Pour un ´ecoulement parfait, homog`ene, incompressible, stationnaire, sur un tube de champ constitu´e de lignes de courant tr`es proches,
pe+µgze+1
2µve2=ps+µgzs+1 2µvs2
Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique. Th´eor`eme de l’´energie m´ecanique.
Explicitons les termes : Dm=µeveSe=µsvsSs
eMs−eMe= 12vs2+gzs+...−12ve2−gze−...
PForce ext´erieure non conservative=PForce pression=peveSe−pSvsSs
PForce int´erieure non conservative= 0absence de viscosit´e.
Finalement, en supposantl’´ecoulement incompressible et homog`eneµs=µe=µ: Dm(1
Th´ eor` eme de Bernoulli.
Pour un ´ecoulement parfait, homog`ene, incompressible, stationnaire, sur un tube de champ constitu´e de lignes de courant tr`es proches,
pe+µgze+1
2µve2=ps+µgzs+1 2µvs2
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Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique. Applications.
Plan
1 Introduction aux bilans en m´ecanique des fluides.
2 Bilan de mati`ere.
3 Bilan d’´energie, point de vue thermodynamique.
4 Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique.
Th´eor`eme de l’´energie m´ecanique.
Applications.
5 Bilan de quantit´e de mouvement.
6 Bilan de moment cin´etique.
Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique. Applications.
Effet Venturi (dans un ´ecoulement parfait).
Figure–Effet Venturi.
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Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique. Applications.
Effet Venturi et trompe `a eau.
Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique. Applications.
Effet Venturi sur le D´etroit de Gibraltar.
Figure–Effet Venturi et D´etroit de Gibraltar (colonnes d’Hercule).
Mˆeme effet dans les couloirs du m´etro.
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Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique. Applications.
Effet Venturi et a´eration des pyramides.
Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique. Applications.
Tube de Pitot.
Figure–Tube de Pitot.
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Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique. Applications.
Effet Venturi et tube de Pitot.
Figure–Tube de Pitot.
Figure–Sch´ema du tube de Pitot.
Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique. Applications.
Th´eor`eme de Torricelli.
Application du th´eor`eme ´energ´etiquepour calculer une vitesse.
Figure–Th´eor`eme de Torricelli.
D´emonstration 1 : par Bernoulli.
D´emonstration 2 : par application du th´eor`eme ´energ´etique.
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Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique. Applications.
Effet Magnus (directement li´e `a l’effet Venturi).
Figure–Effet Magnus.
Figure–Effet Magnus, simulation num´erique.
Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique. Applications.
Retour sur la portance de l’aile d’avion.
Figure–Ecoulement sym´etrique autour de l’aile d’avion : pas de portance.
Figure–Ecoulement asym´etrique autour de l’aile d’avion : portance.
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Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique. Applications.
Retour sur la portance de l’aile d’avion.
Figure–Ecoulement asym´etrique autour de l’aile d’avion asym´etrique (NACA) : portance.
Figure–Ecoulement asym´etrique autour de l’aile d’avion asym´etrique (NACA) : portance.
Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique. Applications.
Figure–Effet de d´epression dans le sillage de l’avion.
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Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique. Applications.
Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique. Applications.
Probl`eme connexe : la voile des navires, les ailerons des formule 1 et les foilers.
Figure–Foiler.
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Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique. Applications.
Quand peut on ”raisonnablement” consid´erer le fluide comme parfait ?
Figure–Ecoulement `a sillage turbulent derri`ere une aile d’avion.
Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique. Applications.
Retour sur les pertes de charges.
pe+µgze+1
2µve2=ps+µgzs+1 2µvs2
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Bilan de quantit´e de mouvement.
Plan
1 Introduction aux bilans en m´ecanique des fluides.
2 Bilan de mati`ere.
3 Bilan d’´energie, point de vue thermodynamique.
4 Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique.
5 Bilan de quantit´e de mouvement.
6 Bilan de moment cin´etique.
Bilan de quantit´e de mouvement. Th´eor`eme de la r´esultante dynamique.
Plan
1 Introduction aux bilans en m´ecanique des fluides.
2 Bilan de mati`ere.
3 Bilan d’´energie, point de vue thermodynamique.
4 Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique.
5 Bilan de quantit´e de mouvement.
Th´eor`eme de la r´esultante dynamique.
Applications.
Retour sur l’´ecoulement de Poiseuille.
6 Bilan de moment cin´etique.
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Bilan de quantit´e de mouvement. Th´eor`eme de la r´esultante dynamique.
Bilan de quantit´e de mouvement. Applications.
Plan
1 Introduction aux bilans en m´ecanique des fluides.
2 Bilan de mati`ere.
3 Bilan d’´energie, point de vue thermodynamique.
4 Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique.
5 Bilan de quantit´e de mouvement.
Th´eor`eme de la r´esultante dynamique.
Applications.
Retour sur l’´ecoulement de Poiseuille.
6 Bilan de moment cin´etique.
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Bilan de quantit´e de mouvement. Applications.
Calcul de la force exerc´ee par l’eau sur un tube coud´ee.
On s’int´eresse `a une canalisation de section S constante dans le plan horizontal faisant un coude
`
a 90◦: l’entr´ee est suivant l’axe x et la sortie suivant l’axe y. L’´ecoulement de l’eau dans le tuyau est suppos´ee parfait, homog`ene et incompressible, stationnaire dans le r´ef´erentiel du laboratoire suppos´e galil´een. On noteve le module de la vitesse `a l’entr´ee (uniforme sur la section du fluide) etvsle module de la vitesse `a la sortie. De mˆeme,pe etps d´esigne la pression dans le fluide respectivement `a l’entr´ee et `a la sortie.
