DS de PHYSIQUE N

PCSI 1 - Stanislas

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A. MARTIN

ÉLECTRICITÉ

I. Caténaire de locomotive

1. La résistance d’un conducteur filiforme de longueur ` vaut

^{ρ `}_S

. Donc r = ρ S .

La résistance des rails est négligeable car leur section est grande au regard de celle de la caténaire.

2. a)

b) On introduit un courant inconnu i

1

(cf schéma) et on applique directement la loi des noeuds sur le schéma. On le détermine en appliquant deux lois de maille : U = E − rxi

1

= E + r(D − x)(i

1

− I) d’où i

1

= (1 −

_D^x

) I et donc U = E − rx (1 −

_D^x

) I .

Remarque : on ne peut pas appliquer la loi des nœuds en terme de potentiel sous sa forme générale donnée dans le cours, car le moteur n’est pas a priori modélisé comme une résistance (maladresse de l’énoncé...). Toutefois on peut l’écrire dans le but d’expliciter le courant I : I =

^E−U_rx

+

_r(D−x)^E−U

, ce qui conduit bien au même résultat.

c) D’où ∆U = rx (1 −

_D^x

) I .

d) En dérivant

¹

on trouve que ∆U est maximal pour x =

^D₂

, ce qui conduit à ∆U

max

=

¹₄

rDI. Donc D = 4∆U

max

rI = 4, 5 km.

3. a) Le circuit équivalent est ⇔

Donc on obtient ∆U = rx

1 − x 2D

I = 2Dr

_2D^x

1 −

_2D^x

I.

b) Le maximum vaut ∆U

max

=

¹₂

rDI d’où D = 2∆U

max

rI = 2, 3 km. Ce système est donc moins performant que le précédent.

4. a) Le schéma équivalent est le suivant : b) Après simplification par rD, on a V

_C

₁

2

−

_D^x−1

+ 4 + 2

=

¹₂

−

_D^x−1

U + 4E + 2E .

1. On reconnaît la fonction paraboliquet(1−t) (avect=x/Dici) qui admet un maximum ent= 1/2 de valeur 1/4. Les résultats suivant s’expriment aussi en fonction de cette parabole, ce qui simplifie les calculs en évitant de dériver.

1

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c) V

_C

− U = r

^D₂

− x

(I − i

1

). Or i

1

=

^E−U_rx

d’où V

_C

= U + r

^D₂

− x I −

^E−U_rx

. En injectant ce résultat dans le précédent, on obtient après multiplication par

¹₂

−

_D^x

:

U + r

^D₂

− x I −

^E−U_rx

1 + 6

¹₂

−

_D^x

= U + 6E

¹₂

−

_D^x

On développe cette expression en rassemblant les termes en U, ce qui conduit après simplification à U = E − rxI

1 −

_2D^3x

donc ∆U = rx

1 − 3x

2D

I =

^2D₃

r

_2D^3x

1 −

_2D^3x

I.

d) On obtient ∆U

max

=

¹₆

rDI d’où D = 6∆U

max

rI = 6, 7 km.

II. Comparaison de deux circuits

II.1. Circuit RL en régime transitoire

1. À l’instant t = 0

⁻

, le circuit est en régime stationnaire avec k ouvert. La bobine est équivalente à un fil et donc s(0

⁻

) = 0 . Elle n’est parcourue par aucun courant donc i

1

(0) = 0 (doit être continu). Ainsi i

2

(0

⁻

) = i(0

⁻

) et de même i

2

(0

⁺

) = i(0

⁺

).

Ceci conduit à i(0

⁻

) = 0 , et i(0

⁺

) =

_R+R/2^E

donc i(0

⁺

) = 2E

3R et s(0

⁺

) =

^R₂

i

2

(0

⁺

) = E

3 . On constate donc que s et i ne sont pas continues en t = 0.

