ϕ nonvergent versune fontionϕtelleque lim z↑ 1 ϕ(z) = 1.De plusla limite en loi de la suite (X n , n ∈ N ) est une variable aléatoire

l'énergie

Examen dulundi 10mars 2014 14h30-16h30

Problème : Lois inniment divibles à valeurs entières

L'objetdeetexerieestdedéterminertouteslesloisinnimentdiviblesàvaleursentières

etdedonner quelquesexemples.

Onrappelle quelasuite de variablesaléatoires

(X _n , n ∈ N )

^{à valeursentières onvergeen}

loisietseulement sisesfontionsgénératries

ϕ _n

^{onvergent versune fontion}

ϕ

^telleque

lim _z↑ 1 ϕ(z) = 1

^{.De plusla limite en loi de la suite}

(X _n , n ∈ N )

^{est une variable aléatoire}

àvaleursentières defontion génératrie

ϕ

^.

Soit

X

^{unevariablealéatoireàvaleursdans}

N

inniment divibleetdefontiongénératrie

ϕ

^déniepar

ϕ(z) = E z ^X

pour

z ∈ [0, 1]

^.

1. Pour

n ≥ 1

^,soit

(X 1 ,n , . . . , X _n,n )

^{desvariablesaléatoires}indépendantesde mêmeloi ettellesque

X

^{amême loi que}

X 1 ,n + · · · + X _n,n

^.

(a) Montrer que

P (nX 1 ,n ∈ N ) = 1

^.

(b) Caluler

P (X = 0)

^{en fontionde}

P (X 1 ,n = 0)

^{.Endéduire quepour}

x ∈ R ₊

:

P (X = x) ≥ n P (X 1 ,n = x) P (X = 0).

() Endéduire quesi

P (X = 0) > 0

^alors

X 1 ,n

^{està valeursdans}

N

.

(d) Montrerquesi

X 1 ,n

^{estàvaleursdans}

N

pour tout

n ∈ N ^∗

,alors

P (X = 0) > 0

^.

(e) Montrer quesi

P (X = 0) = 0

^{,alors il existeun entier}

k 0 > 0

^{tel quepour tout}

n ≥ 1

^,

X 1 ,n − (k 0 /n)

^{està valeursentières.}

2. Soit

N

^{une variable aléatoire à valeurs entières et de loi inniment divisible. Soit}

(Y _n , n ∈ N ^∗ )

^{des variables aléatoires} indépendantes de

N

^{, à valeurs entières et de}

fontiongénératrie

Q

^.Onpose

S _N = P N

k =1 Y _k

^{,avelaonvention}

S _N = 0

^si

N = 0

^.

(a) Montrer que

S _N

^{estdeloiinniment divisibleetdonnersafontion génératrie}

àl'aide desfontionsgénératries de

N

^et

Y 1

^.

(b) Endéduire quesi

N

^{est de loide Poisson deparamètre}

θ > 0

^{alors, si}

P

^{est la}

fontion génératrie de

S _N

^{, ona}

P(z) = exp(θ(Q(z) − 1))

^{autrement dit:}

Q(z) = 1 + log(P (z))

θ ·

Laloi de

S _N

^{est appelée loi dePoissonomposée deparamètre}

(θ, Q)

^.

() On suppose que

P (Y 1 = 0) < 1

^{. Soit}

θ > 0

^et

p ∈]0, 1/(1 − Q(0))]

^{. Montrer}

que

(1 − p) + pQ

^{est une fontion} génératrie. Montrer queles loisde Poisson omposée de paramètre

(θ, Q)

^et

(θ ^′ , (1 − p) + pQ)

^{sont les mêmes pour une}

valeur de

θ ^′

^{que l'on} déterminera. En déduire que la loi de Poisson omposée de paramètre

(θ, Q)

^{ne aratérise pas le ouple}

(θ, Q)

^{, sauf si on impose que}

Q(0) = 0

^.

3. Onsupposeque

0 < P (X = 0) < 1

^.

(a) Déduirede laquestion1) que

ϕ(z) ^{1 /n}

^{estune fontion} génératrie.

(b) Montrer que:

Q _n (z) = 1 − 1 − ϕ(z) ^{1 /n} 1 − ϕ(0) ^{1 /n}

estlafontion génératrie d'unevariablealéatoire que l'onpréisera.

() Déterminer

Q(z) = lim _n→+∞ Q _n (z)

^.

(d) Montrer en utilisant laquestion 2) que laloi de

X

^{est une loide Poissonom-}

posée dont on préisera lesparamètres.

4. Appliation.Soit

Z

^{de loi}géométrique déalée deparamètre

p ∈ (0, 1)

^:

P (Z = k) = p(1 − p) ^k

^pour

k ∈ N

.