1 Montrer queve=vs 2 En d´eduire quepe=ps
3 Calculer la force qu’exerce l’eau sur le coude. Commenter
Bilan de quantit´e de mouvement. Applications.
Probl`eme connexe : les turbines Pelton.
Figure–Turbine Pelton.
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Bilan de quantit´e de mouvement. Applications.
Probl`eme connexe : les turbines `a tuy`ere et ´eoliennes (mˆeme probl`eme dans un tube de champ).
Bilan de quantit´e de mouvement. Applications.
Probl`eme connexe : les inverseurs de pouss´ee.
Figure–Les inverseurs de pouss´ee.
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Bilan de quantit´e de mouvement. Applications.
Probl`eme connexe essentiels : force de pouss´ee d’une fus´ee.
Bilan de quantit´e de mouvement. Retour sur l’´ecoulement de Poiseuille.
Plan
1 Introduction aux bilans en m´ecanique des fluides.
2 Bilan de mati`ere.
3 Bilan d’´energie, point de vue thermodynamique.
4 Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique.
5 Bilan de quantit´e de mouvement.
Th´eor`eme de la r´esultante dynamique.
Applications.
Retour sur l’´ecoulement de Poiseuille.
6 Bilan de moment cin´etique.
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Bilan de quantit´e de mouvement. Retour sur l’´ecoulement de Poiseuille.
On ´etudie l’´ecoulement laminaire, permanent et incompressible d’un liquide visqueux dans une conduite cylindrique de faible rayon R et de longueur L, appel´e ´ecoulement de Poiseuille.
1 Quelle doit ˆetre la vitesse du fluide pour que l’´ecoulement de l’eau reste laminaire dans un tube de rayon 0,5mm ?
2 Justifier qu’il est raisonnable de supposer~v=vx(r)~ux.
3 Montrer que la force qu’exerce le tuyau sur le fluide est~F=ηdvdrx)(r=R).2πRL~ux 4 On souhaite faire un bilan sur le cylindre de fluide compris en r=0 et r, de longueur L,
montrer alors que
(P(0)−P(L)).πr2+ηdvx
dr )(r).2πrL== 0
5 Ecrire la condition d’adh´erence du fluide sur la paroi
6 En d´eduirevx(r).
7 Calculer le d´ebit volumique et la r´esistance hydraulique d´efinit parP(0)−P(L) =Rhydro.Dv
Bilan de moment cin´etique.
Plan
1 Introduction aux bilans en m´ecanique des fluides.
2 Bilan de mati`ere.
3 Bilan d’´energie, point de vue thermodynamique.
4 Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique.
5 Bilan de quantit´e de mouvement.
6 Bilan de moment cin´etique.
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Bilan de moment cin´etique. Th´eor`eme du moment cin´etique par rapport `a un axe fixe.
Plan
1 Introduction aux bilans en m´ecanique des fluides.
2 Bilan de mati`ere.
3 Bilan d’´energie, point de vue thermodynamique.
4 Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique.
5 Bilan de quantit´e de mouvement.
6 Bilan de moment cin´etique.
Th´eor`eme du moment cin´etique par rapport `a un axe fixe.
Applications.
Bilan de moment cin´etique. Th´eor`eme du moment cin´etique par rapport `a un axe fixe.
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Bilan de moment cin´etique. Applications.
Plan
1 Introduction aux bilans en m´ecanique des fluides.
2 Bilan de mati`ere.
3 Bilan d’´energie, point de vue thermodynamique.
4 Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique.
5 Bilan de quantit´e de mouvement.
6 Bilan de moment cin´etique.
Th´eor`eme du moment cin´etique par rapport `a un axe fixe.
Applications.
Bilan de moment cin´etique. Applications.
Figure–Le tourniquet hydraulique.
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Bilan de moment cin´etique. Applications.
Un tourniquet hydraulique poss`ede deux bras identiques OA et OB de longueur R et de section S.
Chaque bras est termin´e par un tube de mˆeme section S faisant avec le bras un angleαse terminant respectivement en A’ et B’, de longueur n´egligeable<<R.
L’eau, suppos´ee incompressible, est inject´ee dans le tourniquet hydraulique par le tube centrale de section 2S avec un d´ebit volumiqueDv constant.
On note J le moment d’inertie par rapport `a l’axe Oz du tourniquet On notera−→
Ω = Ω(t)−→uzle vecteur rotation du tourniquet.
1 Calculer la vitesse d´ejection du fluide en A’ dans le r´ef´erentiel du laboratoire sachant que la vitesse d’ejection du fluide par rapport au tourniquet est not´ev−→u.
2 Calculer v en foncion deDv
3 Montrer que le moment cin´etique sur Oz du syst`eme (qui n’est pas en r´egime stationnaire) est DLDtz =Jdωdt +µDv(R2Ω−Rvsin(α)
4 Trouver l’´equation dont Ω(t) est solution. La r´esoudre sachant que le syst`eme est initialement immobile.
Bilan de moment cin´etique. Applications.
1 Introduction aux bilans en m´ecanique des fluides.
2 Bilan de mati`ere.
3 Bilan d’´energie, point de vue thermodynamique.
Premier principe.
Second principe.
Application : d´etente de Joule Kelvin.
4 Bilan d’´energie, point de vue m´ecanique.
Th´eor`eme de l’´energie m´ecanique.
Applications.
5 Bilan de quantit´e de mouvement.
Th´eor`eme de la r´esultante dynamique.
Applications.
Retour sur l’´ecoulement de Poiseuille.
6 Bilan de moment cin´etique.
Th´eor`eme du moment cin´etique par rapport `a un axe fixe.
Applications.
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