mathsbdp.fr ______________Tspé. Le raisonnement par récurrence

mathsbdp.fr ______________Tspé. Le raisonnement par récurrence On peut utiliser un raisonnement par récurrence chaque fois qu’une propriété à démontrer dépend d’un entier naturel 𝑛, surtout lorsqu’il semble y avoir un lien simple entre ce qui se passe au rang 𝑛 et ce qui passe au rang 𝑛 + 1.

Ex. Démontrer que, pour tout entier 𝑛 ≥ 4, on a 2^𝑛 ≥ 4𝑛.

Un raisonnement par récurrence se rédige en quatre étapes :

● On commence par énoncer la propriété 𝑃_𝑛 à démontrer, en précisant pour quels entiers naturels cette propriété est définie.

Ex. ① Soit 𝑃_𝑛 la propriété : pour tout entier 𝑛 ≥ 4, on a : 2^𝑛 ≥ 4𝑛.

● Initialisation : on vérifie que la propriété est vraie au rang initial 𝑛₀(qui est souvent 0 ou 1).

② Pour cet exemple 𝑛₀ = 4

2⁴ = 16 et 4 × 4 = 16 donc pour 𝑛₀ = 4, on a bien 2^𝑛0 ≥ 4𝑛₀ donc 𝑃₄ est vraie.

● Hérédité : on prouve le caractère héréditaire de la propriété. On suppose que la propriété est vraie pour un entier naturel 𝑛 ≥ 𝑛₀ ( il s’agit de notre hypothèse de récurrence ) et on démontre que la propriété est encore vraie au rang 𝑛 + 1.

On suppose que 𝑷_𝒏 est vraie au rang 𝒏 avec 𝒏 ≥ 𝒏_𝟎 et on prouve que 𝑷_𝒏+𝟏 est encore vraie.

Ex. ③ On suppose la propriété vraie au rang 𝑛 ≥ 4 ;

prouvons qu’elle reste vraie au rang 𝑛 + 1, c’est-à-dire que 2^𝑛+1 ≥ 4(𝑛 + 1)

𝑃_𝑛 vraie donc 2^𝑛 ≥ 4𝑛 ; en multipliant les deux membres par 2, on obtient : 2^𝑛+1 ≥ 8𝑛 Prouvons que 8𝑛 ≥ 4(𝑛 + 1) soit 8𝑛 ≥ 4𝑛 + 4

On a 𝑛 ≥ 4 donc 4𝑛 ≥ 16 ; en additionnant 4𝑛 dans chaque membre, on obtient 8𝑛 ≥ 4𝑛 + 16 ≥ 4𝑛 + 4 donc on a bien 8𝑛 ≥ 4(𝑛 + 1) donc 𝑃_𝑛+1 est vraie.

● On conclut en invoquant le principe de récurrence, c’est-à-dire que la propriété 𝑃_𝑛 est vraie au rang 𝑛₀ et est héréditaire, donc pour tout entier 𝑛 ≥ 𝑛₀, on a 𝑃_𝑛 vraie.

④ Conclusion : la propriété est vraie pour 𝑛 = 4 et est héréditaire à partir du rang 4 donc pour tout entier 𝑛 ≥ 4, 2^𝑛 ≥ 4𝑛.

Ex1. On définit la suite (𝑢_𝑛) par 𝑢₀ = 0 et pour tout entier 𝑛 ≥ 0 par 𝑢_𝑛+1 = √4 + 𝑢_𝑛² Conjecturer une expression de 𝑢_𝑛 en fonction de 𝑛 puis démontrer cette conjecture.

Ex2. Soit (𝑢_𝑛) et (𝑣_𝑛) les suites définies par : 𝑢₀ = 3 et, pour tout entier 𝑛 ≥ 0, 𝑢_𝑛+1 = 2𝑢_𝑛− 1.

𝑣₀ = 1 et, pour tout entier 𝑛 ≥ 0, 𝑣_𝑛+1 = 2𝑣_𝑛+ 3.

