E XO CI-5 : L IAISONS ÉQUIVALENTES 1 Paramétrage
#»x
#»y
#»z
A
B C
D
AB# » = Lx.#»x
# »
AD = Lx.#»x +Ly.#»y AC# » = Ly.#»y
# »
AG = xG.#»x +yG.#»y +zG.#»z
#»g = −g.#»z
La masse totale de la chaise et de la personne vautM.
2 Principe fondamental de la statique
• On isole la chaise et la personne, ensembleΣ
• On fait le BAME appliquée sur l’ensembleΣ
◦ Action de la pesanteurFg→Σ =
G
( −m.g.#»z0
#»0 )
◦ Action du sol sur chacun des piedsXFsol→Σ=
X
( NX.#»z0
#»0 )
• On applique le PFS àΣdans le repère galiléen lié au sol :
FΣ→Σ=0 ⇒
G
( −m.g.#»z0
#»0 )
+ X
X∈{A,B,C,D}
"
X
( NX.#»z0
#»0 )#
=0
Plaçons tous les torseurs au pointA: M#»
(A,sol→XΣ) =
#»
M(X,sol→XΣ)+ # » AX∧#»
F(sol→XΣ)=
Xx.#»x +Xy.#»y
∧NX.#»z =NX.
Xy.#»x −Xx.#»y L’expression du PFS devient :
NA +NB +NC +ND −m.g =0 0 +0 +Ly.NC +Ly.ND −m.g.yG=0 0 −Lx.NB −Lx.NC +0 m.g.xG =0
⇒
1 1 1 1
0 0 Ly Ly 0 Lx 0 Lx
.
NA
NB
NC ND
=m.g
1 yG
−xG
Le système est clairement de rang 3. Si on enlève un pied, il est alors possible de le résoudre.
3 Liaisons équivalentes
LYCÉECARNOT(DIJON) 1/2 MPSI-PCSI - EXOCI-5
3.1 Point de vu du torseur des actions transmissibles
Les liaisons étant en parallèle, le torseur des actions transmissibles de la liaisons équivalente est la somme des torseurs des actions transmissibles de chacune des liaisons :
X
X∈{A,B,C,D}
"
X
( NX.#»z0
#»0 )#
=Fsol→Σ ⇒
0 +0 +0 +0 =Xeq
0 +0 +0 +0 =Yeq
NA +NB +NC +ND =Zeq 0 +0 +Ly.NC +Ly.ND=Leq
0 −Lx.NB −Lx.NC +0 =Meq
0 +0 +0 +0 =Neq
⇒ Fsol→Σ=
A
( (NA+NB+NC+ND).#»z Ly.(NC+ND).#»x −Lx.(NB+NC).#»y
)
LYCÉECARNOT(DIJON) 2/2 MPSI-PCSI - EXOCI-5
