Exercice 1. Exercice (2x + 5)(x 2) = 2x 2 4x + 5x 10 = 2x 2 + x 10. Réponse C

(1)

A.P.M.E.P.

Durée : 2 heures

! Corrigé du Diplôme national du Brevet Nouvelle–Calédonie "

10 décembre 2018

Exercice 1 : 12 points

1. (2x+5)(x−2)=2x²−4x+5x−10=2x²+x−10. Réponse C 2. On a cos!ABC=AB

BC=4

5. Réponse B.

3. 7x+7y=7(x+y) : réponse C.

4. On a une configuration de Thalès ; donc ST BC=AS

ABd’où on déduit : ST=BC×AS

AB=75× 42 125= 3×42

5 =126 5 =252

10 =25,2 (m). Réponse B.

1. La probabilité de l’évènement « on gagne des bonbons » est égale à2 8=1

4. 2. L’évènement contraire est « on ne gagne pas des bonbons ».

3. La probabilité de l’évènement précédent est 1−1 4=3

4.

4. La probabilité de l’évènement « on gagne une casquette ou des bonbons » est égale à3 8.

1. 162=2×81=2×9×9=2×3²×3²=2×3⁴. 108=2×54=2×2×27=2²×3³.

2. Les diviseurs communs à 162 et 108 sont : 1; 2; 3; 6; 9; 18; 27 et 54.

3. a. Le cuisiner ne peut pas réaliser 36 barquettes car 36 ne divise pas 162.

b. Le plus grand commun diviseur à 162 et 108 est 54; le cuisinier peut donc préparer 54 barquettes.

c. Chaque barquette contiendra alors 3 nems et 2 samoussas.

1. Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. Aucune justification n’est deman- dée.

a. Le point d’abscisse 45 a pour ordonnée 2 000. Le nageur 1 a parcouru 2 000 m.

b. Le point d’ordonnée 200 a pour antécédent 5. Le nageur 1 a parcouru les 200 premiers mètres en 5 minutes.

2. La distance parcourue n’est pas une application linéaire du temps. Dans ce cas tous les points devraient être alignés sur une droite contenant l’origine.

3. Le nageur a parcouru 2 000 m en 45 min ; sa vitesse moyenne est donc égale à 2000

45 ≈44,444, soit à l’unité près environ 44 m/min.

4. a. On af(10)=50×10=500 (m).

b. f(30)=50×30=1500 (m).

Corrigé du brevet des collèges A. P. M. E. P.

Exercice 3 17 points

1. a. Le diamètre deC₂est 1, 5 cm. Son rayon est donc1, 5

2 =0, 75 cm.

L’aire B de sa base estπ×r²=π×0, 75². Son volume estV=B×h=π×0, 752×4, 2.

Le volume de sable est2

3×π×0, 75²×4, 2, soit environ 4, 95 cm³. L’aire d’un disque de rayonrestπ×r².

b. On a : volume = vitesse d’écoulement×temps.

Donc le temps d’écoulement est volume

vitesse d’écoulement=4, 95 1, 98=2, 5.

Le temps d’écoulement est 2, 5 minutes, soit 2 minutes 30 secondes.

2. a. On a : 1+1+2+6+3+7+6+3+1+2+3+2+3=40.

On a effectué 40 tests.

b. • La plus grande valeur est 2 min 38 s et le plus petite est 2 min 22 s.

La différence (étendue de la série) est de 16 secondes, inférieure à 20 s.

• La médiane est la moyenne entre la 20^evaleur de la série ordonnée et la 21^evaleur.

Or, on a 1+1+2+6+3+7=20, donc la 20^evaleur est 2 min 29 s et la 21^eest 2 min 30.

La médiane est bien comprise entre 2 min 29 s et 2 min 31 s.

•Comme tous les temps commencent par 2 min, il suffit de faire la moyenne des secondes en faisant :

1×22+1×24+. . .+2×35+3×38

40 =1 204

40 =30, 1.

– Le temps moyen d’écoulement est 22 min 30,1 s.

– La moyenne est entre 2 min 28 s et 2 min 32 s.

– Le sablier testé ne sera pas rejeté.

1. Le script carré trace un carré en traçant 4 fois deux demi-côtés de 5 pixels, donc chaque côté du carré correspond à 10 pixels, donc à 5 cm.

2. Le script 1 dessine 23 fois un carré suivi d’un tiret, donc le dessin B.

Le script 2 dessine 46 fois de manière aléatoire un carré ou un tiret, donc le dessin A.

3. a. En exécutant le script 2, le premier élément tracé est un carré si le nombre aléatoire prend l’un des deux valeurs possible. La probabilité est 0, 5.

b. Pour les deux premiers éléments dessinés, il y a 4 possibilités équiprobables : carré – carré ; carré – tiret ; tiret – carré ; tiret – tiret.

La probabilité que les deux premiers éléments dessinés soient des carrés est1

4, soit 0, 25.

4. Au niveau de la ligne 7 du script 2, on peut insérer :

si nombre aléatoire entre 1 et 2 = 1 alors mettre la couleur du stylo à rouge sinon mettre la couleur du stylo à noir.

1. a. Le rectangle 3⃝est l’image du rectangle 4⃝par la translation qui transforme C en E.

b. Le rectangle 3⃝est l’image du rectangle 1⃝par la rotation de centre F et d’angle 90° dans le sens des aiguilles d’une montre.

Métropole La Réunion Mayotte 2 1^erjuillet 2019

c. Le rectangle ABCD est l’image du rectangle 2⃝par l’homothétie de centre D et de rapport 3,

ou bien, le rectangle ABCD est l’image du rectangle 3⃝par l’homothétie de centre B et de rapport 3,

ou bien, le rectangle ABCD est l’image du rectangle 4⃝par l’homothétie de centre C et de rapport 3.