(a) Soit

q ∈ (0, 1)

^{.Donner un}développementen sérieentièredelafontion

log(1 − qz)

^enfontionde

z

^pour

z ∈ [−1, 1]

^{.Endéduireque}

Q _q (z) = log(1−qz)/ log(1−

q)

^{est lafontion génératrie d'unevariablealéatoire à valeursentières.}

(b) Endéduire quelaloi de

Z

^{est inniment divisible.}

Exerie : Fontion d'ore sur le marhé de l'életriité

On onsidère un marhé simplié de l'életriité omposé d'une entrale au harbon de

500 MW, d'une entrale à gaz de 250 MW et d'une ferme d'éoliennes de 100 MW. Le

rendement de la entrale harbon 1

est de 0,5 tC/MWh etle rendement thermique de la

entrale à gaz est de 40%. Le oeient d'émission 2

de la entrale au harbon est de 2,5

tC02/tCetelui delaentrale àgaz de0,2tC02/MWh. Leprix dugaz est24

e

/MWhet eluiduharbon100

e

/tC.Laferme éoliennea unfateurdehargede25%.Lademande vaut 600 MW.Onsupposequeleprix spotde l'életriité estdonné par leoûtmarginal.

1. Traez lafontion d'ore dee marhé (oût en

e

/MWhversus puissane en MW) quandleprix duarbone està10

e

/tCO2etquandilestà40

e

/tCO2. Queremar- quezvous?

2. Donnezleprix spot de l'életriité danshaqueas.

1. tC:tonnedeharbon

2. tCO2:tonnedearbone

Problème : Lois inniment divibles à valeurs entières

1. (a) Si

P (X 1 ,n ∈]a, b[) > 0

^alors

P (X 1 ,n ∈]a, b[, . . . , X _n,n ∈]a, b[) > 0

^etdon

P (X ∈ ]na, nb[) > 0

^{. Par ontraposé, en hoisissant}

a = −∞

^et

b = 0

^puis

a = k

^et

b = k + 1

^pourtout

k ∈ N

,onendéduitque

P (X 1 ,n < 0) = 0

^puisque

P (X 1 ,n ∈ ]k/n, (k + 1)/n[) = 0

^{pour tout}

k ∈ N

.Ceiimplique que

P (nX 1 ,n ∈ N ) = 1

^.

(b) On a

P (X = 0) = P (X 1 ,n = · · · = X _n,n = 0) = P (X 1 ,n = 0) ⁿ

^{. De plus,}

les évènements disjoints

{X _k,n = x

^etpour

k ^′ 6= k X _k ′ ,n = 0}

^{sont inlus dans}

{X = x}

^{.Onen déduitdon :}

P (X = x) ≥ n P (X 1 ,n = x) P (X 1 ,n = 0) ^{n− 1} ≥ n P (X 1 ,n = x) P (X = 0).

() Pour tout

x 6∈ N

on a

P (X = x) = 0

^{et don}

P (X 1 ,n = x) = 0

^{.Don, omme}

X 1 ,n

^{estdisrète, onen déduit que}

X 1 ,n

^{est àvaleursentières.}

(d) Si

P (X = 0) = 0

^{alors p.s.}

X _k,n ≥ 1

^{pour tout}

1 ≤ k ≤ n

^{et don p.s.}

X ≥ n

pour tout

n ∈ N ^∗

.Ceiétant absurde,on en déduitque

P (X = 0) > 0

^.

(e) Si

P (X = 0) = 0

^{, soit}

k 0 = inf{k; P (X = k) > 0}

^{. La variable aléatoire}

X − k 0

estàvaleursentièresetinnimentdivisibleetona

P (X−k 0 = 0) > 0

^.Ondéduit

dee qui préède quepourtout

n ≥ 1

^,

X 1 ,n − (k 0 /n)

^{està valeursentières.}

2. (a) Soit

n ≥ 1

^.Soit

(N 1 ,n , . . . , N _n,n )

^{desvariablesaléatoires}indépendantesdemême loi et telles que

N = P n

k =1 N _k,n

^{. On pose}

M 0 = 0

^{, et pour}

k ∈ {1, . . . , n}

M _k = P _k

j =1 N _j,n

^et

T _k = P _M k

j = M ^k ₋₁ +1 Y _j

^{. Les variables aléatoires}

(T 1 , . . . , T _n )

sont indépendantes de même loi etona

S _N = P n

k =1 T _k

^{.La loi de}

S _N

^estdon

inniment divisible.

