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^◦

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MÉCANIQUE

I. L’atome d’Hydrogène

I.1. Le modèle historique de Bohr

1. La force électrostatique F ~

_e

appliquée par le noyau sur l’électron est centrale de centre O, donc d’après le théorème du moment cinétique pour l’électron dans R galiléen en O fixe :

d L(O) ~ dt

_R

= −−→

OM ∧ F ~

_e

= ~ 0 donc L(O) = ~ −−→

OM ∧ m

_e

~ v = −−−−−−→

constante = ~ L

0

Donc à tout instant −−→

OM est orthogonal à ~ L

0

. Ainsi le mouvement est inscrit dans le plan orthogonal à L ~

0

passant par O.

2. • Dans le plan du mouvement, la vitesse vaut ~ v = ˙ r~ u

_r

+ r θ~ ˙ u

_θ

. Comme −−→

OM = r~ u

_r

, cela conduit à L ~

_M/R

(O) = ~ L

0

= m

_e

r

²

θ ~ ˙ u

_z

, qui est constant donc C = r

²

θ ˙ est une constante, qu’on appelle la constante des aires.

• Si le mouvement est circulaire, alors r = constante, donc comme C = constante on a aussi ˙ θ = constante. La vitesse angulaire est donc constante, tout comme la vitesse linéaire v = r θ. ˙ Le mouvement est donc uniforme.

Autre solution : par projection du "PFD" selon ~ u

_r

, cf réponse à la question suivante...

3. On applique le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) à l’électron dans R supposé galiléen. Le mouvement étant circulaire uniforme, on obtient simplement

−m

e

v

²

r = − e

²

4πε

0

r

²

⇔ v = e

√ 4πε

0

m

_e

r .

4. Posons K = e

²

4πε

0

, la force appliquée à l’électron est F ~ = −

^K_r2

~ u

_r

. Pour un déplacement élémentaire d −−→

OM

avec −−→

OM = r~ u

_r

, le travail élémentaire reçu par l’électron s’écrit δW = F .d ~ −−→

OM = − K

r

²

~ u

_r

.(dr~ u

_r

+ rd~ u

_r

) = − K

r

²

dr car ~ u

_r

.d~ u

_r

= 0 puisque ~ u

_r

est de norme constante. On en déduit

δW = −dE

p

(r) avec E

p

(r) = − K r .

La fonction E

_p

ne dépend que de la position de M donc la force est donc conservative.

5. D’après 3., on obtient

E

_c

= 1

2 m

_e

v

²

= e

²

8πε

0

r = K

2r ⇔ E

_c

= − E

_p

2 . 6. La vitesse étant ~ v = v~ u

_θ

avec v = r θ ˙ pour un mouvement circulaire, on obtient

~ L

_M/R

(O) = m

_e

rv ~ u

_z

.

De nouveau en réutilisant 3., on obtient L = e

r

m

_e

r

4πε

0

.

1

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7. La corde vibrant autour de la position de repos circulaire de rayon r doit nécessairement être continue donc périodique, comme représenté ci- contre. Cela implique que la circonférence est un nombre entier de fois la longueur d’onde (figure ci-contre pour n = 5) :

2πr = nλ .

En injectant la définition de la longueur d’onde de De Brœglie on obtient L = m

_e

rv = r h

λ = rh n

2πr d’où L = n

~

.

N

M r

8. En réutilisant le résultat de la question 6., on en déduit n~ = L = e

r

m

_e

r

_n

4πε

0

⇔ r

_n

= a

_B

n

²

avec a

_B

= 4πε

0~²

m

_e

e

²

.

9. En réutilisant la résultat de la question 5., on en déduit

¹

E

_m

= E

_c

+ E

_p

= − E

_p

2 + E

_p

= E

_p

2 = − K

2r = − e

²

8πε

0

r . Combiné au résultat précédent cela conduit à une quantification de E

_m

:

E

_n

= − Ry

n

²

avec Ry = m

_e

e

⁴

32π

²

ε

²₀~²

.

