TS Correction Devoir Maison 4 2011-2012
EXERCICE 1 :
f définie surRparf(x) = x ex−x. Partie A
Soitg la fonction définie surRparg(x) = ex−x−1.
1. Variations de la fonctiong surRet signe deg.
(a) Soit gla fonction définie surRparg(x) = ex−x−1. Cette fonction est dérivable et g′(x) = ex−1.
• g′(x) = 0⇔ex−1 = 0⇔ex= 1⇔x= 0 ;
• g′(x)<0⇔ex−1<0⇔ex<1⇔x <0 donc gest décroissante surR−
• g′(x)>0⇔x >0 doncg est croissante surR+ x
Signe deg′(x) Variations
deg
−∞ 0 +∞
− 0 +
00
La fonction g admet un minimum 0 atteint en 0 : en effet la dérivée de g s’annule en changeant de signe et la fonction est décroissante puis croissante.∀x∈R, g(x)>g(0)⇔g(x)>0.
2. ∀x∈R, g(x)>0⇔ex−x−1>0⇔ex−x>1 ce qui implique que ex−x >0 donc est ex−xest strictement positif.
Partie B
1. (a) Limites de la fonctionf en +∞et en−∞:
∀x6= 0, x
ex−x = 1 ex
x −1
et lim
x→+∞
ex
x = +∞donc lim
x→+∞f(x) = 0.
x→−∞lim ex
x = 0 donc lim
x→−∞f(x) =−1 par opérations sur les limites.
(b) lim
x→+∞f(x) = 0 =⇒l’axe des abscisses est asymptote àCf en +∞.
x→−∞lim f(x) =−1 =⇒la droite d’équationy=−1 est asymptote àCf en−∞.
2. (a) Calcul def′(x) :f = u
v avecu:x7−→xetv:x7−→ex−x.∀x∈R, f′(x) =ex−x−x(ex−1)
(ex−x)2 =ex(1−x) (ex−x)2 (b) ∀x∈R, ex−x >0 et ex>0 donc le signe def′(x) dépend de celui de 1−xet f′(−1) = 0. On a donc :
x Signe de 1−x Signe def′(x)
Variations deg
−∞ 1 +∞
+ 0 −
+ 0 −
−1
−1
1 e−1
1 e−1
00 f est strictement croissante sur ]− ∞; 1] et strictement décroissante sur [1; +∞[ . 3. (a) Équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse 0 :
(T) : y=f′(0)(x−0) +f(0)⇔(T) : y= 1×x+ 0⇔(T) : y=x(en effet f′(0) = 1 etf(0) = 0)
(b) Pour étudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite (T), il faut déterminer le signe de la différencef(x)−xpour toutxréel.
∀x∈R, f(x)−x= x
ex−x−x=...=−xg(x)
ex−x (détail des calculs laissé au lecteur)
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x Signe de−x Signe deg(x) (partie A) Signe de ex − x(partie A)
Bilan des signes def(x) − x
−∞ 0 +∞
+ 0 −
+ 0 +
+ 1 +
+ 0 −
• Cf et (T) se coupent en (0; 0).
• Pourx <0, f(x)−x >0⇔f(x)> x⇔Cf est au-dessus de (T).
• Pourx <0, f(x)−x <0⇔f(x)< x⇔Cf est au-dessous de (T).
4. Droite (T), Asymptotes et Courbe (C) :
O ~i
~j
EXERCICE 2 :
Questions indépendantes sur les nombres complexes : 1. Partie réelle et partie imaginaire :Z= 2−i
1 +i +1 +i
2−i = 2−i
1 +i×1−i
1−i +1 +i
2−i×2 +i 2 +i
= (2−i)(1−i)
2 +(1 +i)(2 +i)
5 =1−3i
2 +1 + 3i
5 =5−15i+ 2 + 6i
10 = 7
10− 9 10i donc Re(Z)= 7
10 et Im(Z)=−9 10 2. z est un nombre complexe différent de−3.
Z =2−z 3 +z Z est réel⇔Z =Z ⇔
2−z 3 +z
=2−z
3 +z ⇔ 2−z
3 +z =2−z
3 +z ⇔ 2−z
3 +z =2−z 3 +z (∗)
Un produit en croix dans (∗) donne : (∗)⇔(2−z)(3 +z) = (2−z)(3 +z)⇔z+z2=z+z2⇔z−z+z2−z2= 0
⇔(z−z)(1 +z+z) = 0⇔z−z= 0 ou 1 +z+z= 0⇔z=zouz+z=−1 (⊛)
A ce stade, on posez=x+iyet (⊛) devient : (⊛)⇔zestréelou 2x=−1⇔zestréeloux=−1 2 S=R∪
z∈Ctels quez=−1
2 +iy, y∈R
Ainsi l’ensemble des pointsM du plan complexe correspondants est la réunion de deux droites : l’axe des abscisses d’équationy= 0 union la droite parallèle à l’axe des ordonnées d’équationx=−1
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3. On pose pour tout nombre complexez :
P(z) =z3−(4−i)z2+ 2(13 + 2i)z−23−5i
• P(1) = 1−(4−i) + 2(13 + 2i)−23−5i= 1−4 +i+ 26 + 4i−23−5i= 0 + 0i= 0 ;
• P(i) =i3−(4−i)i2+ 2(13 + 2i)i−23−5i=−i+ 4−i+ 26i−4−23−5i=−23 + 19i;
• P(−i) = (−i)3−(4−i)×(−i)2+ 2(13 + 2i)×(−i)−23−5i=...=−15−31i;
• P(2−i) = (2−i)3−(4−i)(2−i)2+ 2(13 + 2i)(2−i)−23−5i= 2−11i−8 + 19i+ 56−18i−23−5i= 27−15i.
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