Principe Fondamental de la Statique

(1)

L’objectif de la statique est de calculer l’ensemble des actions mécaniques appliquées à un solide en équilibre.

Cette phrase implique 2 choses :

- Il faut commencer par faire l’inventaire de toutes les actions mécaniques exercées par l’environnement sur le solide, sans en oublier, en isolant le solide étudié.

- En supposant que le solide est en équilibre, on peut appliquer le principe fondamental de la statique.

Principe Fondamental de la Statique

(2)

 Isolement d’un solide

Isoler un solide consiste à enlever tous les éléments extérieurs à ce solide, et à les remplacer par l’action mécanique qu’ils exercent sur ce solide.

Exemple : mécanisme de bridage ;

Ce levier reçoit :

- aucune action directe du vérin ni de sa tige ni du levier intermédiaire.

isolons le levier d’appui

A B

C

On « enlève » donc ces 3 pièces sans

marquer d’action mécanique

(3)

 Isolement d’un solide

Exemple : mécanisme de bridage ; Ce levier reçoit :

A B

C

- une action en B exercée par la bielle 2 : B_21

 Cette fois, on enlève le solide 2 et on le remplace par l’action mécanique qu’il exerce sur le solide isolé (solide 1)

(4)

 Isolement d’un solide

- une action en B exercée par la bielle 2 : B_21

- une action en A exercée par le bâti 0 : A_01

A B

C

 Comme précédemment, on enlève le solide 0 et on le remplace par l’action

mécanique qu’il exerce sur le solide isolé (solide 1)

B_21

(5)

 Isolement d’un solide

.- une action en B exercée par la bielle 2 : B_21

- une action en C exercée par la pièce 3 : C_31

A B

 Comme précédemment, on enlève le solide 3

C

et on le remplace par l’action mécanique qu’il exerce sur le solide isolé (solide 1)

A_01

B_21

(6)

C A B

B_21

A_01 C_31

 Isolement d’un solide

.- une action en B exercée par la bielle 2 : B_21

- une action en C exercée par la pièce 3 : C_31

- …et il ne faut pas oublier les actions à distance, telles que le poids P appliqué au centre de gravité.

G

P

(7)

 Isolement d’un solide

Pour n’oublier aucune action mécanique, il est possible de s’appuyer sur le graphe des liaisons du mécanisme.

Chaque liaison fait apparaître des forces et/ou des moments.

Exemple : mécanisme de bridage

pivot

pivot pivot

pivot Pivot

glissant

ponctuelle

Appui plan

pivot

Frontière d’isolement

…et d’imaginer une frontière qui ’’isole’’

l’ensemble voulu.

- une action en B exercée par la bielle 2 : B_21 - une action en C exercée par la pièce 3 : C_31 - une action en A exercée par le bâti 0 : A_01

- Ne pas oublier les actions à distance : le poids P

P

Il suffit d’observer les liaisons…

Chaque trait de liaison peut être considéré comme un « trait d’action ».

(8)

 Isolement d’un solide

Exemple : mécanisme de bridage

pivot pivot

pivot

pivot Pivot

glissant

ponctuelle

Appui plan

P

Il est aussi possible d’isoler plusieurs solides à la fois. Dans ce cas, la frontière d’isolement englobe plusieurs solides, et seules, les liaisons qui coupent la frontière sont considérées. Les liaisons « intérieures » ne décrivent que des actions mécaniques intérieures et sont alors ignorées.

