Etude m´ ´ etrique des courbes

Chap 45

Etude m´ ´ etrique des courbes

1 Rectification des courbes planes

1.1 Changement de param´etrage admissible

Cadre de l’´etude. On consid`ere un arc Γparam´etr´e par pI, ~Fq de classe C^k avec ksuffisament grand : F~ : I Ñ R²

t ÞÑ F~ptq pxptq, yptqq

On suppose que la courbe ne poss`ede pas de point stationnaire : @tPI, ~F¹ptq ~0 D´efinition. Soit I etJ deux intervalles deR. Soit ϕ : I Ñ J

t ÞÑ sϕptq

On dit queϕest un C¹-diff´eomorphisme de I vers J lorsque :

(a) ϕ est de classeC¹ surI; (b) @tPI,ϕ¹ptq 0 ;

(c) ϕ r´ealise une bijection deI surJ : (d) ϕ¹ est de classeC¹ surJ.

D´efinition.SoitpI, ~Fqun arc param´etr´e etφ : J ÑI unC¹-diff´eomorphisme. On d´efinitpJ, ~Gql’arc param´etr´e par :

G~ : J Ñ R² s ÞÑ F~pφpsqq

Alors le support des deux arcs param´etr´es pI, ~Fq etpJ, ~Gq sont ´egaux. On dit queφ d´efinit un changement

de param´etrage admissible.

Remarque.

Exemple. Param´etrer le cercle unit´e, priv´e dep1,0q.

1.2 Notations diff´erentielles R`egles de calcul.

dt

ds 1

ds dt

R`egles de calcul.

R`egles de calcul.

dM

ds dt

ds dM

dt

2 Rep` ere de Frenet, abscisse curviligne, longueur

D´efinition. Soit M O F~ptq un point r´egulier d’un arc param´etr´e pI, ~Fq.

On appelle vecteur tangent unitaireau point M le vecteurT~ F~¹ptq

}F~¹ptq}

On appelle vecteur normal unitaire l’unique vecteur unitaire N~ faisant un angle orient´e de ^π₂ avec le

Chap 45 – ´Etude m´etrique des courbes

vecteur T~.

On appelle rep`ere de Frenetau point M le rep`erepM, ~T , ~Nq.

D´efinition. On appelle abscisse curviligne sur un arc param´etr´e pI, ~Fq toute fonction s : I Ñ J t ÞÑ s

de

classe C¹ telle que pour tout tPI :

ds

dtptq }F~¹ptq}

Pour un param`etret₀ PI, on appelleabscisse curviligne d’origine Mpt₀q la fonction d´efinie par :

sptq

»_t

t0

}F~¹puq}du

Remarque.

Remarque.

D´efinition. On appellelongueurde l’arc param´etr´e Γ pra, bs, ~Fq le r´eel : LpΓq

»_b

a

}F~¹ptq}dt

Th´eor`eme.

La d´efinition de la longueur d’un arc est ind´ependante du param´etrage.

Remarque. Plus pr´ecis´ement, Remarque.

Exemple. Calculer la longueur de l’astro¨ıde param´etr´ee par :

#

xptq acos³t

yptq asin³t tP r0,2πs. Exemple. Calculer la longueur d’un arc de parabole :yax², 0¤x¤1.

Exemple. Calculer la longueur de la cardio¨ıde :ρap1 cosθq, θ P rπ, πs. Donner les vecteurs de la base de Frenet.

Exemple. Calculer la longueur d’une arche de la cyclo¨ıde :

#

xptq aptsintq

yptq ap1costq tP r0,2πs.

3 Courbure

3.1 D´efinition

Th´eor`eme (de rel`evement).

