P AUL -A NDRÉ M EYER Lemme maximal et martingales

S ^ÉMINAIRE N. B ^OURBAKI

P AUL -A NDRÉ M EYER Lemme maximal et martingales

Séminaire N. Bourbaki, 1968, exp. n

^o

334, p. 355-366

<

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355

20e

année, 1967/68,

^{n° 334 Novembre}

¹⁹⁶⁷

LEMME MAXIMAL ET MARTINGALES

(d’après

^{D. L.}

BURKHOLDER)

par Paul-André MEYER

Considérons un

"jeu

^de

^hasard équitable",

c’est-à-dire une suite

G~, G

1 ^,...

Gn

^{... de} variables aléatoires

intégrables (G n

^{est le}

^gain

^du

joueur

^{à la n-ième}

partie)

telles que

Gn ^soit,

pour tout n,

orthogonale

^à

toute fonction de

GO

^,...,

Gn-1 .

^. Cette condition se traduit en disant _{que les} variables aléatoires

X

⁼

GO , Xn

⁼

G~

^{+ ... +}

Gn ^qui représentent

^{les for-}

tunes successives du

joueur

^{forment une}

martingale.

Supposons

maintenant _{que le}

joueur

^{saute certaines}

parties.

^Il

prend

^à

l’instant n - 1 la décision de

jouer

^{ou de ne} pas

jouer

^{la n-ième}

partie.

La

règle

^{de décision est}

exprimée

par ^une suite de variables aléatoires

Va ’ V1

^...

Vn..

à valeurs dans

~0,1j (Vn

^{= 1}

^signifie

^{que la n-ième}

partie

^est

jouée).

^Pour

exprimer

que le

joueur

^n’est pas

prophète,

^on

impose

^à

Vn

^{d’être une} fonction mesurable de

G~

^,...,

Gn-1

seulement. La nouvelle fortune à l’instant n est

Yn _ VOGD

⁺

V1G1

^{+ ...}

VnGn .

Il est facile de voir _que les

Yn

^{forment une nouvelle}

martingale.

^Et mainte- nant on a les résultats

suivants,

^{dûs tous deux à} BURKHOLDER :

THÉORÈME.-

1)

^{On a pour tout c > 0}

cP{sup |Yn|~ c} ~

^K.

_sup

^.

2)

^{On a} pour tou t p f ini > 1

où ^{K ,} K

^{sont des} constantes "universelles".

P. A, MEYER

THÉORÈME.-

Pour tout p .fi.ni > 1 , les "normes"

sont

"équivalentes" ( K..N. ,

^où

K..

^{est une}

constante).

Ces résultats sont en fait des

conséquences

^du

premier

"lemme maximal" et du théorème

d’interpolation

de

MARCINKIEWICZ.

Le lemme maximal lui-même

peut

^se démontrer soit _{par la} méthode

générale

^de

BURKHOLDER,

^soit par ^une méthode élé-

mentaire,

^toute

récente,

^{due à GUNDY. Je} donnerai ici la méthode

générale,

que

je

^trouve

plus

intéressante _{pour des}

non-probabilistes.

I. Le lemme maximal.

1. Le théorème

général.

Un processus ^{est une} suite X = de variables aléatoires réelles définies sur un même _espace

probabilisé.

^{La loi du} processus ^est la mesure sur

RN , image

^{de la loi de}

probabilité

^P par X . ^Deux processus X ^{et Y sont} dits

équivalents (X-Y)

^{s’ils ont même loi}

(de

^même deux variables aléatoires réelles ayant même ^{loi sont dites}

équivalentes).

^{Si X = est un} proces- sus, ^nous posons X* ⁼

sup ]

^; la relation entraîne évidemment

X* ~ Y* .