Soit

Q

^{la fontiongénératrie de}

Y 1

^,

R

^ellede

N

^et

P

^ellede

S _N

^{.Ona :}

P (z) = E

z ^{S N}

= E E

z ^{S N} |N

= E

Q(z) ^N

= R(Q(z)).

(b) Immédiatar

R(z) = exp(−θ(1 − z))

^.

() Soit

Y 0

^{de loi la loi de}

Y 1

onditionnée par

{Y 1 > 0}

^{. Sa fontion génératrie}

est:

Q 0 (z) = Q(z) − Q(0) 1 − Q(0) ·

Soit

p 0 ∈ [0, 1]

^{.Onremarqueque}

(1 − p 0 ) + p 0 Q 0

^{est lafontiongénératrie de}

lavariablealéatoire à valeursentières

U 0 Y 0

^où

U 0

^{estunevariablede Bernoulli}

deparamètre

p 0

indépendantede

Y 0

^.Enposant

p = p 0 /(1 −Q(0))

^,onendéduit

que

(1 − p) + pQ = (1 − p 0 ) + p 0 Q 0

^{estdon une fontion} génératrie.

Deplus,lesloisdePoissonomposéedeparamètres

(θ, Q)

^et

(θ/p, (1 −p) + pQ)

ont mêmefontion génératrie.LaloidePoissonomposéedeparamètre

(θ, Q)

nearatérisepasleouple

(θ, Q)

^{,saufsionimposeque}

Q(0) = 0

^(equirevient

àhoisir

Q = Q 0

^et

p 0 = 1

^).

3. (a) Ondéduitde laquestion1) que

X 1 ,n

^{est àvaleursentières. Soit}

ϕ _n

^safontion

génératrie.Ona

ϕ(z) = ϕ _n (z) ⁿ

^etdon

ϕ _n (z) = ϕ(z) ^{1 /n}

^.

(b)

Q n

^{est la fontion génératrie de la loi de}

X 1 ,n

^sahant

{X 1 ,n > 0}

^{. Comme}

P (X = 0) < 1

^{, on remarque que}

ϕ(0) < 1

^{et don la fontion}

Q _n

^{est bien}

dénie.

() Enutilisant l'équivalent

1 − x ^{1 /n} = ¹ _n log(x) + o(1/n)

^{,onen déduit que:}

Q(z) = lim

n→ + ∞ Q _n (z) = 1 − log(ϕ(z)) log(ϕ(0)) ·

(d) On observe que

lim _z↑1 Q(z) = 1

^{, don}

Q

^{est une fontion} génératrie. On dé- duit de la question 2) que

X

^{est de loi de Poisson omposée de paramètre}

(− log(ϕ(0)), Q)

^.

4. (a) Ona

log(1−qz) = − P

k∈ N ∗ (qz) ⁿ /n

^.Pour

k ∈ N ^∗

,onpose

p _k = q ⁿ /(n log(1/(1−

q)))

^et

p 0 = 0

^.Ona

p _k ≥ 0

^et

P

k∈ N p _k = 1

^{.Onendéduitque}

Q q

^estlafontion

génératie delaloi de probabilité

(p _k , k ∈ N )

^.

(b) Ondéduit delaquestion 2)que

Z

^{estdeloidePoissonomposéedeparamètre}

(− log(p), Q 1 −p )

^{.Don laloi}géométrique est inniment divisible.

Exerie : Fontion d'ore sur le marhé de l'életriité

Notationindiative sur3 points: question 1.ourbe d'ore danslepremier as(1 point)

etdansleseondas (1 point), question 2.(1 point)

1. Lesoûts proportionnels desdiérentes tehnologiessont:

Coûten

e

/MWh Quand CO2 =10

e

/tCO2 Quand CO2 =40

e

/tCO2

Éolien 0 0

Centrale harbon 0,5*100+0,5*2,5*10 =62,5 0,5*100 +0,5*2,5*40=100

Centrale gaz

1

40%

^{*24 +}

1

40%

^*0,2*10=65

1

40%

^{*24 +}

1

40%

^*0,2*40=80

Danslepremier aslespaliers sontà25MW(100*25%)pourlepassage del'éolien

auharbonet525MW(25+500)pourlepassageduharbonaugaz.Dansleseond

as,lepalieréolien/gazestà25MWetlepaliergaz/harbon à275MW(25+250).

Lesfontionsd'ores sont représentées surlegraphique 1.

Onpeutremarquerquelesdeuxtehnologiesharbonetgazs'inversentdanslemerit

order enfontion du prix duCO2.

2. Le prix spot (obtenu par roisement entre ore et demande) vaut 65

e

/MWh dans lepremier aset100

e

/MWh dansleseondas.

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Figure1 Fontionsd'ores danslesdeux ongurations deprix du arbone.