continuité

Continuit´e de fonctions 1

Arthur LANNUZEL

le 7 D´ecembre 2008

Fonctions r´ eelles d’une variable r´ eelle : continuit´ e

1 D´ efinition de la continuit´ e.

1.1 continuit´ e en un point, sur un domaine.

Soit f une fonction de R dans R d’ensemble de d´efinitionD_f : f : D_f ⊂R −→ R

x 7→ f(x)

D´efinition 1.1 Soit x₀ ∈ D_f.

On dit que f(x) est continue en x₀ si la limite de f(x) existe en x₀ (dans ce cas cette limite sera f(x0), cf. TD).

f est dite continue sur un ensemble D, si elle est continue en tout point de D.

Exemples 1.2 1) x7→x est continue sur R.

2) x7→ ¹_x est continue sur R^∗.

3) x 7→ E(x) d´efinie sur R est continue sur ]n, n+ 1[ mais n’est pas continue en n. Si on restreint la fonction `a [n, n+ 1[, la fonction est continue sur cet intervalle.

4) la fonction

f : R −→ R x 7→

½ f(x) = ^sin_x^x si x6= 0

f(x) = 1 sinon

est continue en 0. Cette fonction s’appelle le prolongement par continuit´e de ^sinx_x .

Remarque 1.3 La continuit´e est un propri´et´e locale. Pour montrer la continuit´e en x₀, Il suffit de travailler sur un intervalle autour de x₀.

1.2 Continuit´ e ` a gauche, continuit´ e ` a droite en un point.

D´efinition 1.4 Soit x₀ ∈ D_f.

1) On dit que f(x) est continue `a gauche en x<sub>0</sub> si f est d´efinie sur un intervalle du type ]x<sub>0</sub>−α, x<sub>0</sub>] (α >0) et la limite `a gauche de f(x) existe en x₀ et vaut f(x₀).

2) On dit que f(x) est continue `a droite en x<sub>0</sub> si f est d´efinie sur un intervalle du type [x<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>+α[ (α >0) et la limite `a droite de f(x) existe en x₀ et vaut f(x₀).

Continuit´e de fonctions 2

Exemples 1.5 La fonction

f : R −→ R

x 7→ E(X)

est continue `a gauche et `a droite en x pour tout x ∈ R\Z mais n’est pas continue gauche en x∈Z.

Th´eor`eme 1.6 f est continue en x0 ssi f est continue `a gauche et `a droite en x0.

1.3 Propri´ et´ es de la continuit´ e..

Th´eor`eme 1.7 Soient f, g:R−→R continue en x₀, alors (i) f +g est continue en x₀,

(ii) f ×g continue en x₀,

(iii) si f 6= 0 en x₀, ¹_f est continue en x₀. Preuve.

provient directement des propri´et´es des limites.

CQFD

Th´eor`eme 1.8 Soient f : R −→ R continue en x₀ et g : R −→ R continue en f(x₀) alors g◦f est continue en x₀.

Preuve.

provient directement des propri´et´es des limites.

CQFD

2 Continuit´ e et intervalles.

D´efinition 2.1 i) On dit que f est continue sur [a, b] si f continue sur ]a, b[ et f continue `a droite en a et continue `a gauche en b.

ii) On dit que f est continue sur ]a, b] si f continue sur ]a, b[ et f est continue `a gauche en b.

iii) On dit que f est continue sur [a, b[ si f continue sur ]a, b[ et f continue `a droite en a.

Th´eor`eme 2.2 (valeurs interm´ediaires)Soient f : [a,b]⊂R−→R continue.

Soit c compris entre f(a) et f(b) alors ∃x∈[a, b] tel que f(x) =c.

Preuve.

Supposons f(a)≤f(b).

Soit E ={x∈[a, b]/∀t∈[a, x], f(t)≤c}.

Soit s := sup_R(E) alors f(s)≤c car ∀x∈E, f(x)≤c [en effet, ∃(un) ⊂E convergeant vers s etf(u_n)≤c].

Continuit´e de fonctions 3

Supposons f(s) < c. Soit ² = ^c−f₂^(s) alors, puisque f continue sur [a, b], donc en s, ∃α/(x ∈ ]s−α, s+α[=⇒ |f(s)−f(x)|< ²).

Donc ∃x > s/f(x)< c d’o`u une contradiction avec le fait que s= sup_R(E).

Donc f(s) = c.

CQFD

Exercice 2.3 Soit f : [0,1] −→ [0,1] continue. Montrer qu’elle admet un point fixe (i.e.

c∈[0,1]/f(c) = c).

Corollaire 2.4 L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Preuve.

imm´ediate d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent.

CQFD

Th´eor`eme 2.5 (admis)

Soitf continue surI intervalle ferm´e born´e (I = [a, b]) alors f(I)est un intervalle ferm´e born´e [M, m].

Exercice 2.6 1) Montrer que l’image d’un ouvert par un fonction continue n’est pas n´ecessairement un ouvert.

2) Montrer que f([a, b]) n’est pas n´ecessairement [f(a), f(b)].

Exercice 2.7 Soit f :I ⊂R−→R, o`u I est un intervalle.

On dit que f est lipchitzienne sur I si ∃k ≥0/∀x, y ∈ I,|f(x)−f(y)| ≤k.|x−y| (on dit que f est lipchitzienne de rapport k).

1) Montrer que si f lipchitzienne sur I alors f est continue sur I.

2) Montrer que sin :R−→R est lipchitzienne sur R.

3) Montrer que f(x) = √

xest lipchitzienne sur [a,+∞[ ∀a >0mais n’est pas lipchitzienne sur [0,+∞[.

Th´eor`eme 2.8 (th´eor`eme du point fixe)

Soit f :I ⊂R−→I (I intervalle ferm´e) contractante (i.e. lipchitzienne de rapport 0≤k <1) alors f admet un unique point fixe x0 ∈I (i.e. f(x0) =x0).

De plus ∀x∈I, la suite d´efinie par u₀ =x, u_n=f(u_n−1) converge vers x₀. Preuve. (admis)

Exercice 2.9 Soit la suite d´efinie par u0 = 1, un+1 = ¹₆(un)² + 1. Montrer que cette suite converge et d´eterminer sa limite.