2. Le circuit tend vers un régime permanent stationnaire, donc la bobine sera équivalente à un fil, et s(t) −→

t→∞

0 .

3. La petite maille donne s =

^R₂

i

2

, et de plus s = L

^di_dt¹

. Donc on peut remplacer tous les courants en fonction de s dans la seconde maille. Pour t > 0 on a

E = R(i

1

+ i

2

) +

^R₂

i

2

= Ri

1

+

^3R₂

i

2

d’où en dérivant 0 =

^R_L

s + 3 ˙ s ⇔ τ s ˙ + s = 0 avec τ =

^3L_R

. 4. D’où s(t) = λ e

⁻τ^t

avec λ = s(0

⁺

), ce qui donne

s(t) = E

3 e

⁻τ^t

avec τ =

^3L

R

. 5. s(t

0

) =

^E₃

×

₁₀¹

⇔ t

0

= 3L

R ln 10 . 6. L = Rt

0

3 ln 10 = 4, 3 × 10

⁻⁴

H.

II.2. Un circuit plus complexe en régime transitoire

7. On part des grandeurs qui doivent rester continues : i

1

et i

4

. A t = 0

⁻

on est en régime stationnaire donc les bobines équivalent à des fils, et donc i

2

(0

⁻

) = i

4

(0) = 0 et i(0

⁻

) = i

1

(0) = i

3

(0

⁻

). La loi des mailles en passant par les résistances donne E = 2Ri

1

(0) donc i

1

(0) =

_2R^E

.

A t = 0

⁺

on a toujours i

3

(0

⁺

) = i(0

⁺

) car i

4

(0) = 0, donc la loi des mailles en passant par les résistances donne E = R(i(0

⁺

) + i(0

⁺

) − i

1

(0) + i(0

⁺

)) = 3Ri(0

⁺

) −

^E₂

, d’où i(0

⁺

) =

_2R^E

.

Finalement on a i(0

⁺

) = i

1

(0) = i

3

(0

⁺

) = E

2R et i

2

(0

⁺

) = i

4

(0) = 0 . Et comme s = Ri

3

, on a s(0

⁺

) = E 2 .

2

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8. En régime stationnaire, les bobines sont assimilées à des fils, qui court-circuitent donc les résistances asso- ciées : i

2

−→

t→∞

0 , i

3

−→

t→∞

0 et s = Ri

3

−→

t→∞

0 . Par conséquent E = Ri, d’où lim

t→∞

i = lim

t→∞

i

1

= lim

t→∞

i

4

= E R . 9. a) Comme i

2

= i − i

1

et i

3

= i − i

4

, on obtient avec les 2 petites mailles puis en passant par les

résistances :

i = i

1

+ L R

di

1

dt (1)

i = i

4

+ L R

di

4

dt (2)

E

R = 3i − i

1

− i

4

(3)

b) En formant la combinaison d’équations 3(2)+(3) on obtient E

R = 2i

4

+ 3L R

di

4

dt − i

1

. (4)

Pour éliminer i

1

, on réalise alors la combinaison (4) +

^L_Rdt^d

(4) + (1) - (2), ce qui donne E

R = i

4

+ 4 L R

di

4

d t + 3 L

²

R

²

d

²

i

4

d t

²

. (5)

Comme s = L

^di_dt⁴

, on redérive cette équation pour obtenir sous forme canonique

¨ s + ω

0

Q s ˙ + ω

²₀

s = 0 avec ω

0

= R

√ 3L et Q =

√ 3 4 ≈ 0, 4.

10. L’équation différentielle est sans second membre donc sans solution particulière. Comme Q <

¹₂

, on est en présence d’un régime apériodique. En effet le discri- minent de l’équation caractéristique vaut ∆ =

^R_L²2

> 0, d’où les racines r

+

= −

^R_L

et r

₋

= −

_3L^R

, et la forme générale de la solution : s(t) = λ e

^−RtL

+ µ e

^−Rt3L

.

