PCSI 1 - Stanislas
DS de PHYSIQUE N
◦3 - 06/12/14 - durée 2H
A. MARTINÉLECTROCINÉTIQUE
I. Etude expérimentale d’un circuit RLC
1. On travaille sur la figure de droite (u
c(t)). A l’aide d’une règle graduée, on mesure les deux premiers maximas du régime transitoire à u
cHm1= 4, 0 div et u
cHm2= 2, 0 div. Ceci conduit à δ = ln u
cHm1u
cHm2= 0.69.
La division horizontale correspond à 6 mm pour 0,2 ms. On mesure T = 42 6
0, 2 × 10
−35 = 2, 8 × 10
−4s.
La tension u
ctend vers son régime permanent : u
c= E = 2, 75 V.
2. Etant données les relativement nombreuses oscillations, on peut admettre que le facteur de qualité est relativement grand et que les extremas de la courbe sont sur l’enveloppe exponentielle. Ceci conduit à u
cHm1≈ K e
−ω0tm1/(2Q)et u
cHm2≈ u
cHm1.e
−ω0T /(2Q)d’où δ = πT
T
0Q .
Par ailleurs les calculs du cours (équation caractéristique) conduisent à T = T
01 −
4Q12−12
donc Q = 1
2
s1 + 4π
2δ
2≈ π
δ , la seconde égalité étant vraie si δ est suffisamment petit. On en déduit Q ≈ 4, 6 (4,5 avec l’approximation), ce qui justifie a posteriori l’approximation des grands Q.
Enfin on réutilise directement δ =
TπT0Q
d’où ω
0= 2δQ T = 2π
T
1 − 1 4Q
2−12
= 2, 3 × 10
4rad.s
−1(1ère expression plus facile à utiliser).
3. La première expérience conduit à R car en régime stationnaire, la bobine équivaut à un fil, le condensateur à un interrupteur ouvert, et donc le ciruit se réduit à une résistance vérifiant : E
0= Ri
E. D’où R = E
i
E= 9, 8 × 10
3Ω.
Par ailleurs, les valeurs de ω
0et Q conduisent à L et C. On cherche l’équation différentielle vérifiée par u
cpour connaître les expressions de ω
0et Q. La loi des maille s’écrit, en incluant la loi des noeuds directement :
E = L d dt
C du
cdt + u
cR
+ u
c= LC u ¨
c+ L
R u ˙
c+ u
c= 1 ω
20u ˙
c+ 1
ω
0Q u ˙
c+ u
cOn en déduit que ω
0= 1/ √
LC et Q = R
qCL(l’opposé du cas RLC série). Finalement on obtient C = Q
Rω
0= 2, 1 × 10
−8F et L = R
ω
0Q = 9, 5 × 10
−2H.
II. Modélisation d’un résonateur à quartz -
(d’après Concours Sup 2004 Mines Albi, Alès, Douai, Nantes)1. Modèles mécanique et électrique du résonateur à quartz
1. On obtient m¨ x = −kx − h˙ x + βV . 2. On obtient C
p= ε
0ε
rπd
24e = 8, 0 × 10
−12F, et q
1= C
pV .
3. On mutliplie l’équation du 1. par γ, ce qui conduit à m¨ q
2= −kq
2− h˙ q
2+ βγV .
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A. MARTIN4. L’équation précédente se ré-écrit V =
βγhq ˙
2+
βγkq
2+
βγmq ˙
2. Par ailleurs, le schéma électrique équivalent conduit à une équation analogue : V = R q ˙
2+
1Cs
q
2+ L q ¨
2. Par identification des coefficients, on peut donc définir les constantes du modèle électrique équivalent pour q
2: R = h
βγ , C
s= βγ
k et L = m βγ . 2. Etude de l’impédance équivalente du quartz
5. On commence par appliquer les règles d’association, puis on restructure l’expression en visant celle de- mandée...
Z
AB=
jC
pω +
jC1sω
+ jLω
−1 −1= −
Cjpω
1 +
CCps
− LC
pω
2−1 −1= −
Cjpω Cp Cs−LCpω2 1+Cp
Cs−LCpω2
= −
αωj 1−ω2 ω2 r 1−ω2 ω2 a
avec α = C
s+ C
p; ω
2r= 1
LC
set ω
a2= 1 L
1 C
s+ 1
C
p!