THÉORÈME

1.- Soit $ ^un ensemble de processus. On suppose que, pour ^toute suite d’éléments

de $ ,

il existe des processus

Yk

définis sur un même espace

probabilisé

^{Q et} satisfaisant aux conditions suivantes :

a)

Les processus

Yk

sont

indépendants.

b)

^{Pour tout}

^{k ,}

^{on a}

(Yk~~ .

c)

Pour toute suite de nombres réels tels

que E

¹ , la série de processus E converge p.s. ^{vers un} processus ^Y

(cela signifie

que pour tout n E _{converge p.s.} vers

Y )

^{et on a}

PtY* c) ~

^{0 .}

Il existe alors une constante K telle _que l’on

ait,

pour ^tout processus XE~ et tout c > 0

(1~

^{K . ..}

2. Lemmes pour ^la démonstration du théorème 1.

Les

premiers

^lemmes concernent les fonctions de Rademacher sur

~0,1~

(fonctions

^définies par 1 ,

rn(t) = (-1 ~k

^{sur le} k-ième intervalle de la n-ième subdivision

dyadique

^de

(0,1~ ~.

^{Le dernier est un}

^petit

^exer-

cice

d’analyse.

Les fonctions de Rademacher forment un

système orthonormé

^dans

L2(~0,1~~ ;

^;

si

(g)

^{est une} suite de nombres réels telle que E

g2n ^{~ , ia}

^série

E _converge donc dans

L2 _(en

^fait

_p.p.)

vers une fonction LEMME 1.- On a pour tout p

fini,

^et il existe deux constantes

J(p)

et

J’(p~

^{telles que}

Ce lemme est

classique,

^{et facile. Voir}

ZYGMUND, Trigonometric ^Series,

Chap. V,

^th.

(8.4),

^{p. 213. Le} lemme suivant est dû à MARCINKIEWICZ.

LEMME 2.- Il existe un nombre e >

0 ,

^{une constante}

C ,

tels que l’on _{ait pour} tout ensemble mesurable

AC:[0,1]

^{de mesure z 1 - e}

C S

_A

DÉMONSTRATION.-

On a

(en notant ) ) 1

^{la mesure de}

Lebesgue

^d’un

ensemble). D’après

^{le lemme}

1,

^le

premier

^{membre est donc}

majoré

par

j" ^g2(t)dt

^{+ E}

^{g2n ,}

^{et il suffit}

de choisir ~ tel que

~1 2J’(4)2

^{= a 1 , et de}

prendre

^{C =}

1/1 -

^{a .}

Le lemme suivant est dû à

STEIN, qui

^{n’en a}

jamais publié

^la démonstration.

LEMME 3.- Soit A

c:[0,1]

^un ensemble mesurable de mesure non nulle. Il existe

une constante

C(A)

^{et un entier}

N(A)

^tels que l’on ait

DÉMONSTRATION.-

Soit

Tkn

^le k-ième intervalle de la n-ième subdivision

dya- dique ; désignons

par

g’ , r’

^les fonctions induites _{par g ,}

r

^sur

Tkn ,

^,

par A’ l’ensemble A f1

T

^{Il est} facile de voir que

r’

est constante pour

p s

n , tandis que les fonctions

(-1~kr’ n+i

^{sont, pour i 2}

^{0 ,}

^{les fonctions}

de Rademacher de l’intervalle

Tkn

^. Choisissons maintenant l’intervalle

Tkn

^de

telle sorte que

où e est le nombre introduit dans le lemme 2

(un

^tel: intervalle existe

d’après

le théorème de dérivation de

Lebesgue :

^comme

~A~ > ^{0 ,}

^{A admet un}

^point

^de

densité). Appliquons

le lemme 2 sur

T,

^{: comme g = E}

g r ,

^{on a}

- n m m

d’où le résultat.

LEMME 4.- Soit M une fonction

positive

^sur

R+ ,

telle que

--- ~+

Il existe alors des nombres

ak

^{> 0 tels que E}

ak

^{= 1 , des}

nombres t.