2. Un petit rectangle est donc une réduction du grand rectangle de rapport1 3. Son aire est : aire du grand×

!1

3

"2

=1, 215×1

9=0, 135 m².

Dans une réduction de rapportk, les aires sont multipliées park². 3. Soitℓla largeur etLla longueur du rectangle ABCD.

Le ratio longueur : largeur étant égal à 3 : 2, on a 2L=3ℓ, soitL=1, 5ℓ. On veutℓ×L=1, 215, soit successivement :

ℓ×1, 5ℓ=1, 215 ; 1, 5ℓ²=1, 215 ;ℓ²=1, 215

1, 5 =0, 81 ; d’oùℓ=0, 9.

On a alorsL=1, 5×0, 9=1, 35.

Le rectangle ABCD mesure 0,9 m sur 1,35 m.

1. Avec le programme 1, on a : 5→3×5=15→15+1=16

Le résultat du programme 1 vaut 16.

Avec le programme 1, on a :

5→5−1=4 (à gauche) et 5+2=7(à droite)→4×7=28.

Le résultat du programme 2 vaut 28.

2. a. Pour le programme 1, on ax→3x→3x+1, donc on aA(x)=3x+1.

b. On veutA(x)=0, ce qui donne successivement : 3x+1=0; 3x=0−1; 3x=−1;x=−1

3. On doit choisir−1

3au départ pour obtenir 0 comme résultat du programme 1.

3. B(x)=(x−1)(x+2)=x²+2x–x–2=x²+x–2.

4. a. On a :

B(x)–A(x)=x²+x–2−(3x+1)=x²+x−2−3x–1=x²−2x−3 et (x+1)(x−3)=x²−3x+x−3= x²−2x−3.

On a bienB(x)–A(x)=(x+1)(x−3).

b. On veutB(x)=A(x), soitB(x)–A(x)=0 ou encore (x+1)(x−3)=0, soitx+1=0 oux–3=0.

On a doncx=−1 oux=3.

Il faut choisir−1 ou 3 au départ pour que le programme 1 et le programme 2 donnent le même résultat.

Métropole La Réunion Mayotte 3 1^erjuillet 2019

Exercice 1

Exercice 2

(2)

A.P.M.E.P.

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10 décembre 2018

1. (2x+5)(x−2)=2x²−4x+5x−10=2x²+x−10. Réponse C 2. On a cos!ABC=AB

BC=4

5. Réponse B.

3. 7x+7y=7(x+y) : réponse C.

AB=75× 42 125= 3×42

5 =126 5 =252

10 =25,2 (m). Réponse B.

4.

1. 162=2×81=2×9×9=2×3²×3²=2×3⁴. 108=2×54=2×2×27=2²×3³.

3. Le nageur a parcouru 2 000 m en 45 min ; sa vitesse moyenne est donc égale à 2000

4. a. On af(10)=50×10=500 (m).

b. f(30)=50×30=1500 (m).

Brevet des collèges A. P. M. E. P.

3. a. En 2016 ont été produites : 3965+1869+4556+5709=16099 tonnes de miel.

b. Le pourcentage de baisse de la récolte de miel entre 2015 et 2016 est égal à : 24224−16099

24224 ×100≈33,54%.

1.

avancer de Longueur tourner de 90 degrés avancer de Largeur tourner de 90 degrés répéter 2 fois

2. Les coordonnées sont celles du point de départ et l’orientation à 90°.

3. a.

mettre Longueur à Longueur x 1,3 mettre Largeur à Largeur x 1,3 rectangle

b. À la fin de l’exécution du programme la longueur est de 50×1,3=65 et la largeur à 30× 1,3=39.

1. On obtient à gauche : 1→2→ −3 et à droite : 1→3→5, donc à la fin−3×5=−15.

2. On obtient à gauche :x→2x→2x−5 et à droite :x→3x→3x+2, donc à la fin (2x−5)(3x+2) : c’estB.

3. On aD=(3x+2)[(3x+2)−(x+7)]=(3x+2)(3x+2−x−7)=(3x+2)(2x−5)=2x−5)(3x+2)=B: Lily a raison.

La figure ci-dessous n’est pas représentée en vraie grandeur.

D

H

G F

E

Sommet

dénivelé seconde étape

Départ dénivelé première étape

3 790 m 3 800 m

4 100 m

Figure 2 12°

Métropole La Réunion 3 20 septembre 2018

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

2000 Distance parcourue (en mètres)

Temps (en minutes)

5. a. Au bout de 10 min, le nageur 1 a parcouru 400 m et le nageur 2,f(10)=500 m : le nageur 2 est en tête.

b. Au bout de 30 min, le nageur 1 a parcouru 1 600 m et le nageur 2,f(30)=1500 m : le nageur 1 est en tête.

Dans le triangle ABC rectangle en B, le théorème de Pythagore s’écrit : AC²=AB²+BC²=59²+198²=3481+39204=42685.

Donc AC=!

42685≈206,6 cm soit 2,066 m. Allan ne peut redresser le réfrigérateur en position verticale.

L’annexe 1 (à la fin) donne un tableau concernant les états et territoires de la Mélanésie.

1. Voir à la fin.

2. On écrit en case B7 : =SOMME(B2 : B6) 3. Voir l’annexe 2.

4. Voir l’annexe à la fin.

Affirmation 1 :L’aire du grand carré est : 6²=36 et l’aire du petit carré estx², donc l’aire de la surface grise est : 36−x². Affirmation vraie.