Soit F~ : I Ñ R² une fonction de classeC^k, aveck¥2. Alors, il existe une fonctionαde classe C^k1

surI, telle que, pour touttPI :

T~ptq cosαptq~e1 sinαptq~e2

On a alors les relations :

dx

ds cosα et dy

ds sinα

Chap 45 – ´Etude m´etrique des courbes

24.1. RECTIFICATION DES COURBES PLANES. 261

Exercice 24-2

Calculer la longueur d’un arc de parabole

y=ax², 0≤x≤1

Exercice 24-3

Calculer la longueur de la cardio¨ıde

ρ=a(1 + cosθ),θ∈[0,2π]

Exercice 24-4

Calculer la longueur d’une ellipse

x² a² +y²

b² = 1

On tombe sur uneint´egrale elliptique que l’on ne sait pas calculer. Que vaut cette int´egrale sia=b?

24.1.3 Courbure

Th´eor`eme 24.2 : Th´eor`eme de rel`evement 1. Soit g :

! I −→ U ={z∈C| |z|= 1}

t %→ g(t) une fonction de classe C^k sur l’intervalle I. Il existe une fonctionθ:I%→R de classeC^k telle que∀t∈I,g(t) =e^iθ(t).

2. Si −→F est de classe C^k surI et si k ≥2 alors, il existe une fonction α de classeC^k−1 sur I telle que, pour toutt deI,

−

→T(t) = cosα(t)−→e1+ sinα(t)−→e2. On a alors les relations dx

ds = cosα, dy

ds = sinα.

x y

M(s)

−

→T(s)

−

→N(s)

α(s)

Fig. 24.2 –L’angle α

D´efinition 24.6 : Courbure

On d´efinit la courbure d’un arc (I,−→F) au pointM(s) par c(s) = dα

ds

o`usest une abscisse curviligne. Sic(= 0, l’inverse de la courbure au pointM(s),r= 1

c est appel´e rayon de courbure de l’arc au pointM(s).

D´efinition. On d´efinit lacourbure d’un arc pI, ~Fq au point Mpsq parγpsq dα

o`usest une abscisse curviligne. Siγ 0, l’inverse de la courbure au pointMpsqs’appelle leds rayon de courbure

de l’arc Γ au point Mpsq, not´e Rpsq. Th´eor`eme (Formules de Frenet).

Pour tout arc Γ param´etr´e par pI, ~Fq, on a : dT~

ds γ ~N et dN~

ds γ ~T

3.2 Calcul pratique de la courbure

Arc param´etr´e en coordonn´ees cart´esiennes pxptq, yptqq. Soit Γ un arc param´etr´e par pI, ~Fq avec F~ptq pxptq, yptqq.

(a) Rectification : ^ds_dt }F~¹ptq}

(b) Courbure : γ dα

ds dα dt

dt ds dα

dt 1

ds dt

(c) Recherche de l’angleα :On essaie de mettre y¹

x¹ sous la forme tanαptq. (d) Sinon, on d´erive l’´egalit´e : tanα y¹

x¹ pour obtenir :p1 tan²αqdα

dt y²x¹y¹x² x¹²

(e) On a alorsl’expression finale de la courbure au pointMptq :γptq y²x¹y¹x²

px¹² y¹²q³²

Arc param´etr´e en coordonn´ees polaires ρρpθq. Soit Γ param´etr´ee en coordon´ees polaire par ρρpθq.

(a) Rectification : ^ds_dθ a

ρ²pθq ρ¹²pθq

(b) Courbure : γpθq dα

ds dα dθ

dθ ds dα

dθ 1

ds dθ

(c) Recherche de l’angleα : On note V l’angle entre le vecteur~upθq et le vecteur tangent unitaire T~pθq.

Chap 45 – ´Etude m´etrique des courbes

262 CHAPITRE 24. PROPRI ´ET ´ES M ´ETRIQUES DES COURBES PLANES

Th´eor`eme 24.3 : Formules de Frenet Pour un arc param´etr´eγ= (I,−→F) de classeC²,

d−→T

ds =c−→N , d−→N

ds =−c−→T

24.1.4 Calcul pratique de la courbure

1. Pour un arc param´etr´eγ= (I,−→F), avec−→F(t)

!!

