Ø Si a>0, la fonction f est décroissante sur

LFM – Mathématiques – 2^nde 1 Ch 13 Fonctions du second degré

1°/ fonctions du second degré : xa(x-α)²+β

1.1 Domaine de définition : Df =R 1.2 Sens de variation

f est la fonction x a(x-α)²+ß avec a≠0.

Ø Si a>0, la fonction f est décroissante sur ]- ;α[∞ et croissante sur [α;+ [∞ Ø Si a<0, la fonction f est croissante sur ]- ;α[et décroissante sur ∞ [α;+ [∞ 1.3 Représentation graphique de f

f est la fonction x a(x-α)²+ß avec a≠0.

Ø Dans un repère orthonormé, la représentation graphique de f est une parabole ℘ de sommet S( α,ß) .

Ø On admet que la parabole ℘ possède comme axe de symétrie la droite passant par le sommet S et parallèle à l’axe des ordonnées.

Influence du signe de a

Si a>0, la parabole ℘ est tournée « vers le haut »

Si a<0, la parabole ℘ est tournée « vers le bas »

LFM – Mathématiques – 2^nde 2 Application : On considère la fonction f définie par f (x)=−x²+2x+3

a) Montrer que f(x) peut aussi s’écrire 4−(𝑥−1)²

b) En déduire les variations de f

c) Compléter le tableau de valeurs et mettez en évidence le « sommet » de la courbe.

x -1 0 1 2 3 f(x)

LFM – Mathématiques – 2^nde 3 2°/ Etude de fonctions

Fonctions polynômes de degré 2

Définition : Dire qu’une fonction f définie sur Rest une fonction polynôme de degré 2 signifie qu’il existe des nombres réels a ( 𝑎≠ 0 ), b et c tels que pour tout réel x : f(x)= 𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐

Il s’agit de la forme développée de f(x).

Ø On admet que f(x) peut aussi s’écrire sous la forme a(x-α)²+ß. Il s’agit de la forme canonique de f(x).

Ø On peut parfois factoriser f(x). On admet que c’est le cas lorsque la parabole ( P ) représentant f coupe l’axe des abscisses en deux points de coordonnées 𝑥_!et 𝑥_!. On obtient alors 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥−𝑥_! (𝑥−𝑥_!) Il s’agit de la forme factorisée.

Application : On considère la fonction f définie sur Rpar : f(x) = 𝑥+3 ^!−25 (F1) On note Cfsa courbe représentative.

1) Démontrer que f(x) peut aussi s’écrire sous les formes suivantes : 𝑓 𝑥 =𝑥²+6𝑥−16 (F2) ou 𝑓 𝑥 = 𝑥−2 (𝑥+8) (F3)

2) Choisir la ou les expressions de f(x) qui semblent les mieux appropriées pour répondre aux questions suivantes : cocher la case choisie et répondre à la question :

F1 F2 F3

a) Calculer f(0) b) Calculer f( -3 ) c) Calculer f(2)

d) Résoudre l’équation f(x) =0 e) Résoudre l’équation f(x) = 11 f) Résoudre l’équation f(x) = -16

g) Déterminer le minimum ou le maximum de f

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