Affirmation 2 :Il y a tous les nombres se terminant par 8 : 8, 18; 28; etc. : 10 nombres, donc 10 chiffres 8;

Il y a tous les nombres commençant par 8, soit 10 chiffres 8. On a donc utilisé en tout 10+10=20 chiffres 8. L’affirmation est vraie.

1. Voir l’annexe.

On avance à droite de 4 carreaux, on tourne à gauche et on avance de 80−20=60 carreaux, on tourne à gauche et on avance de 60−20=40 carreaux ; on a obtenu le dessin 2.

2. Il suffit de répéter un troisième fois la boucle « répéter ».

Nouvelle-Calédonie 2 10 décembre 2018

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

(3)

A.P.M.E.P.

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10 décembre 2018

1. (2x+5)(x−2)=2x²−4x+5x−10=2x²+x−10. Réponse C 2. On a cosABC!=AB

BC=4

5. Réponse B.

3. 7x+7y=7(x+y) : réponse C.

AB=75× 42 125= 3×42

5 =126 5 =252

10 =25,2 (m). Réponse B.

4.

1. 162=2×81=2×9×9=2×3²×3²=2×3⁴. 108=2×54=2×2×27=2²×3³.

3. Le nageur a parcouru 2 000 m en 45 min ; sa vitesse moyenne est donc égale à2000

4. a. On af(10)=50×10=500 (m).

b. f(30)=50×30=1500 (m).

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

Temps (en minutes)

5. a. Au bout de 10 min, le nageur 1 a parcouru 400 m et le nageur 2,f(10)=500 m : le nageur 2 est en tête.

b. Au bout de 30 min, le nageur 1 a parcouru 1 600 m et le nageur 2,f(30)=1500 m : le nageur 1 est en tête.

Dans le triangle ABC rectangle en B, le théorème de Pythagore s’écrit : AC²=AB²+BC²=59²+198²=3481+39204=42685.

Donc AC=!

42685≈206,6 cm soit 2,066 m. Allan ne peut redresser le réfrigérateur en position verticale.

1. Voir à la fin.

2. On écrit en case B7 : =SOMME(B2 : B6) 3. Voir l’annexe 2.

4. Voir l’annexe à la fin.

Affirmation 1 :L’aire du grand carré est : 6²=36 et l’aire du petit carré estx², donc l’aire de la surface grise est : 36−x². Affirmation vraie.

Affirmation 2 :Il y a tous les nombres se terminant par 8 : 8, 18; 28; etc. : 10 nombres, donc 10 chiffres 8;

Il y a tous les nombres commençant par 8, soit 10 chiffres 8. On a donc utilisé en tout 10+10=20 chiffres 8. L’affirmation est vraie.

1. Voir l’annexe.

On avance à droite de 4 carreaux, on tourne à gauche et on avance de 80−20=60 carreaux, on tourne à gauche et on avance de 60−20=40 carreaux ; on a obtenu le dessin 2.

2. Il suffit de répéter un troisième fois la boucle « répéter ».

Exercice 6

(4)

b. On a tourné quatre fois de 90°, donc fait un tour : le stylo est encore orienté vers la droite.

2. Ce ne peut être la figure 1 puisque l’on déplace de 30 puis de 60, alors que dans le tour on répète deux déplacements de 30.

Ce ne peut être la figure 2 puisque l’on tourne après chaque déplacement de 60°.

Il ne reste donc que la figure 3.

3. Les déplacements augmentent bien de longueur à chaque fois ; il suffit donc de tourner de 60° pour obtenir la figure 2.

1. a. Soit I le point de [AG] tel que GI=3 (m). On aA₍ABC DG)=(I C DG)+ (I ABC)=7×3+7+4

2 ×(5−3)=21+11=32!

m²"

. Or (AH DG)=7×5=35!

m²"

. Donc A₍BC H)=35−32=3!

m²"

b. Déjà fait.

2. On a 32× 10

100=3, 2 : il faut donc prévoir 32+3, 2=35, 2!

m²"

Monsieur Chapuis doit donc acheter35, 2

1.25=28, 16 boîtes, donc 29 boîtes.

Il doit aussi acheter35, 2

4 =8, 8 sacs, donc 9 sacs de colle.

3. On a d’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle BHC rectangle en H :

BC²=BH²+HC²=3²+2²=13, d’où BC=# 13.

La longueur des plinthes est donc : 3+6+5+4+#

13=18+#

13≈21, 61 (m).

Avec une marge de 10 %, il lui faut donc acheter 22, 61×1, 10=23, 771, soit en fait 24 plinthes de 1 m.

4. La dépense est égale à : 29×19, 95+9×22+24×2, 95+5, 50=852, 85!.

Pour chaque affirmation, dire en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

Affirmation 1 :0 donne 3 puis 6 puis 6 1 donne 4 puis 8 et enfin 6.

ndonnen+3 puis 2n+6 et enfin 2n+6−2n=6. L’affirmation est vraie quel que soit le nombren.

Affirmation 2 : 7

5−4 5×1

3=7 5− 4

15=21 15− 4

15=17

15. L’affirmation est fausse.

Antilles-Guyane–La Réunion–Métropole 2 14 septembre 2017

! Corrigé du brevet Centres étrangers 18 juin 2018 "

EXERCICE1 14POINTS

1. La proportion de fleurs fanées est29 37>0, 75.

Affirmation 1 : vraie.

2. Poids des photos : 1000×900=900000 Ko = 0,9 Go.

Poids des vidéos : 65x700=45500=45, 5 Go.

Total du contenu du disque dur externe : 0, 9+45, 5=46, 4 Go.