P P

(9)

 Isolement d’un solide

Exemple 2 : transporteur de troncs d’arbres

Système

isolé ACTIONS EXTERIEURES ACTIONS

INTERIEURES

1 2 3 (1+2) (1+3) (2+3) (1+2+3)

C_41 D_31 P₁ A_42 E_32 P₂

D_13 E_23 F_43 B_43 P₃

néant néant néant

P₁ P₃ P₂

1 4 3

2

A D E

C B F

1 A

D E

C 2

3 F

B

4

(10)

 Isolement d’un solide

4 1

G₁ A

D E C

B

G₂

G₃ 2

3

F

Système

INTERIEURES

1 2 3 (1+2) (1+3) (2+3) (1+2+3)

C_41 D_31 P₁ A_42 E_32 P₂

D_13 E_23 F_43 B_43 P₃

C_41 A_42 D_31 E_32 P₁ P₂ P₁ P₃ P₂

1 4 3

D_31 D_13

2

C_41 E_23 F_43 B_43 P₁ P₃

E_32 E_23 A_42 D_13 F_43 B_43 P₂ P₃

néant néant néant néant

(11)

 Isolement d’un solide

4 1

G₁ A

D E C

B

G₂

G₃ 2

3

F

Système

INTERIEURES

1 2 3 (1+2) (1+3) (2+3) (1+2+3)

C_41 D_31 P₁ A_42 E_32 P₂

D_13 E_23 F_43 B_43 P₃

C_41 A_42 D_31 E_32 P₁ P₂ P₁ P₃ P₂

1 4 3

2

D_31 D_13 C_41 E_23 F_43 B_43 P₁ P₃

E_32 E_23 A_42 D_13 F_43 B_43 P₂ P₃

D_31

E_32 D_13 E_23

C_41 P₁

A_42 B_43 F_43 P₂ P₃

néant néant néant néant

(12)

 Actions mutuelles

Dans l’exemple précédent, on se rend compte que les actions mécaniques dans une liaison peuvent s’exprimer de 2 façons suivant que l’on isole l’un ou l’autre des 2 solides.

Ces deux actions mécaniques représentent la même chose.

La différence réside dans le sens des vecteurs. Ils sont opposés :

D

^D^13

1

D_31 D_13

3 = -

D_13 D_31

D

D_31

(13)

 Équilibre d’un solide

Lorsqu’un solide a une vitesse constante (quelle que soit cette vitesse) on dit qu’il est en équilibre sous l’effet des actions mécaniques extérieures .

Reprenons l’exemple de l’objet soutenu avec un fil :

Que subit l'objet ? F

P avec F = - P

Que subit le fil ?

- P - F

Le fil, comme l'objet, est

en équilibre

sous l'action de

deux forces

qui sont

"égales et opposées"

(14)

 Équilibre d’un solide

1

^ere

condition d’EQUILIBRE d'un solide :

La somme des FORCES EXTERIEURES appliquées à un solide en équilibre est NULLE

« Théorème des FORCES »

S = F

₁

+ F

₂

+ ...+ F

_n

= 0

S = F

₁

+ F

₂

+ ...+ F

_n

= 0

(15)

 Équilibre d’un solide

2

^eme

condition d’EQUILIBRE d'un solide

La somme des MOMENTS DES FORCES EXTERIEURES appliqués à un solide en

équilibre est NULLE

« Théorème des MOMENTS »

M

_/A

=M

_/A(F1)

+ M

_/A(F2)

+ ...+ M

_/A(Fn)

= 0

M

_/A

=M

_/A(F1)

+ M

_/A(F2)

+ ...+ M

_/A(Fn)

= 0

(16)

 Équilibre d’un solide

On s’aperçoit donc que pour être en équilibre, il faut que la somme des forces extérieures ET la somme des moments extérieurs appliqués sur un solide soient nulles.

Ceci nous amène à formuler le…

PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE (PFS) :

Dans un repère GALILEEN, pour tout système isolé (S) en équilibre par rapport à ce repère, la somme de toutes les actions mécaniques extérieures exercées sur (S), est nulle.

S = F

₁

+ F

₂

+ ...+ F

_n

= 0

M

_/A

=M

_/A(F1)

+ M

_/A(F2)

+ ...+ M

_/A(Fn)

= 0

S = F

₁

+ F

₂

+ ...+ F

_n

= 0

M

_/A

=M

_/A(F1)

+ M

_/A(F2)

+ ...+ M

_/A(Fn)