^{> 0}

tels que

lim t

^{= -~ et que l’on ait}

201420142014201420142014

k-~ ^je 20142014201420142014201420142014201420142014

DÉMONSTRATION.-

BURKHOLDER dit seulement "it is _{easy to} see that" ^...

je recopie-

rais bien ma

démonstration,

^{mais ce serait}

dommage

^de

gâcher

^{un si}

joli petit

problème

^{de MP.}

3. Démonstration du théorème 1.

Supposons

que l’énoncé soit faux. Alors la fonction

M(t) =

sup ^{t >}

t}

XE ~

n’est _pas bornée. Comme on a t , ^cela entraîne lim sup

M(t) =

^{+ co ,}

t -~ +co et le lemme 4 entraîne l’existence de nombres

tk

^{> 0 tendant vers +oo , , de}

nombres

ak

^{> 0 tels}

^{que E} ak

^{= 1 tels que}

Mais

il existe alors des processus Xk~03A6 tels

que tk ak P{Xk* ~ â k } ^approche

M(â )

^d’assez

^près

^{pour que}

k

k

⁼

Introduisons maintenant les processus

Y

de

l’énoncé ;

^{cette condition} s’écrit aussi

tk } =

^{+~ ;}

^d’après

le lemme de

Borel-Cantelli,

^les

processus

Y

^étant

indépendants,

^{on a} p.s.

>

t k

^{pour une infinité de valeurs de k}

et par

conséquent,

pour presque ^{tout w E} 0

(’~ )

^lim sup

~.a

-’’-

Y *((ju)) ⁽

^{= .+ao .}

Nous allons voir _que ceci est en contradiction avec

c).

Introduisons en effet les fonctions de Rademacher et

appliquons

^{la condition}

c)

^en

prenant

uk

^{= Cette condition nous donne}

pour tout t 03A3 akrk (t)

Ykn(03C9) existe p.s. et

pour tout n

^{E existe}

^{p.s. et}

P{

^sup

~ }

^{> 0 .}

Posons

P.-.4. MEYER

si toutes ^ces séries convergent, +00 sinon. Soit H l’ensemble des w tels _que la mesure de

(t : V(t,w) +00 ~

soit strictement

positive.

^{H est}

mesurable,

^et

on a

P(H)

^{> 0}

(théorème

^de

Fubini).

Choisissons w

EH,

^{et M assez}

grand

pour que la mesure de l’ensemble

soit strictement

positive. Alors, d’après

^{le lemme}

3,

^{on a}

et à

plus

forte raison

En intervertissant les deux sup , ^on voit _que w ne satisfait _pas à

(*).

D’où la contradiction

puisque P(H)

^{> 0 .}

II.

Application

^aux

martingales.

1. Dictionnaire des

martingales.

Notations

générales : (~â, ~ ,P)

^{est un espace}

probabilisé,

^{muni d’une}

famille croissante

(Fn)

^de sous-tribus

de F .

Le mot processus

désigne

^toute

suite X ⁼

(X )

de variables aléatoires

réelles,

^telle que

X

^soit

f -mesura-

ble pour ^{tout n ~} 0 . .On pose alors X* ⁼ sup

1

^{comme au}

paragraphe

^I.

Une

martingale

^{est un} processus ^{X =}

(Xn)

^{tel que :}

1) Xn

^est

intégrable

pour ^tout n ,

2)

pour ^{tout n ~} 1 ,

X - X

^{1 est}

orthogonale

^{à toute variable aléatoire}

La

martingale

^{X est} dite bornée dans

L

si

sup ^Il

^X

^Il

^{+00 , et ce nombre}

est alors

noté [[ XII

_P ^{. On montre sans}

^peine

^{que X est bornée dans}

L1

^{si et}

seulement si X est différence de deux

martingales positives.

Si X est un processus, ^{on notera}

QX

le processus défini par

QX

^{est la variation}

quadratique

^{de X .}

Nous dirons

(pour

^fixer

le langage

^dans

cet exposé ?

^la

terminologie

^n’est

heureusement pas

consacrée) qu’un

processus ^{V est un}

multi,plic~ ateur

^si

1)

^{1 et}

2) Vn est n- 1-mesurable

pour tout ^{n ~} 1 ^.

Si X est un processus

quelconque,

^{nous noterons VoX le} processus défini par

V0X0 + V1(X1 - XD) +

^{... +}

Xn) .