!!x(t) y(t): (a) Rectification :

ds dt =#−→

F^!(t)# (b)

c= dα ds = dα

dt dt ds = dα

dt 1 ds dt (c)

tanα= y^! x^! que l’on essaie de mettre sous la forme tanf(t) ; (d) sinon on d´erive :

(1 + tan²α) dα

dt = y^!!x^!−y^!x^!!

x^!2 (e) Expression finale de la courbure (ne pas l’apprendre par coeur) :

c(t) =

"−→ F^!(t),−→

F^!!(t)]

#−→

F^!(t)#³ =

!!

!!x^!(t) x^!!(t) y^!(t) y^!!(t)

!!

!!

#x^!2(t) +y^!2(t)$3/2

2. Pour une courbe polaireρ=ρ(θ) : (a) Rectification :

ds dθ =%

ρ²(θ) +ρ^!2(θ) (b) L’angleα:

Si V d´esigne l’angle entre le vecteur−→u(θ) et le vecteur tangente unitaire−−→

T(θ), α=θ+V

De la relation

M(θ)

−

→T

θ

α V

θ

Fig. 24.3 –α=θ+V

tanV(θ) = ρ(θ) ρ^!(θ)

On fait une figure et on retrouve la relation αθ V.

On essaie de mettre ρpθq

ρ¹pθq sous la forme tanVpθq.

Sinon, en d´erivant, on trouve dV

dθ et alors : ^dα_dθ 1 ^dV_dθ

(d) On a alors l’expression finale de la courbure au pointMpθq:γpθq ρ² 2ρ¹²ρρ²

pρ² ρ¹²q³² Arc d’´equation yfpxq. Soit Γ un arc d’´equation yfpxq.

(a) Rectification : ds

dx a

1 f¹²pxq.

(b) Courbure : γpxq dα

ds dα dx

dx ds

(c) Recherche de l’angleα : tanαpxq f¹pxq.

(d) On a alors l’expression finale de la courbure au pointMpxq :γpxq f²pxq

p1 f¹²pxqq³² Exemple. Calculer la courbure en un point r´egulier de l’astro¨ıde param´etr´ee par :

#

xptq acos³t yptq asin³t . Exemple. Calculer la courbure en un point r´egulier d’un arc de parabole : yax².

Exemple. Calculer la courbure en un point r´egulier de la cardio¨ıde : ρap1 cosθq.

Exemple. Calculer la courbure en un point r´egulier de la cyclo¨ıde :

#xptq aptsintq yptq ap1costq .

3.3 Vecteurs vitesse et acc´el´eration dans le rep`ere de Frenet Th´eor`eme.

On pose v ds

dt. Alors :

dM

dt v ~T et d²M dt² dv

dtT~ v² RN~

3.4 Centre de courbure

D´efinition. Soit Γ une courbe param´etr´ee. On appelle centre de courbure en un point M le pointC d´efini par :

ÝÝÑM C R ~N c’est-`a-dire CM R ~N

Chap 45 – ´Etude m´etrique des courbes

o`uR est le rayon de courbure au point M etN~ le vecteur normal unitaire au point M. On appellecercle de

courbure le cercle de centreC et de rayon|R|.

Remarque. On montre que le cercle de courbure est le« meilleur »cercle approximant la courbe Γ au point M.

D´efinition. L’ensemble des centres de courbure de Γ s’appelle lad´evelopp´ee de Γ.

M´ethode. Pour calculer en pratique le centre de courbure :

(a) On exprime le vecteur tangent unitaire au point M :T~ dM

ds

_dx

dyds ds

cosα sinα

(b) On en d´eduit l’expression du vecteur normal unitaire au pointM :N~

sinα cosα

^dy_ds

dx ds

(c) On exprime tanα dy{dt

dx{dt et on d´erive pour trouver dα

dt.