10. • r

1

= a

_B

≈

_9×109×9×10¹⁰⁻³¹⁻⁶⁸×16²×10⁻⁴⁰

≈

_9×9×256¹

× 10

⁻⁶

≈

₂₅₀₀₀¹

× 10

⁻⁶

d’où r

1

= a

_B

≈ 0, 4 × 10

⁻¹⁰

m.

• Pour obtenir Ry en eV, il suffit de le diviser par e : E

1

= −Ry ≈ − 9 × 10

⁻³¹

× 16

³

× 10

⁻⁶⁰

× 9

²

× 10

¹⁸

4 × 10

⁻⁶⁸

≈ −9

³

× 4 × 256 × 10

⁻⁵

d’où E

1

≈ −10 eV . Remarque : valeurs exactes a

_B

≈ 0, 529 × 10

⁻¹⁰

m et E

1

≈ −13, 6 eV.

I.2. Spectre de raies de l’hydrogène

11. La longueur d’onde d’émission ou d’absorption vérifie hν = hc

λ = |E

n

− E

m

| = Ry

1 n

²

− 1

m

²

⇔ λ = hc Ry

1 n

²

− 1

m

²

−1

.

La raie Balmer H

_α

correspond à n = 2 et m = 3 d’où

²

λ

_α

= 36hc

5Ry ≈ 36 × 6 × 10

⁻³⁴

× 3 × 10

⁸

5 × 10 × 16 × 10

⁻²⁰

≈ 1 × 10

⁻⁶

m .

Le résultat obtenu est dans l’infra-rouge donc invisible... compte tenu de la précision du calcul. La vraie valeur correspond à une couleur rouge.

1. Ce résultat est démontré dans le cas général dans le chapitre sur le problème newtonien.

2. Valeur exacteλα≈0,6562µm.

2

(2)

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12. Sachant que l’écart relatif est très faible (

^∆σ_σ^exp

m

1), on peut obtenir l’écart en longueur d’onde par calcul différentiel

³

dλ = d 1

σ

= − dσ

σ

²

⇒ ∆λ = ∆σ

exp

σ

²_m

≈ 36

15

²

× 10

¹⁰

≈ 2 × 10

⁻¹¹

m . Cela correspond à un écart relatif de

^∆λ_λ

α

≈ 0, 002%, ce qui est très faible et nécessite un spectroscope puissant.

Deuxième méthode avec développement limité à l’ordre 1 (équivalente mais moins rapide) :

∆λ =

_σ ¹

m−∆σ/2

−

_σ ¹

m+∆σ/2

=

_σ¹

m

₁

1−∆σ/(2σm)

−

_1+∆σ/(2σ¹

m)

≈

_σ¹

m

(1 + ∆σ/(2σ

_m

) − 1 + ∆σ/(2σ

_m

)) =

^∆σ_σ2^exp m

.

13. La différence de marche entre 2 rayons successifs passant par les fentes A et A

⁰

s’écrit (cf schéma ci-contre) :

δ = HA

⁰

− AH

⁰

= a sin i − a sin i

⁰

.

On observe de la lumière dans la direction i

⁰_p

à condition que cette dif- férence de marche soit un nombre entier p fois la longueur d’onde pour qu’il y ait interférence constructive entre tous les rayons issus de chaque fente allant dans cette direction, d’où

sin i − sin i

⁰_p

= p λ a . 14. Pour l’ordre p = 1 avec i = 0 on a, de nouveau en utilisant la méthode différentielle :

sin i

1

= − λ

a ⇒ d sini

1

= − dλ

a ⇔ cos i

1

di

1

= − dλ

a ⇒ ∆i

1

= ∆λ a cos i

1

.

Pour l’application numérique on suppose i

1

suffisamment petit pour que cos i

1

≈ 1, ce qui est raisonnable puisque c’est l’ordre p = 1 :

∆i

1

≈ 2 × 10

⁻¹¹

× 6 × 10

⁵

≈ 1 × 10

⁻⁵

rad d’où ∆i

1

≈ 6 × 10

⁻⁴^◦

.

Cela confirme que l’écart est faible et qu’il sera difficile à mesurer avec un spectroscope à réseau. D’où l’utilité de passer au Michelson.