Espace libre sur l’ordinateur : 250−200=50 Go Affirmation 2 : fausse

3. Choisir un nombre :x Ajouter 5 :x+5

Multiplier le résultat obtenu par 2 : 2×(x+5)=2x+10 Soustraire 9 : 2x+10−9=2x+1.

Affirmation 3 : vraie

EXERCICE2 16POINTS

1. Il a parcouru 37 km.

2. Le gîte du Piton des neiges est situé à 2 500 m.

3. Le Dos d’Ane est le sommet situé à 900 mètres d’altitude.

4. Le coureur sera à 7 et à 18 Km du départ.

5. a. 2500−1200=1300 m.

b. Le dénivelé positif total de cette course est :

(2500−1200)+(1800−700)+(900−300)+300+700=4000 m.

6. Temps mis par Maëlle :93

7 ≈13, 29 h soit environ 13 h 17 min.

Maëlle est donc arrivée en premier.

EXERCICE3 16POINTS

1. Il y a 8 assemblages possibles.

2. p(montre toute rouge)=1 8. 3. p(montre d’une seule couleur)=2

8=1 4. 4. p(montre de deux couleurs)=6

8=3 4.

EXERCICE4 18POINTS

Partie A. Le gros sel

On commence par ranger la série dans l’ordre croissant : 30 – 31 – 31 – 32 – 32 – 33 – 34 – 34 – 36 – 37 – 38 – 38 – 39 – 39 – 40 – 40 – 42 – 42 – 43 – 43 – 45 – 45 – 46 – 47 – 48

1. e=48−30=18.

2. La série comporte 25 données.

25÷2=12, 5. La médiane est donc la 13^edonnée.m=39.

La moitié des carreaux produit au moins 39 kg de gros sel.

Exercice 7

Exercice 8

(5)

3. moyenne=somme totale

25 =965

25 =38, 6 kg de sel par carreau en moyenne.

Partie B. La fleur de sel 1. V=(40+70)×35

2 ×40=77 000 cm³= 77 dm³= 77 litres.

2. 77×900=69 300 g = 69, 3 kg.

EXERCICE5 18POINTS

1. Tarif A : 202, 43+0,060 9×17 500=1 268,18€. La famille est abonnée au tarif A.

2. a. Nombre de kWh consommés en 2017 : 17 500× 80

100=14 000.

b. Montant à payer en 2017 : 202, 43+0,060 9×14 000=1 055,03 (").

Montant des économies réalisées par la famille de Romane entre 2016 et 2017 : 1 268,18−1 055,03=213, 15".

3. On souhaite déterminer la consommation maximale assurant que le tarif A est le plus avantageux.

Pour cela :

• on notexle nombre de kWh consommés sur l’année.

• on modélise les tarifs A et B respectivement par les fonctionsf etg: f(x)=0,060 9x+202, 43 et g(x)=0,057 4x+258, 39.

a. Ce sont des fonctions affines, leurs représentations graphiques sont des droites.

b. 0,060 9x+202, 43<0,057 4x+258, 39 0,060 9x−0, 0574x<258, 39−202, 43 0,003 5x<55, 96

x< 55, 96

0,003 5. Or 55, 96

0,003 5≈15 988,6.

c. Le tarif A est le plus avantageux jusqu’à une consommation maximale d’environ 15 989kWh.

EXERCICE6 18POINTS

Partie A. Parcours du robot

On sait que (CE) et (BD) se coupent en F et que (BC) // (DE).

D’après la propriété de Thalès, on a : FD

FB=DE BC=FE

FC. Soit 4

5=DE 80 =FE

FC. Donc DE=80×4

5 =64 (m).

Partie B. Programme de déplacement du robot 1.

définir Motif descendant

avancer de 80

tourner de 90 degres avancer de 1

tourner de 90 degres

Centres étrangers 2 18 juin 2018

2. Il suffit de tourner dans l’autre sens.

3. 48

2 =24 doncx=24.

y=64 (dernière longueur).

Exercice 9

(6)

DM Brevet

Le DM est noté sur 120 points.

Le temps prévu pour chaque exercice est proportionnel au barème du Brevet (100 points en 2h).

Exercice 1

Exercice 2

On exécute les deux scripts et on obtient les deux dessins ci-dessous.

Dessin A Dessin B

2. Attribuer à chaque script la figure dessinée. Justifier votre choix.

3. On exécute le script 2.

a. Quelle est la probabilité que le premier élément tracé soit un carré ? b. Quelle est la probabilité que les deux premiers éléments soient des carrés?

4. Dans le script 2, on aimerait que la couleur des différents éléments, tirets ou carrés, soit aléa- toire, avec à chaque fois 50 % de chance d’avoir un élément noir et 50 % de chance d’avoir un élément rouge.

Écrire la suite d’instructions qu’il faut alors créer et préciser où l’insérer dans le script 2.

Indication: on pourra utiliser les instructions mettre la couleur du stylo à rouge et mettre la couleur du stylo à noir pour choisir la couleur du stylo.

Olivia s’est acheté un tableau pour décorer le mur de son salon.

Ce tableau. représenté ci-contre, est constitué de quatre rectangles identiques nommés 1⃝, 2⃝, 3⃝et 4⃝dessinés à l’inté- rieur d’un grand rectangle ABCD d’aire égale à 1,215 m². Le ratio longueur : largeur est égal à 3 : 2 pour chacun des cinq

rectangles. ⃝2 ⃝4

3

⃝ 1

⃝

+

+ +

A B

C D

E F

1. Recopier, en les complétant, les phrases suivantes. Aucune justification n’est demandée.

a. Le rectangle . . . est l’image du rectangle . . . par la translation qui transforme C en E.

b. Le rectangle 3⃝est l’image du rectangle . . . par la rotation de centre F et d’angle 90°dans le sens des aiguilles d’une montre.

c. Le rectangle ABCD est l’image du rectangle . . . par l’homothétie de centre . . . et de rapport 3.

