II) Sens de variation d’une fonction (rappels)

(1)

I) Les pré-requis : Activité A p 46.

II) Sens de variation d’une fonction (rappels).

1°) Définitions :

Soit I un intervalle (ouvert ou fermé, borné ou non) . Soit ƒ une fonction définie au moins sur I. On dit que :

• ƒ est croissante sur I signifie que : pour tous réels u et v de I , si u < v alors ƒ(u) ≤ƒ(v)

• ƒ est strictement croissante sur I signifie que : pour tous réels u et v de I , si u < v alors ƒ(u) < ƒ(v)

• ƒ est décroissante sur I signifie que : pour tous réels u et v de I, si u < v alors ƒ(u) ≥ƒ(v)

• ƒ est strictement décroissante sur I signifie que : pour tous réels u et v de I, si u < v alors ƒ(u) > ƒ(v)

• ƒ est monotone sur I signifie que ƒ est croissante sur I ou décroissante sur I.

• ƒ est strictement monotone sur I signifie que ƒ est strictement croissante sur I ou strictement décroissante sur I.

Remarques :

• Ces notions ne sont valables que sur un intervalle

• On dit parfois que ƒ est croissante si elle conserve les inégalités et que ƒ est décroissante si elle renverse les inégalités.

• Le sens de variation des fonctions suivantes est à connaître parfaitement : x

a

_{ax + b x}

a

_x² _x

a

x 1 2°) Tableau de variation

a) Définition : étudier le sens de variation d’une fonction consiste à déterminer les intervalles de l’ensemble de définition sur lesquels la fonction est strictement croissante ou décroissante. Les résultats peuvent être consignés dans un tableau appelé tableau de variation.

b) Savoir exploiter un tableau de variations

Exercice n°1 : soit u une fonction dont le tableau de variation sur 3 est : x -∞ -1 3 +∞

u(x) 1

-2

Les informations contenues dans ce tableau permettent-elles de comparer :

• u(-3) et u(-2) ? • u(0) et u(1) ? • u(0) et u(4) ?

Pour s'entraîner : activité B p 46, exercices n°37 et 39 page 62.

III) Les fonctions de référence déjà connues : 1°) Tableau récapitulatif

Fonctions Ensemble de définition, variations … Représentations graphiques

f : x ^^→ a x + b

§ ^D^f⁼3

§ Si a > 0

f est strictement croissante sur 3

§ Si a < 0

f est strictement décroissante sur 3

f : x ^^→ x²

§ ^D^f⁼3

§ f est paire

§ f est strictement décroissante sur ] -∞ ; 0 ] et strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [

§ La courbe représentative de f est une parabole de sommet O.

f : x ^^→

x 1

§ ^D^f⁼3*

§ f est impaire

§ f est strictement décroissante sur ] -∞ ; 0 [ et strictement décroissante sur ] 0 ; + ∞ [

§ La courbe représentative de f est une hyperbole

de centre de symétrie l’origine du repère.

y = - x +1 y = 3 x + 2

y = x ²

y = x 1

(2)

Page 2 sur 5

Exercice n°2 : On a tracé les courbe représentatives des fonctions f, g, h et i définies par :

2 2 ) x x (

f +

= ; g(x)=x² ; x ) 1 x (

h = ;

2 x 1 2 ) x (

i =− +

a) Associer chaque fonction et sa courbe représentative.

b) Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation 2

2 x² x+

= et encadrer chacune des solutions par deux entiers consécutifs.

c) Utiliser ce graphique pour déterminer l'ensemble des solutions de l'inéquation : x² x 1<

Pour s'entraîner : activité C p 46.

2°) Fonctions affines : voir livre page 50 et exercice 3 p 51.

3°) Fonction carrée : voir livre page 50, exercice n°2 p 51.

Pour s'entraîner : exercice 28 p 62.

4°) Fonction inverse : voir livre page 50 et exercice n°4 p 51.

Pour s'entraîner : exercice 29 p 62.

5°) Savoir utiliser le sens de variation des fonctions usuelles pour manipuler des inégalités : Exercice n°3 : Dans chacun des cas suivants, donner le meilleur encadrement possible de f(x) a) f(x) = x² et -1< x ≤ 3. b) f(x) =

x

1et 2 < x ≤ 3. Pour s'entraîner : exercice 32 p 62.

6°) Apprendre à justifier :

Exercice n°4 : déterminer un encadrement de A =

−x sachant que x ∈

]

−;

[

Compléter les pointillés ci dessous. -2 < x < 0

La fonction carrée est …………..……. ………..………. donc ………. <x< ……….

On multiplie par ..……. ………..……… donc ………. <−x< ……….

On …………..……. ………..……….. donc ………. <−x<……….

La fonction inverse est ………..……….. donc ………. <

< −

x ……….

Conclusion : lorsque x ∈

]

−;

[

, ………….< A < ………

IV) La fonction racine carrée

1°) Pré requis : exercice n°5 : montrer que

+

− = +

2°) Définition :

la fonction f définie sur

[

;+∞

[

, qui a tout nombre réel positif x associe sa racine carrée x, est appelée fonction racine carrée.