^*

Il n’est _pas

question

^{ici de} démontrer tous les

résultats

de théorie des martin-

gales qui

serviront :

je

^me bornerai à les énoncer

explicitement.

2.

Quelques

résultats auxiliaires.

LEMME 5.- Soit X une

martingale

bornée dans

L1

; X est alors différence de deux

martingales positives X1

C’est

classique.

LEMME 6.- Soit X une

martingale

bornée dans

L1 .

a) Si

^{V est un}

multiplicateur,

^les

variables aléatoies

conver-

gent p.s. ^{vers une} limite finie

lorsque

^{n -~ ce .}

b)

^La variable aléatoire

QX

^{est p.s. finie.}

DÉMONSTRATION.-

Il suffit de traiter le cas où X est

positive, d’après

^le lemme 1.

Soit

T(w)

^{= inf}

(n : Xn(w) 2 ^{m~ ;}

^J

^lorsque

^{m est}

^pris

^assez

grand,

^la

probabi-

lité pour que T = ~ est très voisine de 1 . Posons

Yn(w) =

^{0 si n ~}

^{T(w) ,}

^{, si n}

T(w) .

Le processus Y ⁼

(Yn)

^{est alors une}

surmartingale positive

bornée _{par la} cons- tante m , et ^un résultat

classique

permet d’écrire Y ⁼ Z -

A ^où

P, A. MEYER

Z est une

martingale

^{bornée dans}

L2 (~~ZI~ 2 S ^2m)

A est un processus tel que

A = 0 , An s

^pour

^{tout n ,}

^et

sup

^{m .}

Alors sur l’ensemble où T nous avons

(VoX)n

⁼

(VoY)n

⁼

(VoZ) - (VoA)

pour ^tout n , ^et

QX

⁼

QZ

^{+ Il} suffit donc de montrer que les variables aléatoires et

(VoA)

convergent p.s., et que

Q

^et

Q

^{sont p.s.}

finies. Il

n’y

^{a aucune} difficulté à

cela,

^{car Z est bornée dans}

L2 ,

^{et car}

les différences

An+1 - An

^sont

^positives.

LEMME 7.- Soit X une

martingale

^telle que

QX~

^E

^L1

^{; alors X n} converge p.s.

vers une limite finie

lorsque

^{n ~ co .}

Nous allons montrer

qu’il

^{existe un}

multiplicateur

^{V et une}

martingale

Y bornée dans

L1

telle que X ⁼

VoY ,

^{et cela suffira}

d’après

^{le lemme 6. En}

fait les variables aléatoires

Vn

^{seront des} constantes

(f 1~ .

Introduisons les fonctions de Rademacher

rk(t)

^{et soit}

^X

le processus

=

r 1 (t)(X - 1 X~~

^{+ ... +}

~n-l) -

^.

C,e processus ^est bien de la forme

Xt -

et comme

Vt

^ne

_prend

que les valeurs

f1 ,

^{on a X =}

V ox .

D’autre part, ^comme

X

est une

martingale,

croît avec n et on a

d’après Lebesgue

Mais

d’après

^{le lemme} 1 ^{on a}

CQX~ ,

^{et la}

première intégrale

est

finie ;

donc sup ^est finie pour presque ^tout t - autrement

dit,

Xt

^{est une}

martingale

bornée dans

L1

pour presque ^tout

t,

^{et le lemme est}

prouvé.

LEMME 8.- Soient X et Y deux

martingales ;

supposons que Y soit bornée dans

L1 ,

^{et que} l’on ait pour ^{tout n}

QXn ~ QY ;

^{alors les variables aléatoires}

Xn

convergent p.s. ^{vers une} limite

finie, lorsque

DÉMONSTRATION.-

Soit T ⁼ inf

(n :

^{m ou}

QY 2 m} :

^{comme Y est bornée}

1

n n

Y dans

L1

^{la variable aléatoire Y~ est p.s.}

finie ( th. classique)

^et

Q~

^est

p.s. finie

d’après

^{le lemme}

6, b).