(Il y a plusieurs réponses possibles, une seule est demandée.) 2. Quelle est l’aire d’un petit rectangle ?

3. Quelles sont la longueur et la largeur du rectangle ABCD ?

Void deux programmes de calcul :

Métropole La Réunion 4 1^erjuillet 2019

A.P.M.E.P.

! Diplôme national du Brevet Nouvelle–Calédonie "

10 décembre 2018

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte.

Sur la copie, écrire le numéro de la question et la réponse choisie.

On ne demande pas de justifier. Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.

Réponse A Réponse B Réponse C

1 La forme développée et réduite de

(2x+5)(x−2) est : 2x²−10 2x²+9x+10 2x²+x−10

2

B C

A 4 3

5

Le cosinus de l’angle!ABC est égal à :

3 5

4 5

3 4

3 Lorsque j’ajoute deux multiples de

7, j’obtiens toujours . . . un multiple de 49

un multiple de 14

un multiple de 7

4

AB = 125 m AS = 42 m BC = 75m (BC) // (ST)

S

ST est égale àT A

C B

37,5m 25,2 m 33,6m

À un stand d’une kermesse, on fait tourner une roue pour gagner un lot (un jouet, une casquette ou des bonbons). Une flèche permet de désigner le secteur ga- gnant sur la roue.

On admet que chaque secteur a autant de chance d’être désigné.

1. a. Quelle est la probabilité de l’évènement « on gagne des bonbons » ?

b. Définir par une phrase l’évènement contraire de l’évènement « gagne des bonbons ».

c. Quelle est la probabilité de l’évènement dé- fini au 1. b. ?

2. Soit l’évènement « on gagne une casquette ou des bonbons ».

Quelle est la probabilité de cet évènement ?

Jouet Jouet

Jouet

Jouet Jouet Casquette

Bonbons

12 points

18 points

(7)

Exercice 3

Exercice 4

La figure ci-dessous donne un schéma d’un programme de calcul.

Choisir un nombre

Calculer son double Calculer son triple

Soustraire 5 Ajouter 2

Multiplier les deux nombres obtenus

1. Si le nombre de départ est 1, montrer que le résultat obtenu est−15.

2. Si on choisit un nombre quelconquexcomme nombre de départ, parmi les expressions suivantes, quelle est celle qui donne le résultat obtenu par le programme de calcul ? Justifier.

A=!

x²−5"

×(3x+2) B=(2x−5)×(3x+2) C=2x−5×3x+2

3. Lily prétend que l’expressionD=(3x+2)²−(x+7)(3x+2) donne les mêmes résultats que l’ex- pressionBpour toutes les valeurs dex.

L’affirmation de Lily est-elle vraie ? Justifier.

Pour la course à pied en montagne, certains sportifs mesurent leur performance par lavi- tesse ascensionnelle, notéeVa.

Vaest le quotient du dénivelé de la course, ex- primé en mètres, par la durée, exprimée en heure.

A B

C

angle de pente

dénivelé

altitude de départ altitude d’arrivée

Figure 1

Par exemple : pour un dénivelé de 4 500 m et une durée de parcours de 3 h :Va=1500 m/h.

Métropole La Réunion 6 20 septembre 2018

1. Décomposer les nombres 162 et 108 en produits de facteurs premiers.

2. Déterminer deux diviseurs communs aux nombres 162 et 108 plus grands que 10.

3. Un snack vend des barquettes composées de nems et de samossas.

Le cuisinier a préparé 162 nems et 108 samossas.

Dans chaque barquette :

— le nombre de nems doit être le même.

— le nombre de samossas doit être le même,

Tous les nems et tous les samossas doivent être utilisés.

a. Le cuisiner peut-il réaliser 36 barquettes ?

b. Quel nombre maximal de barquettes pourra-t-il réaliser ?

c. Dans ce cas, combien y aura-t-il de nems et de samossas dans chaque barquette ?

On étudie les performances de deux nageurs (nageur 1 et nageur 2).

La distance parcourue par le nageur 1 en fonction du temps est donnée par le graphique ci-dessous.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

Temps (en minutes)

a. Quelle est la distance totale parcourue lors de cette course par le nageur 1?

b. En combien de temps le nageur 1 a-t-il parcouru les 200 premiers mètres ?

2. Y a-t-il proportionnalité entre la distance parcourue et le temps sur l’ensemble de la course ? Justifier.

3. Montrer que la vitesse moyenne du nageur 1 sur l’ensemble de la course est d’environ 44 m/min.

4. On suppose maintenant que le nageur 2 progresse à vitesse constante. La fonctionf définie parf(x)=50xreprésente la distance qu’il parcourt en fonction du tempsx.

a. Calculer l’image de 10 parf. b. Calculerf(30).

5. Les nageurs 1 et 2 sont partis en même temps,

18 points

12 points

(8)

Exercice 5

Exercice 6

1. Décomposer les nombres 162 et 108 en produits de facteurs premiers.

2. Déterminer deux diviseurs communs aux nombres 162 et 108 plus grands que 10.

3. Un snack vend des barquettes composées de nems et de samossas.

Le cuisinier a préparé 162 nems et 108 samossas.

Dans chaque barquette :

— le nombre de nems doit être le même.