11. a) En notant que

^ds_dt

= L

^d_dt²ⁱ2⁴

, on voit que l’Eq. (5) permet de conclure :

^ds_dt

(0

⁺

) =

^RE_3L

−

^R_3L²

i

4

(0)−

^4R_3L

s(0

⁺

) d’où ds

dt (0

⁺

) = − RE 3L . b) On obtient le système suivant







s(0

⁺

) =

^E₂

= λ + µ

3L

R

s(0 ˙

⁺

) = E = −3λ − µ

= ⇒ λ = − 3E

4 et µ = − E 4 .

Finalement on obtient s(t) = − E 4

3 e

^−RtL

+ e

^−Rt3L

.

3

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III. Inflammation dans un véhicule à moteur

1. La loi des mailles s’écrit E = Ri

1

+ L

^di_dt¹

+ u

_c

avec i

1

= C

^du_dt^c

. Donc en dérivant cette équation puis en passant sous forme canonique on obtient

d

²

i

1

dt

²

+ ω

0

Q di

1

dt + ω

²₀

i

1

= 0 avec ω

0

= 1

√ LC et Q = 1 r

s

L C . 2. Régime libre pseudo-périodique : i

1

(t) = e

⁻τ^t

(λ cos(ωt) + µ sin(ωt)) avec τ =

^2Q

ω0

et ω = ω

0

q

1 −

_4Q¹2

. 3. a) Le courant i

1

traverse la bobine donc est continu : i

1

(0

⁺

) = i

1

(0

⁻

) = i

1

(0). A t = 0

⁻

le régime est stationnaire donc la bobine équivaut à un fil et la loi des mailles s’écrit E = ri

1

(0) + 0 + 0 d’où

i

1

(0) =

^E

r

.

En notant u

L

la tension aux bornes de la bobine telle que u

L

= L

^di_dt¹

, la loi des mailles s’écrit à t = 0

⁺

: E = ri

1

(0) + u

_L

(0

⁺

) +u

_c

(0). La tension u

_c

aux bornes du condensateur est continue, et vaut 0 car il est court-circuité à t = 0

⁻

. Cela donne E = E +u

_L

(0

⁺

) donc u

_L

(0

⁺

) = 0, donc di

1

d t (0

⁺

) = 0 . b) Les conditions initiales conduisent à i

1

(0

⁺

) = λ =

^E_r

et

^di_dt¹

(0

⁺

) = µω −

^λ_τ

= 0 donc µ =

_{rτ ω}^E

. De plus

u

2

= M

^di_dt¹

ce qui conduit à u

2

= −U e

^−τt

sin(ωt) en notant U = M Eω r

1 + 1

τ

²

ω

²

.

c) La tension u

2

est encadrée par deux enveloppes exponentielles symétriques par rapport à 0 : −U e

^−τt

≤ u

2

≤ U e

^−tτ

. Les zéros montant (respectivement descendant) sont T-périodiques avec T = 2π

ω (c’est le cas aussi de ses maxima et de ses minima). Enfin u

2

∼

t→0⁺

−U ωt donc la courbe commence par décroître.

4. a) On note t

_m

un maximum ou un minimum de u

2

, alors δ = ln

u

2

(t

_m

) u

2

(t

_m

+ T)

.

b) On a sin(ω(t

_m

+T)) = sin(ωt

_m

) donc δ = ln

e^−tmτ e^−tm+Tτ

= ln(e

^Tτ

) =

^T_τ

=

^2πω_ω2Q⁰

d’où δ = π Q

1 − 1

4Q

² −¹

2

.

c) On inverse la relation précédente : Q =

s

π

²

δ

²

+ 1

4 ≈ π δ ≈ 9, 2.

Comme Q =

¹_r qL

C

on en déduit C = L Q

²

r

²

≈ Lδ

²

π

²

r

²

≈ 4, 9 µF.

4