(d) Notons pxc, ycq les coordonn´ees de C, etR ds

dα. On traduit analytiquement l’´egalit´e C M R ~N en

utilisant les r´esultats pr´ec´edents.

Exemple. D´eterminer la d´evelopp´ee de la cyclo¨ıde.

Chap 45 – ´Etude m´etrique des courbes

45.1 (a)TracerlacourbeΓd’´equationcart´esienney2 xx3 24d´efiniepour x¡0. (b)Calculerl’abscissecurviligneentoutpoint,enchoisissantlepoint d’abscisse2pouroriginedesabscissescurvilignes. propmetriques_1.tex 45.2Soitaetbdeuxr´eelsstrictementpositifs.Comparerlacour- buredelachaˆınetted’´equationyachx a1 etdelaparabole d’´equationybx2 enleurssommets.propmetriques_2.tex 45.3D´eterminerlacourburedelacourbed’´equationpolaire ρcosθcosθ 2aupointdeparam`etre0.End´eduirel’alluredela courbeauvoisinagedecepoint. propmetriques_3.tex 45.4SoitΓlaconiqued’´equationcart´esiennex2 4y2 1.Unpoint MparcourtΓ.OnnoteClecentredecourbure`aΓenMetPlesym´e- triquedeCparrapport`aM.D´eterminerlelieudeP.propmetriques_4.tex 45.5SoitΓlacourbeρpθqa sinp2θq. (a)Tracercettecourbe. (b)Calculerlerayondecourbure. (c)SoientIlecentredecourbureenMetHleprojet´eorthogonal deIsurpOMq.D´eterminerÝÝÑ MH. (d)End´eduireuneconstructiong´eom´etriquedelad´evelopp´eedeΓ. propmetriques_5.tex 45.6D´eterminerlerayondecourbureaupointdeparam`etreθ0 delacourbed´efinieencoordonn´eespolairespar: ρ2asin3θ sin2θ propmetriques_6.tex 45.7 pΓq:# xptq3cost3cos2tcos3t yptq3sint3sin2tsin3t ConstruirepΓq,calculersalongueuretd´eterminersad´evelopp´ee.prop- metriques_7.tex 45.8Calculerlalongueurdelacourbed’´equationρathθ 2,pour 0¤θ¤θ0,etaPR .propmetriques_8.tex 45.9Calculerlalongueurdelacourbed’´equationyx2 ,pour 0¤x¤x0.propmetriques_9.tex 45.10 (a)TracerlacourbeΓderepr´esentationparam´etrique: # xptqp1tq2 et yptq2pt1qet (b)Calculerl’abscissecurviligneentoutpointdeΓ.(Originepour t1). (c)CalculerlalongueurdelaboucledeΓ. propmetriques_10.tex 45.11 (a)TracerlacourbeΓd’´equationpolaireρ1 cos3θ 3 (b)Calculerl’abscissecurviligneentoutpointdeΓ,enprenantpour originelepointd’anglepolaire0. (c)CalculerlalongueurdelaboucledeΓ. propmetriques_11.tex 45.12 (a)TracerlacourbeΓd’´equationpolaireρ? 14θ2. (b)CalculerlalongueurdeΓ. propmetriques_12.tex 45.13D´eterminerlescourbesplanestellesqu’entoutpoint,le rayondecourbureRetl’abscissecurvilignessontli´esparlarelation R1s2 . propmetriques_13.tex

Chap 45 – ´Etude m´etrique des courbes

45.14Calculerlalongueurdelan´ephro¨ıde,param´etr´eepar: # xptq3costcos3t yptq3sintsin3t propmetriques_14.tex 45.15Calculerlacourbureentoutpointdel’arcd´efinipar:

# xptqcos2 tlnpsintq yptqsintcost propmetriques_15.tex 45.16Construirelacourbed’´equationpolaireρpθqcos3θ.Cal- culersacourbureaupˆole. propmetriques_16.tex