— le nombre de samossas doit être le même,

Tous les nems et tous les samossas doivent être utilisés.

a. Le cuisiner peut-il réaliser 36 barquettes ?

b. Quel nombre maximal de barquettes pourra-t-il réaliser ?

c. Dans ce cas, combien y aura-t-il de nems et de samossas dans chaque barquette ?

On étudie les performances de deux nageurs (nageur 1 et nageur 2).

La distance parcourue par le nageur 1 en fonction du temps est donnée par le graphique ci-dessous.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

Temps (en minutes)

a. Quelle est la distance totale parcourue lors de cette course par le nageur 1?

b. En combien de temps le nageur 1 a-t-il parcouru les 200 premiers mètres ?

2. Y a-t-il proportionnalité entre la distance parcourue et le temps sur l’ensemble de la course ? Justifier.

3. Montrer que la vitesse moyenne du nageur 1 sur l’ensemble de la course est d’environ 44 m/min.

4. On suppose maintenant que le nageur 2 progresse à vitesse constante. La fonction f définie parf(x)=50xreprésente la distance qu’il parcourt en fonction du tempsx.

a. Calculer l’image de 10 parf. b. Calculerf(30).

5. Les nageurs 1 et 2 sont partis en même temps,

a. Lequel est en tête au bout de 10 min ? Justifier.

b. Lequel est en tête au bout de 30 min ? Justifier.

Lors de son déménagement, Allan doit transporter son réfrigérateur dans un camion, Pour l’intro- duire dans le camion, Allan le pose sur le bord comme indiqué sur la figure. Le schéma n’est pas à l’échelle.

Allan pourra-t-il redresser le réfrigérateur en position verticale pour le rentrer dans le camion sans bouger le point d’appui A ? Justifier.

1. Compléter les colonnes B et C du tableau dans l’annexe 1. Arrondir les fréquences au dixième.

2. Le tableau a été construit avec un tableur.

Quelle formule peut-on saisir pour compléter la cellule B7 du tableau ?

L’annexe 2 (page 6/6) donne la répartition des superficies des différents territoires et états de la Mélanésie.

3. Compléter la colonne des angles dans le tableau de l’annexe 2.

4. Compléter le diagramme semi-circulaire dans l’annexe 2 en utilisant les données du tableau.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle estVRAIEouFAUSSEet justifier la réponse.

Affirmation 1 :l’aire de la partie grise de la figure ci-dessous est 36−x².

x 6

Affirmation 2 :le chiffre 8 est écrit 20 fois lorsque j’écris tous les nombres entiers de 1 à 100.

a. Lequel est en tête au bout de 10 min ? Justifier.

b. Lequel est en tête au bout de 30 min ? Justifier.

Lors de son déménagement, Allan doit transporter son réfrigérateur dans un camion, Pour l’intro- duire dans le camion, Allan le pose sur le bord comme indiqué sur la figure. Le schéma n’est pas à l’échelle.

Allan pourra-t-il redresser le réfrigérateur en position verticale pour le rentrer dans le camion sans bouger le point d’appui A ? Justifier.

1. Compléter les colonnes B et C du tableau dans l’annexe 1. Arrondir les fréquences au dixième.

2. Le tableau a été construit avec un tableur.

Quelle formule peut-on saisir pour compléter la cellule B7 du tableau ?

L’annexe 2 (page 6/6) donne la répartition des superficies des différents territoires et états de la Mélanésie.

3. Compléter la colonne des angles dans le tableau de l’annexe 2.

4. Compléter le diagramme semi-circulaire dans l’annexe 2 en utilisant les données du tableau.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle estVRAIEouFAUSSEet justifier la réponse.

Affirmation 1 :l’aire de la partie grise de la figure ci-dessous est 36−x².

6 x

Affirmation 2 :le chiffre 8 est écrit 20 fois lorsque j’écris tous les nombres entiers de 1 à 100.

8 points

16 points

(9)

Exercice 7

Monsieur Chapuis souhaite changer le carrelage et les plinthes¹dans le salon de son appartement.

Pour cela il doit acheter des carreaux, de la colle et des plinthes en bois qui seront clouées. Il dispose des documents suivants :

Document 1 :plan, la pièce correspond à la partie grisée

5 m

4 m

3 m

5 m 1 m

A B

C

E D G F

H

Porte de largeur 1 m

Le schéma ci-contre n’est pas réalisé à l’échelle

Document 2 Document 3

Carrelage Colle pour le carrelage

Taille d’un carreau : 50 cm×50 cm

Epaisseur d’un carreau : 0,9 cm Conditionnement : sac de 25 kg

Conditionnement : 1,25 m²par boîte Rendement (aire que l’on peut coller) : 4 m² par sac

Prix : 19,95!par boîte Prix : 22!le sac

Plinthe Paquet de clous pour les plinthes

Forme : rectangulaire de longueur 1 m Prix : 5,50!le paquet Vendue à l’unité

Prix : 2,95!la plinthe en bois

1. a. En remarquant que la longueur GD est égale à 7 m, déterminer l’aire du triangle BCH.

b. Montrer que l’aire de la pièce est 32 m².

2. Pour ne pas manquer de carrelage ni de colle, le vendeur conseille à monsieur Chapuis de prévoir une aire supérieure de 10 % à l’aire calculée à la question 1.

Monsieur Chapuis doit acheter des boîtes entières et des sacs entiers.

Déterminer le nombre de boîtes de carrelage et le nombre de sacs de colle à acheter.

3. Le vendeur recommande aussi de prendre une marge de 10 % sur la longueur des plinthes.

Déterminer le nombre total de plinthes que monsieur Chapuis doit acheter pour faire le tour de la pièce.

