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Correction devoir maison n°4
Exercice 1
1) .
Ceci montre que les vecteurs et sont colinéaires et que les point , sont alignés.
2) donc ou encore :
0. est donc le barycentre de ; et ;.
3) 3 2 donc 3 2 ou encore 2 3 0. est donc le barycentre de ; 2 et ; 3.
Exercice 2 1)
2) 3 0 donc est bien le barycentre de
; 3 et ; 1.
3) 3 3 3 3 4 ! 0 donc est bien le barycentre de ; 3 et ; 1.
4) Comme " est le barycentre de ; 3, ; 3 et ; 1, on peut dire, en utilisant la propriété d’associativité du barycentre, que " est le barycentre de ; 3 et ; 4 ce qui signifie que "
appartient à la droite .
De même, " est aussi le barycentre de ; 3 et ; 4 donc " appartient à la droite . D’autre part, comme # est le milieu de $%, # est le barycentre de ; 1 et ; 1 ou encore de ; 3 et ; 3. Pour en revenir à ", il est le barycentre de #; 6 et ; 1 donc il appartient à #.
Pour finir " appartient aux trois droites , et # qui sont donc concourrantes.
Exercice 3 1)
2) ' ( (' ( ( ( ( ( ( or comme ) est le milieu de $%, autrement dit que ) est le barycentre de ; 1 et ; 1, on a ( ( 2( d’où * ' 2(. *
3) Cette égalité nous montre que les vecteurs ' et ( sont colinéaires donc les droites * ' et (* sont parallèles.
Par ailleurs, (* est la médiatrice du segment $% car elle passe par le centre du cercle circonscrit à et par le milieu de $% donc elle est perpendiculaire à . Nous avons donc que la droite ' est perpendiculaire à et passe par le sommet . C’est la définition de la hauteur issue de . Donc ' appartient à la hauteur issue de .
4) De la même manière, on peut montrer que ' 2( puis que * ' appartient à la hauteur issue de puis que ' 2( puis que * ' appartient à la hauteur issue de .
' appartient donc aux trois hauteurs du triangle , c’est l’orthocentre de . 5) Comme " est le centre de gravité du triangle , cela signifie que c’est le barycentre de
; 1, ; 1 et ; 1. Donc pour tout point , on a 3" . En utilisant cette formule pour (, on a 3(" ( ( ( ('.
6) Ceci nous montre que les vecteurs (' et (" sont colinéaires et que les points (, " et ' sont alignés.