15. Les surfaces d’interférences constructives sont les lieux du point M correspondant à une condition d’in- terférence constructive du type

δ(M ) = S

2

M − S

1

M = pλ , p ∈

N

.

Ce sont des hyperboloïdes

⁴

de révolution d’axe de symétrie O

_y

, dont l’allure est représentée sur la figure ci-dessous. Sur l’écran qui est orthogonal à l’axe de révolution, les franges sont des cercles concentriques de centre C.

16. Les deux ondes ont la même amplitude E

0

:

E

1

(M, t) = E

0

cos(ωt − kS

1

M) et E

2

(M, t) = E

0

cos(ωt − kS

2

M ) avec k = ω c = 2π

λ . L’éclairement associé à chacune des sources individuelle est

I

0

= K. < E

₁²

(M, t) >= K. < E

₂²

(M, t) >= 1 2 KE

²₀

.

3. Même principe que pour le calcul de propagation d’incertitude. On élimine le signe−pour garder des écarts positifs.

4. Il s’agit de la définition bifocale des coniques hyperboles et ellipses non vue en géométrie.

3

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La superposition des deux ondes synchrones donne lieu à des interférences : I(M) = K. < (E

1

(M, t) + E

2

(M, t))

²

>

= K. < E

₁²

(M, t) > +K. < E

²₂

(M, t) > +2K. < E

1

(M, t).E

2

(M, t) >

= I

0

+ I

0

+ 4I

0

< cos(ωt − kS

1

M ). cos(ωt − kS

2

M) >

= 2I

0

(1+ < cos(2ωt − k(S

1

M + S

2

M)) + cos(∆ϕ(M )) >) avec ∆ϕ(M) = k(S

2

M − S

1

M) d’où I(M) = 2I

0

(1 + cos(∆ϕ(M ))) .

17. En C les rayons (S

1

M ) et (S

2

M ) sont confondus donc S

2

M − S

1

M = −d, d’où ∆ϕ(C) = − 2πd λ . 18. On utilise les deux résultats précédents :

I(d) = I

1

(d) + I

2

(d) = 2I

0

1 + cos 2πd

λ

1

+ 2I

0

1 + cos 2πd

λ

2

d’où I(d) = 4I

0

[1 + cos (πd (σ

1

− σ

2

)) . cos (πd (σ

1

+ σ

2

))] avec σ

1

= 1

λ

1

et σ

2

= 1 λ

2

.

Lorsqu’on augmente d, le facteur cos (πd (σ

1

+ σ

2

)) génère des oscillations « rapides » entre franges sombres et brillantes. Ce faisant le facteur cos (πd (σ

1

− σ

2

)) varie lentement et joue le rôle de contraste entre les franges brillantes et sombres.

Le contraste devient nul et donne un brouillage lorsque cos (πd (σ

1

− σ

2

)) = 0 ⇔ d

_n

= n +

¹₂

σ

1

− σ

2

avec n ∈

N

. 19. On en déduit l’écart entre deux positions de brouillage :

d

_b

= n + 1 +

¹₂

∆σ

exp

− n +

¹₂

∆σ

exp

d’où d

_b

= 1

∆σ

exp

≈ 1 36 ≈ 3 cm.

On peut donc mesurer l’écart entre les deux raies du doublet H

_α

par un déplacement d’environ 1,5 cm, ce qui est tout à fait accessible expérimentalement.

4

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II. Mouvement d’une bille dans un bol hyperbolique

1. a) Dans le référentiel R le moment cinétique associé à M s’écrit :

~

σ(O) = m (r~ u

_r

+ z~ u

_z

) ∧

r~ ˙ u

_r

+ r θ~ ˙ u

_θ

+ ˙ z~ u

_z

d’où ~ σ(O) = −mzr θ~ ˙ u

_r

+ m(z r ˙ − r z)~ ˙ u

_θ

+ mr

²

θ~ ˙ u

_z

. b) En notant m~ g le poids de M et N ~ la réaction du support, normale à l’hyperboloïde, le Théorème du