On précise qu’il n’y a pas de plinthe sur la porte.

4. Quel est le montant de la dépense de monsieur Chapuis, sachant qu’il peut se contenter d’un paquet de clous ? Arrondir la réponse à l’euro près.

Pour chaque affirmation, dire en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

1. Une plinthe est un élément décoratif de faible hauteur fixé au bas des murs le long du sol.

Métropole–La Réunion–Antilles-Guyane 3 14 septembre 2017

21 points

12 points Exercice 8

a. Calculer le dénivelé positif entre Cilaos et le gîte du Piton des neiges.

b. Montrer que le dénivelé positif total de cette course est 4 000 m.

6. Maëlle a effectué sa course à une vitesse moyenne de 7 km/h et Line a mis 13 h 20 min pour passer la ligne d’arrivée.

Laquelle de ces deux sportives est arrivée en premier ?

Thomas possède une montre qu’il compose en assemblant des cadrans et des bracelets de plusieurs couleurs. Pour cela, Il dispose de :

• deux cadrans : un rouge et un jaune ; • quatre bracelets : un rouge, un jaune, un vert et un noir.

1. Combien y a-t-il d’assemblages possibles ?

Il choisit au hasard un cadran et un bracelet pour composer sa montre.

2. Déterminer la probabilité d’obtenir une montre toute rouge.

3. Déterminer la probabilité d’obtenir une montre d’une seule couleur.

4. Déterminer la probabilité d’avoir une montre de deux couleurs.

Chaque été, Jean exploite son marais salant sur l’île de Ré, situé dans l’océan Atlantique, près de La Rochelle.

Son marais se compose de carreaux (carrés de 4 m de côté) dans lesquels se récolte le sel.

Partie A. Le gros sel

Chaque jour, il récolte du gros sel sur 25 carreaux. Le premier jour, afin de prévoir sa production, il relève la masse en kilogramme de chaque tas de gros sel produit par carreau.

Voici la série statistique obtenue :

34−−39−−31−−45−−40−−32−−36−−45−−42−−34−−30−−48−−4332−−39−−40−42−−38−−46−−31−−38−−43−−37−−47

1. Calculer l’étendue de cette série statistique.

2. Déterminer la médiane de cette série statistique et interpréter le résultat.

3. Calculer la masse moyenne en kg des tas de gros sel pour ce premier jour.

Partie B. La fleur de sel

La fleur de sel est la mince couche de cristaux blancs qui se forme et affleure la surface des marais salants. Chaque soir, Jean cueille la fleur de sel à la surface des carreaux. Pour transporter sa récolte, il utilise une brouette comme sur le schéma ci-dessous.

35 cm

40 cm 70 cm 40 cm

b

B Trapèze h

Aire=(B+b)×h 2

Aire base

hauteur Prisme droit

Volume = Aire base×hauteur

(10)

Exercice 9

• la 3^eallée est [TU] ;

• les allées 4 à 47 ne sont pas représentées ;

• la 48^eallée est [CB].

la 49^e(dernière allée) [DE] est située dans une parcelle triangulaire.

Montrer que la longueur de la dernière allée est DE=64 m.

80 m

5 m

P S T B D F

E C U R Q

(BC) // (DE)

salade

salade salade

1 m

Schéma 2 du terrain non à l’échelle : vue du dessus

Partie B. Programme de déplacement du robot

On souhaite programmer le déplacement du robot du point P au point E. Le script ci-dessous, réalisé sous Scratch, est incomplet. Toutes les allées sont parcourues une seule fois. L’image« Robot »correspond au résultat attendu lorsque le drapeau vert est cliqué.

On rappelle que l’instruction s’orienter à0 degrés signifie que le robot se dirige vers le haut.

Quand est cliqué s’orienter à 0

stylo en position d’écriture

Motif montant Motif descendant répéter x fois

avancer de y relever le stylo

définir Motif montant

Robot

Script incomplet de déplacement du robot

Image à obtenir avec le script complet→ Pour répondre aux questions 1 et 2, utiliser autant que nécessaire les blocs :

avancer de tourner de degrés tourner de degrés

1. Montrer que cette brouette a un volume de 77 litres.

2. Sachant que 1 litre de fleur de sel pèse 900 grammes, calculer la masse en kg du contenu d’une brouette remplie de fleur de sel.

Sur une facture de gaz, le montant à payer tient compte de l’abonnement annuel et du prix correspondant au nombre de kilowattheures (kWh) consommés.

Deux fournisseurs de gaz proposent les tarifs suivants :

Prix du kWh Abonnement annuel

Tarif A (en!) 0,060 9 202,43

Tarif B (en!) 0,057 4 258,39

En 2016, la famille de Romane a consommé 17 500 kWh. Le montant annuel de la facture de gaz correspondant était de 1 268,18!.

1. Quel est le tarif souscrit par cette famille ? Depuis 2017, cette famille diminue sa consommation de gaz par des gestes simples (baisser le chauffage de quelques degrés, mettre un couvercle sur la casserole d’eau pour la porter à ébullition, réduire le temps sous l’eau dans la douche, etc.).

2. En 2017, cette famille a gardé le même fournisseur de gaz, mais sa consommation en kWh a diminué de 20 % par rapport à celle de 2016.

a. Déterminer le nombre de kWh consommés en 2017.

b. Quel est le montant des économies réalisées par la famille de Romane entre 2016 et 2017?