3°) Sens de variation de la fonction racine carrée.

a) Propriété : la fonction f:xa x est croissante sur

[

;+∞

[

b) Démonstration (exigible) : voir cahier de cours.

c) Exercice n°6 : dans chaque cas, comparer les nombres sans les calculer. • , et , • π+_et 4°) Représentation graphique de la fonction racine carrée :

a) Tableau de valeurs :

x 0

1 4 9

x

C1

C2 C3

C4

2 3

-1 -2 -3

2 3 4 5

-1

-2

0 1

1 y

(3)

2 2

0 1

1

x y

Exercice n°7 : résoudre dans l’intervalle

[

;+∞

[

, l’inéquation

≤

x par lecture graphique puis par le calcul.

b) Propriété : dans un repère orthonormé, la courbe représentative C de la fonction racine carrée et la courbe représentative P de la fonction carré sur

[

;+∞

[

sont symétriques par rapport à la droite d’équation y =x.

5°) Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction s’écrivant à l’aide d’une racine carrée .

Exercice n°8 : dans chacun des cas suivants, déterminer l'ensemble de définition de f puis vérifier en construisant la courbe représentative de f sur un ordinateur ou une calculatrice.

♦ f(x) = 3−x ♦ f(x) = 1 x

1

+ , pour s'entraîner : exercice corrigé p 53, exercices 6 et 8 p 53, 40, 42à 44 p 63 Mémo : TRUC existe ssi TRUC ≥ 0 et 1

MACHIN existe ssi MACHIN ≠ 0 6°) Déterminer les variations d’une fonction s’écrivant à l’aide d’une racine carrée .

Exercice n°9 : déterminer le sens de variation sur l’intervalle I des fonctions suivantes :

♦ f(x) = 3−x, I =

]

−∞;

]

♦ f(x) = 1 x

1

+ , I =

]

−;+∞

[

pour s'entraîner : exercice 45 p 63.

7°) Conjecturer un extremum puis démontrer la conjecture : exercice 7 p 53. pour s'entraîner : exercices 9 p 53, 47 p 64.

8°) Equations irrationnelles (équation où figure un radical que l'on ne peut pas simplifier ) : Exercice n°10 : résoudre dans 3 x²+2x−3+2=xpuis x 1

3 3 2

x+ = − .

Indication : déterminer d'abord le domaine de définition de l'équation et puis utiliser la propriété : b

a= si et seulement si, b ≥0 et a = b².

V) Positions relatives des courbes d’équation y = x, y = x² et y = x 1°) Activité d’approche : voir TD n°….

2°) Propriété : • pour tout nombre réel x de l’intervalle

[ ]

;, x≤x≤ x

• pour tout nombre réel x de l’intervalle

[

;+∞

[

, x ≤x≤x 3°) Démonstration (exigible) : voir cahier de cours.

4°) Ordonner des nombres réels.

Exercice n°11 : ranger dans l’ordre croissant les trois séries de nombres suivants :

• π_,π _et π _• π

, π et

π . • − , − et − .

5°) Lier positions relatives de courbes avec signe de fonction.

Exercice n°12 : donner le signe de la fonction Φ définie sur l’intervalle

[

;+∞

[

par Φ

( )

x = x−x VI) Valeur absolue d’un nombre réel :

Sur une droite graduée d’origine O, x est l’abscisse d’un point M. La valeur absolue du nombre réel x, notée x , est la distance OM.

2°) Exemples : −= OA = 3 et = OB = 2

3°) Propriété : la valeur absolue d’un réel x noté x est égale au nombre x si x est positif et au nombre –x si x est négatif.

Autrement dit : Si x est positif alors sa valeur absolue est lui même : si x≥0alors x = x . Si x est négatif alors sa valeur absolue est son opposé : si x≤0alors x = -x.

-3 -2 -1 0 1 2 3

A O B

(4)

Page 4 sur 5

4°) Conséquences immédiates : a) pour tout réel x , x ≥ 0.

b) deux nombres réels opposés ont la même valeur absolue : pour tout nombre x, −x = x . c) pour tout nombre réel x, x = x .

5°) Applications :

Exercice n°13 : a) Dans chaque cas écrire sans utiliser la notation valeur absolue : − , − , ⁻ , + −, +

( )

− , × −. b) Comparer et . En déduire le signe de - . Exprimer alors sans valeurs absolues | - |.

Exercice n°14 : Calculer à la main et vérifier le résultat à la calculatrice : A = −+−−−. Sur graph 35+ : Mode Math : MENU RUN.MAT EXE MATH par F4 Abs par F3 .

