Août 2002

PanaMaths

[1 - 3]

Août 2002

Soit ( ) ^u

_{n n∈`}

une suite réelle convergente de limite l.

1. Montrer que

2

( )

1

lim 1

ⁿ _p

0

n

p u l

→+∞

n

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

− =

∑ ^;

2. En déduire

₂

1

lim 1

n

n

pu

p

→+∞

n

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝

∑

⎠

^.

Analyse

L’essentiel du travail se situe au niveau de la première question.

On utilise la définition de la convergence d’une suite réelle en cherchant à majorer v_n où

( )

^v_{n n∈`} est la suite définie par : ^* 2

( )

1

, 1

n

n p

n v p u l

∀ ∈^` =n

∑

− ^.

La deuxième limite découle immédiatement du premier résultat.

Résolution

Question 1.

On pose donc : ^* 2

( )

1

, 1

n

n p

n v p u l

∀ ∈^` = n

∑

− et on considère : 2

( )

1

1 ⁿ

n p

v p u l

= n

∑

− ^.

Soit alors ε un réel quelconque strictement positif.

On a d’abord :

( )

2 2

1 1

1 ⁿ 1 ⁿ

n p p

v p u l p u l

n n

=

∑

− ≤

∑

−

Comme la suite

( )

^u_{n n∈`} est convergente de limite l, il existe un entier naturel N tel que :

, _n

n n N u l ε

∀ ∈` > ⇒ − <

Pour n> N, on peut alors « couper » la somme

1 n

p up−l

∑

en deux comme suit :

1 1 1

n N n

p p p

N

p u l p u l p u l

+

− = − + −

∑ ∑ ∑

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[2 - 3]

Août 2002

Chacun des deux termes peut être facilement majoré :

• Soit A=max

{

u1−l u, 2−l,...,u_N −l

}

.

On a :

( )

1 1

1 2

N N

p

p u l A p AN N−

− ≤ =

∑ ∑

^.

• Par ailleurs :

( )

1 1 1

1 2

n n n

p

N N

p u l ε p ε p ε n n

+ +

− ≤ < = −

∑ ∑ ∑

^{et ε n n}

⁽

₂⁻¹

⁾

^{<ε n}₂^2.

Il vient donc :

( )

²

1 1 1

1

2 2

n N n

p p p

N

N N n

p u l p u l p u l A ε

+

− = − + − < − +

∑ ∑ ∑

D’où :

( )

2 2

1

1 1

2 2

n

n p

v p u l AN N

n n

− ε

≤

∑

− < +

Ces inégalités sont valables pour tout entier naturel n strictement supérieur à N.

A et N étant fixés (dès lors que ε l’est), le terme

( )

2

1 2 AN N

n

− peut-être rendu aussi petit que

souhaité puisque l’on a :

( )

2

lim 1 0

2

n

AN N

→+∞ n

⎛ − ⎞

⎜ ⎟=

⎝ ⎠ . En particulier :

( )

2

'/ , ' 1

2 2

N n n N AN N n

ε

∃ ∀ ∈` > ⇒ − <

En posant alors ^{M =max}

{

^{N N, '}

}

, il vient :

2 2

n>M ⇒ vn < + =ε ε ε

En d’autres termes :

0, M /n M v_n

ε ε

∀ > ∃ ∈` > ⇒ <

C’est à dire :

( )

2 1

lim lim 1 0

n

n p

n v n p u l

→+∞ →+∞ n

⎛ ⎞

= ⎜ − ⎟=

⎝

∑

⎠

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[3 - 3]

Août 2002 Question 2.

On va naturellement ici utiliser le résultat de la question précédente.

Pour cela, on récrit le terme général de la suite

* 2

1

1 ⁿ

p n

n pu _∈

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝

∑

⎠

`

comme suit :

( )

2 2 2

1 1 1

1 ⁿ 1 ⁿ 1 ⁿ

p p

pu p u l pl

n

∑

= n

∑

− +n

∑

On a :

( )

2 2 2

1 1

1 1

2

n l n l n n

pl p

n n n

= = −

∑ ∑

et donc : ₂

1

lim 1

2

n

n

pl l

→+∞ n

⎛ ⎞=

⎜ ⎟

⎝

∑

⎠ ^.

Comme, d’après la première question, 2

( )

1

lim 1 0

n

n p up l

→+∞ n

⎛ − ⎞=

⎜ ⎟

⎝

∑

⎠ , on peut écrire :

( )

2 2 2

1 1 1

1 1 1

lim lim lim 0

2 2

n n n

p p

n n n

l l

pu p u l pl

n n n

→+∞ →+∞ →+∞

⎛ ⎞= ⎛ − ⎞+ ⎛ ⎞= + =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝

∑

⎠ ⎝

∑

⎠ ⎝

∑

⎠

Finalement :

2 1

lim 1

2

n n p

pu l

→+∞ n

⎛ ⎞=

⎜ ⎟

⎝

∑

⎠

Résultat final

Pour toute suite réelle convergente de limite l, on a :

( )

2 1

lim 1 0

n

n p up l

→+∞ n

⎛ − ⎞=

⎜ ⎟

⎝

∑

⎠

et

2 1

lim 1

2

n n p

pu l

→+∞ n

⎛ ⎞=

⎜ ⎟

⎝

∑

⎠

( )

^u_{n n∈`}