.
Grâce à la dernière expression, on observe que ω
2a≥
LC1s
= ω
2r. 6. f
a= 1
2π
v u u t1 L
1 C
s+ 1
C
p!
= 800 kHz et f
r= 1 2π
√ 1
LC
s= 796 kHz.
7. Z
AB= jX
ABest imaginaire pure. La réactance associée est =m{X
AB} = −jZ
AB=
αω11−ω2 ω2 r 1−ω2 ω2 a
. Le dipôle est inductif si X
AB> 0, donc si ω
r< ω < ω
a, capacitif sinon. De plus, X
ABs’annule en ω
ret diverge en 0 et ω
a.
8. |Z
AB| = |X
AB| d’où le graphe :
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A. MARTIN3. Etude expérimentale de la résonance d’un quartz 9. Par la loi du pont diviseur de tension, on a H = V
SV
E= 1 1 + Z
AB/R
v. Comme Z
ABest imaginaire pure, on a
|H| = 1
p
1 + |Z
AB|
2/R
2vdonc |H| = 1
√ 2 ⇔ |Z
AB| = R
v.
Ainsi, en règlant R
vpour chaque fréquence de telle sorte que l’amplitude de la tension de sortie soit 2 fois plus petite que l’amplitude de la tension d’entrée, on obtient les valeurs de |Z
AB| associées.
10. Pour R
vfixé, |H| admet un maximum lorsque |Z
AB| admet un minimum. Donc il y a une résonance en tension V
Slà où |Z
AB| s’annule, c’est-à-dire en ω = ω
rou f = f
r= 796 kHz. Comme V
S= R
vi (en prenant i le courant orienté de A vers B) il s’agit bien aussi d’une résonance en courant.
11. |Z
AB| s’annule en ω = ω
rcar le groupement {C
s, L} équivaut alors à un fil :
jC1sωr
+ jLω
r= 0. Donc au voisinage de cette pulsation, l’admittance de ce groupement tend vers l’infini (en module) et donc domine celle de la capacité C
p(ce qui peut se voir dans la première expression de Z
ABci-dessus). Ainsi,
Z
AB≈ 1
jC
sω + jLω à l’approche de ω
r, donc de la résonance en courant.
12. Le fait que le circuit résonne toujours en f = f
rmalgré la prise en compte de R
get R tient au fait que cette résonance ne dépend pas de la valeur de Q (donc de la résistance, R). En considérant le résultat précédent, le circuit est simplifiable au voisinage de la résonance et correspond alors à un {R
g+ R, L, C
s} série attaqué en tension par la f.e.m sinusoïdale du GBF. En effet, on additionne la résistance du GBF à celle du quartz, aussi très faible
1.
En utilisant la mesure de la largeur de la résonance (ou bande passante) ∆f = 50 Hz, on déterminerle facteur de qualité pour ce {R
g+ R, L, C
s} série (inverse de l’acuité) :
Q = f
r∆f = 15, 9 × 10
3. et donc en déduire R car
Q = 1 R
g+ R
s
L
C
s= ⇒ R = 1 Q
s
L
C
s− R
g= ∆f
pL/C
sf
r− R
g.
Ceci conduit après simplification à R = 2π∆f L − R
g= 107 Ω et Q
q= 1 R
s
L
C
s≈ 23, 3 × 10
3. Le facteur de qualité est très grand. Cela permet de fabriquer des oscillateurs dont la fréquence de vibration est très précise et très élevée, d’où l’intérêt pour fabriquer des horloges (montres, etc).
1.Rga été négligée jusqu’à présent pour simplifier les calculs et les raisonnements mais sans conséquence sur les résultats.