Mode Line ou Math : MENU RUN.MAT EXE OPTN F6 NUM par F4 Abs par F1

Pour s'entraîner : exercice n° 10 page 55, 49 p 64, 53 à 56 p 65 6°) Lien entre distance et valeur absolue :

Exercice n°15 : sur la figure ci-contre, -2 est l’abscisse de A, 1 est

l’abscisse de C et 3 est l’abscisse de B donc par définition la distance entre 1 et 3

est égale à CB.

Théorème admis :

Si a et b sont deux réels, A et B les points d’abscisses respectives a et b d’une droite graduée alors : AB =a−b=b−a. Ce théorème permet de calculer la distance AB sans dessin. Pour s’entraîner : exercice n°66 et 67 p 66.

7°) Interpréter en terme de distance et résoudre une équation de la forme x−a =r.

Exercice n°16 : Résoudre les équations suivantes : a) x− = b) x+= c) x− = d) x−=−

Pour s’entraîner : exercice n°13 et 14 p 55. activité 4 p 49.

x et c sont deux réels, k est un réel strictement positif : x−c=r^⇔

(

^x⁼^c⁺^r ^ou^x⁼^c⁻^r

)

^.

8°) Résoudre une inéquation de la forme x−a≤r . Exercice n°17 : Résoudre les inéquations suivantes :

a) x−≤, b) x− ≤ c) x− ≤−, d) x+ ≤ e) x−≥ f) x+>

Pour s’entraîner : exercice n°15 p 55, 16 p56, 61 p 65, 7 p 72 9°) Passer d’un encadrement à une valeur absolue :

Exercice n°18 : a) Écrire l’encadrement –4 < x <2 sous forme d’intervalle.

b) Déterminer le centre et le rayon de cet intervalle.

c) Á l’aide de la notation valeur absolue, en utilisant le rayon et le centre de l’intervalle, écrire une inégalité vérifiée par tous les réels tels que –4 < x <2

Propriété :

Soit a et b deux réels tels que a < b : le centre de l’intervalle [a ; b ] est le réel c = 2 a+b_. le rayon de l’intervalle est [a ; b ] est le réel r =

2 b−a _.

10°) Relier les notions de valeur absolue, intervalle, distance.

Propriété :

Soit c un nombre réel et r un nombre réel positif, les quatre propositions suivantes sont équivalentes :

♦ La distance de x à c est inférieure ou égale à r ;

♦ x ∈

[

c−r ;c+r

]

;

♦ x−c ≤r ;

♦ c – r ≤_x≤_c+r.

-3 -2 -1 0 1 2 3

A O C B

(5)

Exercice n°19 : Compléter, le tableau suivant.

Notation valeur

absolue x - 8 ≤ 5 x+5 = 6 x+3 > 1

Egalités ou

inégalités x = -5 ou x = 15

-19 < x < -15 Valeurs ou

intervalles x ∈ [ - 5

2 ; 5 2 ] VII) La fonction valeur absolue :

La fonction f définie sur 3 qui à tout nombre réel x associe sa valeur absolue x , est appelée fonction valeur absolue

( )



≤

−

= ≥

=

x si x

x si x x x f

2°) Sens de variation : la fonction valeur absolue est strictement décroissante sur

]

−∞;

]

et strictement croissante sur

[

;+ ∞

[

3°) Représentation graphique :

Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction valeur absolue est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Exercice n°20 :

a) Dans le plan muni d'un repère orthogonal

( )

^O^,^rⁱ^,^r^j , construire la courbe représentative de la fonction valeur absolue |x|

b) Résoudre dans 3, les inéquations suivantes : |x| < 3 puis |x| ≥ 2.

c) Vérifier à l’aide d’un logiciel de calcul formel.

Exemple avec Xcas :

Scolaire, seconde, résoudre, puis dans Expr taper abs(x)>=2

4°) Représenter une fonction utilisant une valeur absolue :

Exercice n°21 : on considère la fonction définie sur 3 par f(x) = | 2x -3 |.

a. Ecrire, pour tout x de 3, la fonction f(x) sans valeur absolue.

b. Représenter graphiquement cette fonction dans un repère orthonormé

(

^O^,ⁱ^r^,^r^j

)

^.

c. Tracer la courbe à l’écran de la calculatrice :

MENU GRAPH EXE OPTN F6 NUM par F5 Abs par F1

Pour s’entraîner : exercice résolu 17 p 56, exercice n°96 1. 2. 3. p 70.

5°) Résoudre une équation ou une inéquation :

Exercice n°22 : on se propose de résoudre dans 3 l’équation : |x – 2| = 3.

a) Construire à l’écran de la calculatrice la courbe représentative de la fonction xa x− et la droite d’équation y = 3.

b) Lire graphiquement les solutions de l’équation.

c) Résoudre ensuite l’équation par le calcul.

d) Résoudre graphiquement l’inéquation |x – 2| < 3.

Exercice n°23 : soit g la fonction définie sur 3 par g(x )=

−− +

− x

x Ecrire l’expression de g sans valeur absolue.

Tracer sa représentation graphique. Résoudre graphiquement l’équation g(x)=2 et l’inéquation g(x)<2