^Par

conséquent,

^la

probabilité

pour que T ^{= co} peut ^{être rendue} arbitrairement voisine de 1 en choisissant m assez

grand.

Posons

.

Ces processus ^{sont encore} des

martingales (th. classique),

^et on a encore

QX’n ~ Q

pour tout ^{n .} D’autre part,

Q

^{est £ m si n}

^{T ,}

^et

^n’augmente

plus après T ,

^{de sorte} que

QY’~

^est

^majoré

^{par m +}

_{Y T-1} ^{| ~}

^{2m + ,}

et on a

YT E ^L1

^du fait que Y ^est bornée dans

L1 (th. classique).

^{Il résulte}

de tout cela _que E

L1 ,

^{et donc} que les variables

X’ n

^{ont p.s. une limite}

finie

lorsque

y d’où le même résultat pour les

Xn

^sur

^(T

⁼

^{oo) ,}

^et

finalement le même résultat _{pour les}

Xn

^p.s.

3. Le lemme maximal.

On ne sait pas démontrer le résultat ci-dessous sans le théorème 1. Mais sup- posons que Y soit une

martingale

^bornée dans

L1 ,

^{que V soit un}

multiplica-

teur, ^et que l’on _pose X ⁼

VoY ;

^{on a}

QXn ~ Q

pour ^tout n , ^et par

conséquent d’après

^{le th. 2 ci-dessous}

.

On sait démontrer élémentairement cette

inégalité (GUNDY),

^{et évaluer}

grossière-

ment la constante k

qui

y

figure (alors qu’on

^{ne sait} rien sur le constante K du th.

2).

THEOREME

2.- Soit X une

martingale possédant

^la

propriété

^suivante

il existe une

martingale

^{Y telle} que

Il YII

^{S 1 et que}

QY

~ 20142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014

201420142014201420142014 "

1

^-

n

n pour tout ^{n .}

On a alors pour tout ^{c >} 0

P.-A MEYER

X

où K est une constante "universelle".

DÉMONSTRATION.-

Nous allons

appliquer

^le théorème 1.

Considérons

des

martingales

Xk _(k

^e

N) ^possédant

^la

^propriété ci-dessous,

^et

désignons

par

Yk ,

^pour

chaque k ,

^une

martingale

^{de norme £ 1 dans}

L1

^et telle _que

0

pour tout ^{n .} Nous pouvons maintenant construire sur un espace

probabilisé

"assez

gros"

des processus

stochastiques Vk _possédant

les

propriétés

^suivantes

- pour

chaque k ,

^le

couple

^{et le}

couple (Xk,Yk)

^{ont même loi}

(en particulier,

les processus

U~

^et

Vk

sont des

martingales

par

rapport

^à

des familles croissantes de tribus

convenables).

- les

couples (U,V )

^sont

indépendants

dans leur ensemble.

Posons

Ao

⁼

Aki

⁼

Uki - Uki-1 ,

^{’ et de même}

Bo

⁼

Bki

⁼

vf -

^;

Ak

^et

Bk

sont les "différences" de

U~

^et

V~ respectivement. Désignons

maintenant par

Sk

les _processus dont les différences sont :

pour

S~ :

^t

AO ’ ^{0 ,} A1 ’ ^{0 ,} A2 ’ ^{0 ,} A3 ’ ^{0 ,} A4 ’ ^{0 ,} A~ , ^{0 ,} A7 ’

^{0 ..}

pour

S

^t

_{0 ,} AO ’ ^{0 , 0 , 0 ,} A1 ’ ^{0 , 0 , 0 ,} A2 ’ ^{0 0 , 0 ,} A3

pour

S2 : 0 , 0 , 0 , A20 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , A21 , ^{0 ,}

⁰

etc, ^et construisons de même

Tk

^à

partir

^de

B

^{; les}

martingales Tk

sont bornées dans

L1 ,

^et

Il Tk

¹ pour tout

k ;

^d’autre

part,

^{on a}

~ pour tout ^{n .}

Prenons

maintenant des nombres

réels

^tels

que

E.~uk~ _ 1 .

