.

Plan

(52)

Bilan de moment cinétique. Théorème du moment cinétique par rapport à un axe fixe.

Plan

Théorème du moment cinétique par rapport à un axe fixe.

Applications.

(53)

Bilan de moment cinétique. Théorème du moment cinétique par rapport à un axe fixe.

D−→ L0F

Dt =−→ M0(−→

Fext) D−→

L0F =−→

L0F(t+dt)−−→

L0F(t) = (−→

L0E(t+dt) +−→

OS∧dm−→vs)−(−→

L0E(t) +−→

OE∧dm−→ve) = dm(−→

OS∧dm−→vs−−→

OE∧dm−→ve) Dm(−→

OS∧dm−→vs−−→

OE∧dm−→ve) =−→ M0(−→

Fext)

(54)

Bilan de moment cin´etique. Applications.

Plan

Applications.

(55)

Figure–Le tourniquet hydraulique.

(56)

Un tourniquet hydraulique poss`ede deux bras identiques OA et OB de longueur R et de section S.

Chaque bras est terminé par un tube de même section S faisant avec le bras un angleαse terminant respectivement en A’ et B’, de longueur négligeable<<R.

L’eau, supposée incompressible, est injectée dans le tourniquet hydraulique par le tube centrale de section 2S avec un débit volumiqueDv constant.

On note J le moment d’inertie par rapport `a l’axe Oz du tourniquet On notera−→

Ω = Ω(t)−→uzle vecteur rotation du tourniquet.

1 Calculer la vitesse déjection du fluide en A’ dans le référentiel du laboratoire sachant que la vitesse d’ejection du fluide par rapport au tourniquet est notév−→u.

2 Calculer v en foncion deDv

3 Montrer que le moment cinétique sur Oz du système (qui n’est pas en régime stationnaire) est ^DL_Dt^z =J^dω_dt +µDv(R²Ω−Rvsin(α)

4 Trouver l’équation dont Ω(t) est solution. La résoudre sachant que le système est initialement immobile.

(57)

Premier principe.

Second principe.

Applications.