3. On souhaite déterminer la consommation maximale assurant que le tarif A est le plus avantageux. Pour cela :

• on modélise les tarifs A et B respectivement par les fonctions f etg: f(x)=0,0609x+202,43 et g(x)=0,0574x+258,39.

a. Quelles sont la nature et la représentation graphique de ces fonctions ? b. Résoudre l’inéquation :f(x)<g(x).

c. En déduire une valeur approchée au kWh près de la consommation maximale pour laquelle le tarif A est le plus avantageux.

Le maraîchage est l’activité professionnelle qui consiste à cultiver les légumes, certains fruits, fleurs ou plantes aromatiques.

Afin de diminuer la pénibilité des travaux de maraîchage, un agriculteur a ac- quis un robot électrique pour effectuer le désherbage de ses cultures.

Le robot doit parcourir 49 allées parallèles écartés de 1 m, représentées sur le schéma ci-dessous.

Les 48 premières allées, situées dans une parcelle rectangulaire, mesurent 80 m de long :

• la 1^reallée est [PQ] ;

• la 2^eallée est [RS] ;

1.Montrer que cette brouette a un volume de 77 litres.

2.Sachant que 1 litre de fleur de sel pèse 900 grammes, calculer la masse en kg du contenu d’une brouette remplie de fleur de sel.

Tarif A (en!) 0,060 9 202,43

Tarif B (en!) 0,057 4 258,39

1.Quel est le tarif souscrit par cette famille ? Depuis 2017, cette famille diminue sa consommation de gaz par des gestes simples (baisser le chauffage de quelques degrés, mettre un couvercle sur la casserole d’eau pour la porter à ébullition, réduire le temps sous l’eau dans la douche, etc.).

2.En 2017, cette famille a gardé le même fournisseur de gaz, mais sa consommation en kWh a diminué de 20 % par rapport à celle de 2016.

a.Déterminer le nombre de kWh consommés en 2017.

b.Quel est le montant des économies réalisées par la famille de Romane entre 2016 et 2017?

3.On souhaite déterminer la consommation maximale assurant que le tarif A est le plus avantageux. Pour cela :

• on modélise les tarifs A et B respectivement par les fonctionsfetg: f(x)=0,0609x+202,43 et g(x)=0,0574x+258,39.

a.Quelles sont la nature et la représentation graphique de ces fonctions ? b.Résoudre l’inéquation :f(x)<g(x).

c.En déduire une valeur approchée au kWh près de la consommation maximale pour laquelle le tarif A est le plus avantageux.

1. Montrer que cette brouette a un volume de 77 litres.

2. Sachant que 1 litre de fleur de sel pèse 900 grammes, calculer la masse en kg du contenu d’une brouette remplie de fleur de sel.

Tarif A (en!) 0,060 9 202,43

Tarif B (en!) 0,057 4 258,39

1. Quel est le tarif souscrit par cette famille ? Depuis 2017, cette famille diminue sa consommation de gaz par des gestes simples (baisser le chauffage de quelques degrés, mettre un couvercle sur la casserole d’eau pour la porter à ébullition, réduire le temps sous l’eau dans la douche, etc.).

2. En 2017, cette famille a gardé le même fournisseur de gaz, mais sa consommation en kWh a diminué de 20 % par rapport à celle de 2016.

a. Déterminer le nombre de kWh consommés en 2017.

b. Quel est le montant des économies réalisées par la famille de Romane entre 2016 et 2017?

3. On souhaite déterminer la consommation maximale assurant que le tarif A est le plus avantageux. Pour cela :

• on modélise les tarifs A et B respectivement par les fonctions f etg: f(x)=0,0609x+202,43 et g(x)=0,0574x+258,39.

a. Quelles sont la nature et la représentation graphique de ces fonctions ? b. Résoudre l’inéquation :f(x)<g(x).

c. En déduire une valeur approchée au kWh près de la consommation maximale pour laquelle le tarif A est le plus avantageux.

80 m

5 m

P S T B D F

E C U

R Q

(BC) // (DE)

salade

salade salade

1 m

On rappelle que l’instruction s’orienter à 0 degrés signifie que le robot se dirige vers le haut.

Robot

Image à obtenir avec le script complet→

Pour répondre aux questions 1 et 2, utiliser autant que nécessaire les blocs :

80 m

5 m

P S T B D F

E C U R Q

(BC) // (DE)

salade

salade salade

1 m

On rappelle que l’instruction s’orienter à0 degrés signifie que le robot se dirige vers le haut.

Quand est cliqué s’orienter à0

Robot

Image à obtenir avec le script complet→ Pour répondre aux questions 1 et 2, utiliser autant que nécessaire les blocs :

80 m

5 m

P S T B D F

E C U

R Q

(BC) // (DE)

salade

salade salade

1 m

Robot

• les allées 4 à 47 ne sont pas représentées;

80 m

5 m

P S T B D F

E C U

R Q

(BC) // (DE)

salade

salade salade

1 m

Robot

Les longueurs doivent être indiquées en mètres.

1. Le nouveau bloc « Motif montant » doit reproduire un déplacement du type P-Q-R (voir schéma 2) et positionner le robot prêt à réaliser le motif suivant. Écrire une succession de 4 blocs per- mettant de définir : « Motif montant ».

2. Le nouveau bloc « Motif descendant » doit reproduire un déplacement du type R-S-T (voir schéma 2) et positionner le robot prêt à réaliser le motif suivant. Quelle(s) modification(s) suffit-il d’apporter au bloc « Motif montant » pour obtenir le bloc « Motif descendant » ? 3. Quelles valeurs faut-il donner àx et ày dans le script principal pour que le programme de

déplacement du robot donne le résultat attendu.

• les allées 4 à 47 ne sont pas représentées;

80 m

5 m

P S T B D F

E C U

R Q

(BC) // (DE)

salade

salade salade

1 m

Robot