1. Montrer par récurrence que, pour tout 𝑛 ≥ 0, a) 𝑢_𝑛 = 2^𝑛+1 + 1 b) 2𝑢_𝑛− 𝑣_𝑛 = 5 2. En déduire l’expression de 𝑣_𝑛 en fonction de 𝑛.

Ex3. On considère la suite (𝑢_𝑛) définie sur ℕ par 𝑢₀ = 1 et, pour tout 𝑛 ≥ 0, 𝑢_𝑛+1 = 𝑢_𝑛 + 2𝑛 + 3.

Démontrer que pour tout 𝑛 de ℕ, 𝑢_𝑛 > 𝑛².

mathsbdp.fr suites term spécialité Ex 1.

On injecte 𝑢₀ = 4 𝑐𝑚³ d’un médicament dans le sang d’un patient. La quantité de ce médicament présente dans le sang du patient 𝑛 heures après l’injection est 𝑢_𝑛. La quantité de médicament présente dans le sang baisse de 20 % chaque heure.

a) Calcule la quantité 𝑢₁ de médicament dans le

sang au bout de 1 heure et 𝑢₂ la quantité de médicament au bout de 2 heures.

b) Déterminer la formule de 𝑢_𝑛 en fonction de 𝑛.

c) Déterminer, à l’aide de la calculatrice, au bout de combien d’heures la quantité de médicament sera inférieure à 0,01 𝑐𝑚³.

d) Recopie et complète l’algorithme suivant pour qu’il permette de répondre à la question précédente.

e) Déterminer en justifiant les variations de la suite (𝑢_𝑛).

d) Conjecturer la limite de la suite. ( CONJECTURER = émettre une hypothèse, supposer )

Ex2. Soit (𝑢_𝑛) la suite définie pour tout entier naturel 𝑛 par : 𝑢_𝑛 = 2𝑛³− 30𝑛²+ 54𝑛 a) Établir le tableau de variations de la fonction 𝑓 définie sur [ 0 ; +∞ [ par :

𝑓(𝑥) = 2𝑥³− 30𝑥²+ 54𝑥 en détaillant la démarche.

b) Déduisez-en que la suite (𝑢_𝑛) est strictement CROISSANTE à partir d’un certain rang à préciser.

On pourra étudier les variations de la fonction 𝑓 et en déduire les variations de la suite (𝑢_𝑛) définie par 𝑢_𝑛 = 𝑓(𝑛) .

Ex3. Soit (𝑣_𝑛) la suite définie par 𝑣_𝑛 = ^𝑛

2^𝑛 pour tout 𝑛 de ℕ.

a) Déterminer les variations de la suite (𝑣_𝑛) en justifiant.

b) À l’aide de la calculatrice et sans justifier déterminer le plus petit indice 𝑝 tel que pour tout entier naturel 𝑛 tel que 𝑛 ≥ 𝑝, on a 𝑣_𝑛 < 10⁻⁵.

c) Faire une conjecture sur la limite de la suite (𝑣_𝑛).

Ex4. Soit la suite (𝑢_𝑛) définie par 𝑢_𝑛 = 1 000 + ^𝑛

𝑛+2. Démontrer que la suite (𝑢_𝑛) est bornée.

Rappels :

La suite (𝒖_𝒏) est majorée par un réel M ⟺ pour tout entier naturel 𝒏, 𝒖_𝒏 ≤ 𝑴 La suite (𝒖_𝒏) est minorée par un réel m ⟺ pour tout entier naturel 𝒏, 𝒖_𝒏 ≥ 𝒎 Une suite bornée est à la fois majorée et minorée.

n ←0 u ← ...

Tant que ...

n ← ...

u ← ...

FinTantQue Afficher ...

Rappels : pour étudier les variations d’une fonction, on calcule sa dérivée et on étudie son signe.

Lorsque la dérivée est positive, la fonction est croissante ;

lorsque la dérivée est négative, la fonction est décroissante.