Moment Cinétique (TMC) dans R galiléen au point O fixe s’écrit d σ(O) ~

d t

_R

= −−→

OM ∧ m~ g + −−→

OM ∧ N ~ Or les vecteurs −−→

OM, m~ g et N ~ sont tous les 3 dans le plan vertical (O, ~ u

_r

, ~ u

_z

), donc les moments sont dirigés selon ~ u

_θ

. Par projection selon ~ u

_θ

on obtient donc

dσ

^Oz

dt = 0 donc σ

^Oz

= mC avec C = r

²

θ ˙ la constante des aires .

c) Le projeté orthogonal P de M sur le plan horizontal (O, ~ u

_r

, ~ u

_θ

) a par définition un mouvement plan, qui vérifie C = r

²

θ ˙ = constante. Il vérifie donc la loi des aires : la vitesse aréolaire

¹₂

r

²

θ ˙ est constante, donc le rayon vecteur − − →

OP balaie des aires égales pendant des durées égales.

2. a) • La force de pesanteur est constante donc conservative car son travail élémentaire vérifie : δW = m~ g.d −−→

OM = −dE

_p

avec E

_p

= −m~ g. −−→

OM = mgz une fonction énergie potentielle de pesanteur dépendant explicitement uniquement de la position.

• La force de réaction N ~ est normale au support lui-même immobile dans R, donc en condition de contact la vitesse reste orthogonale à N ~ car tangente à la trajectoire. Ainsi N ~ ne travaille pas.

• Ainsi, d’après le théorème de l’énergie mécanique dans R galiléen, le système est conservatif c’est-à-dire que son énergie mécanique E

_m

=

¹₂

m~ v

²

+ E

_p

est constante.

b) Comme ~ v = ˙ r~ u

_r

+ r θ~ ˙ u

_θ

+ ˙ z~ u

_z

, on obtient E

_m

= m

2 ( ˙ r

²

+ r

²

θ ˙

²

+ ˙ z

²

) + mgz .

3. a) À tout instant le contact se traduit par z

²

= a

²

+ r

²

, donc dérivant on obtient z z ˙ = r r ˙ . b) • La condition précédente permet d’éliminer le degré de liberté z en remplaçant selon z = √

a

²

+ r

²

et ˙ z =

^√^r^r^˙

a²+r²

.

• La constante des aires permet d’éliminer le degré de liberté θ par ˙ θ =

^C

r²

.

• On en déduit finalement E

_m

= 1

2 m

eff

(r) ˙ r

²

+ E

_p_eff

(r) = constante avec m

eff

(r) = 1 + r

²

a

²

+ r

²

et E

_p_eff

(r) = mC

²

2r

²

+ mg

^p

a

²

+ r

²

.

Il s’agit bien d’un système conservatif de masse effective m

eff

(r) évoluant dans une énergie potentielle effective E

_p_eff

(r).

c)

Le graphe de E

_p_eff

(r) s’obtient en additionnant deux termes positifs, l’un décroissant en

_r¹2

de +∞ à 0 et l’autre croissant hyperboliquement (asymptotiquement en r) de mga à +∞

(courbes en traits fins ci-contre). Les deux contributions étant qui plus est convexes (de dérivée croissante), la somme l’est aussi, et E

_p_eff

(r) admet nécessairement un unique minimum E

0

en r

_m

(courbe en trait plein). Ce minimum vérifie

dE

_p_eff

(r)

dr (r

_m

) = 0 ⇔ r

⁴_m p

a

²

+ r

²_m

= C

²

g . r

E

_peff

(r)

0 r

min

r

_m

r

max

E

_m

E

0

5

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d) C’est un puits de potentiel donc la bille est dans un état lié : nécessairement E

_m

≥ E

_p_eff

(r) donc le mouvement est borné et oscillatoire selon r entre r

min

et r

max

vérifiant E

_m

= E

_p_eff

(r). La condition de contact z

²

= a

²

+ r

²

implique que le mouvement est aussi borné et oscillatoire selon z. Au cours de ces oscillations, la bille tourne toujours dans le même sens autour de l’axe Oz en respectant la loi des aires.