^{Comme il}

^n’y

^a

^qu’une

différence non nulle dans

chaque colonne,

nous pouvons former ^{T =} E

T est

^une

martingale,

^{et on a} pour ^{tout n} E 1 , donc T est bornée dans

L1 .

Construisons de même S ; ^{on a}

(QSn)2 = (ukAki)2 = u2kAk2i ^(tous

^les "termes

rectangles"

sont

nuls) = E ^{uk(Qn ) ,}

^{et le même calcul vaut pour}

^{(Q ) ,}

^{de sorte que}

QT

pour tout ^{n .} Le lemme 8 entraîne alors que S converge p.s. ^vers

n n n

une limite

finie,

^{donc S* est} p.s. finie. Comme les variables aléatoires

X

et ont la même loi

(le

processus

Sk

s’obtient en "ralentissant" les pro-

cessus

Uk )

^{le théorème 1 entraîne le th. 2.}

4. Démonstration des autres

inégalités.

THÉORÈME

3.- Soit X une

martingale

^{bornée dans}

LP _{(+o~ >}

_p >

1) ,

^{soit V un}

multiplicateur,

^{et soit Y =}

VoX ;

^alors

,

où K

^{est une constante.}

DÉMONSTRATION.-

A toute variable aléatoire

X bornée,

^{associons la martin-}

gale

^{X =}

(X ) = ^qui

^est

^{bornée ;}

^{formons Y = VoX : comme X}

est bornée dans

L2 ,

^{Y est bornée dans}

L2 ,

^{donc Y} _n converge p.s. ^vers

une variable

aléatoire Y

^e

L2 .

On a

Il

^~

II Il

(tous

^{ces résultats sont}

classiques). L’application

^{T : est}

linéaire,

de type ^faible

(1,1) d’après

^{le lemme}

maximal,

^{et de}

type (2,2) d’après

^{un cal-}

cul évident. Le théorème

d’interpolation

^de MARCINKIEWICZ entraîne alors _que T est de

type (p,p)

^{pour 1}

p ~

2 . Autrement dit

1

p ~ 2 .

On note maintenant que si ^{X est une}

martingale bornée,

^{et si l’on} pose

X co

⁼

lim n X , n

^{on a bien}

Xn

^{= pour tout n, ’ et de}

^plus

.Par

conséquent,

^{on a}

(I YII

_p ^s

K P ^{. II X I)}

p

si X est

bornée,

’

et on étend cela aisément _par continuité au cas où X est seulement bornée dans

L~ .

Mais cela ne

règle

que le cas où

p ~

2 .

Supposons

que p >

2 ,

^et dési- gnons par q

l’exposant conjugué

^de p . Il est facile de vérifier _{que, si} Z

366 P.-A. MEYER

est une variable aléatoire

quelconque appartenant

^à

L ,

^{on a}

TX.Z

^{dP =}

f X.TZ

^{dP. Or on a}

ou encore, ^en faisant varier X dans l’intersection de

L~

et de la boule unité de

Lq , _Il TZ~p ~ Kq~Z~

^{P , ce}

^qui

^{est le} résultat cherché.

Je n’établirai pas les

inégalités

du second groupe

(second

^{théorème de}

l’introduction).

^{Elles se} déduisent essentiellement de celles

qui

^viennent d’être

établies,

^{à l’aide} du lemme 1 sur les fonctions de Rademacher. Le lec- teur pourra consulter BURKHOLDER

[2] .

BIBLIOGRAPHIE

[1]

^{D. L.} BURKHOLDER - Maximal

Inequalitites

^as

Necessary

conditions for Almost

everywhere Convergence.

^Z. Wahrscheinlichkeitstheorie

3, 1964,

p.

75-88.

[2]

^{D. L.} BURKHOLDER -

Martingale

transforms. Annals. M. Stat.

37, 1966,

p. 1494- 1504.

L’article de R. F. GUNDY "A

decomposition

^for

L1-bounded martingales" qui

contient une démonstration directe du lemme

maximal,

n’est _pas encore

paru.