4. a) Il s’agit d’un mouvement à θ = constante, donc ˙ θ = 0 ∀t et C = 0 . Cela implique que la vitesse n’a jamais de composante orthoradiale, ce qui est aussi le cas de ~ v

0

qui doit donc être dans le plan méridien du mouvement.

Dans ces conditions il n’y a pas de potentiel centrifuge car

^mC_2r₂²

= 0, donc seulement l’énergie potentielle de pesanteur : E

_p_eff

(r) = E

_p

(r) = mg √

a

²

+ r

²

. Ainsi le minimum est en r = 0, c’est- à-dire au fond du bol. On obtient l’équation des petits mouvements au voisinage du sommet en développant à l’ordre 2 l’énergie potentielle et l’énergie cinétique :

• E

p

(r) = E

p

(0)+

¹₂^d_dr²^E2^p

(0)r

²

+o(r

²

) = mga+

¹₂

κr

²

+o(r

²

) avec κ =

^d_dr²^E2^p

(r = 0) =

^mga²

(a²+r²)³2

=

^mg_a

.

• E

_c

=

¹₂

m

eff

(r) ˙ r

²

=

¹₂

m r ˙

²

+ o(r

²

).

• Ainsi l’équation de l’intégrale première de l’énergie se réduit à l’ordre 2 à E

_m

= 1

2 m r ˙

²

+ 1

2 κr

²

= constante . En la dérivant par rapport au temps

r . ˙ (m¨ r + κr) = 0 ∀t , on obtient l’équation du mouvement en simplifiant par ˙ r :

¨

r + ω

₀²

r = 0 avec ω

0

= κ m =

r

g a .

C’est l’équation du mouvement oscillatoire d’un oscillateur harmonique de pulsation propre ω

0

. b) • Un mouvement circulaire correspond à r = constante, donc ˙ r = 0 et donc ˙ z = 0 d’après la

relation trouvée en 3.a). C’est donc nécessairement un cercle horizontal.

• Par ailleurs la vitesse est donc orthoradiale à tout instant, ~ v = r θ~ ˙ u

_θ

, et on a donc

~ v

0

= v

0

~ u

_θ

= r

0

θ(0)~ ˙ u

_θ

, et

⁵

C = r

0

v

0

.

• Comme il s’agit d’un mouvement à r = r

0

= constante, l’énergie mécanique est forcément minimale (sinon r oscillerait entre deux valeurs extrêmes). Donc r

0

= r

_m

qui vérifie la condition trouvée en 3.c) :

r

⁴₀ q

a

²

+ r

²₀

= C

²

g = r

²₀

v

₀²

g ⇔ v

₀²

= gr

₀² q

a

²

+ r

₀²

avec v

0

> 0 ou < 0 .

5. Le vecteur accélération est toujours orienté vers la concavité de la trajectoire, donc ici vers l’intérieur de la surface. Donc a

_n

= ~a.~ u

_n

> 0. Par projection du Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) selon ~ u

_n

on obtient R − mg cos α = ma

_n

> 0, où α = (~ u

\_z

, ~ u

_n

). Comme cosα > 0, on en déduit R = ma

_n

+ mg cos α > ma

_n

> 0. Donc R ne s’annule jamais, donc le contact ne peut être rompu.

6. Les frottements ne peuvent être négligés sur le long terme. Ils diminuent l’énergie mécanique, qui se rapproche du minimum E

_p_eff

(r

_m

) : r → r

_m

qui vérifie

r

_m⁴ p

a

²

+ r

_m²

= C

²

g .

Mais en même temps les frottements exercent un moment selon z qui réduit le moment cinétique σ

^Oz

en valeur absolue. Donc |C | = r

²

| θ| ˙ décroît aussi au cours du temps, ce qui fait s’affaisser le terme de potentiel centrifuge

^mC_2r2²

au profit du terme de pesanteur qui persiste. A long terme, on a donc C → 0 , donc r → r

_m

→ 0 . La bille finit donc sa course au fond du bol.

5. Commer²θ˙= constante on en déduit aussi que le mouvement circulaire est nécessairement uniforme.

6