Les questions II.B, II.C et II.D sont relativement indépendantes.

MATHÉMATIQUES I Filière MP Dans tout le problème, désigne l’ensemble des applications continues de dans , à support compact, c’est-à-dire s’annulant chacune à l’extérieur d’un segment de .

Pour désigne le symbole de Kronecker, qui vaut si et si .

Les questions II.B, II.C et II.D sont relativement indépendantes.

Partie I - Les -splines uniformes I.A -

I.A.1) Pour , on définit la transformée de Fourier de

a) Montrer que est de classe sur . b) Montrer que, si , alors

.

En déduire, à l’aide du théorème d’approximation de Weierstrass, que . I.A.2) Pour , on définit

.

a) Montrer que est une fonction continue sur admettant pour période.

Calculer ses coefficients de Fourier, sous forme exponentielle.

b) En déduire, dans le cas où la série

est absolument convergente, la formule suivante dite de Poisson .

I.B - On définit la suite de fonctions réelles par et

où désigne la fonction caractéristique de . Elle vaut sur et

E IR

IR IR

i j , ∈ ZZ , δ _{i j} , 0 i ≠ j 1

i = j

B

f ∈ E f

x ∈ IR

∀ , f x ( ) f t ( ) e ^{– ixt} d t

∞ –

∫ +∞

) =

f )

C ^∞ IR f ) = 0

n ∈ IN

∀ t ⁿ f t ( ) d t

∞ – + ∞

∫

, = 0

f = 0 f ∈ E

x ∈ IR

∀ , f ˜ ( ) x f x ( + n )

n = – ∞ + ∞

∑

=

f ˜ IR 1

f ( 2n π )

n = – ∞

∑ +∞ ⁾

x ∈ IR

∀ , f ˜ ( ) x f ( 2n π )e ^{2 inπx}

n = – ∞ + ∞

∑

= )

N _m

( ) _{m ≥ 1} N ₁ = χ [0 1 , [

m ≥ 2

∀ ∀ x ∈ IR , N _m ( ) x N _{m – 1} ( x – t ) d t

0

∫ 1

, =

χ [0 1 , [ [0 1 , [ 1 [0 1 , [ 0

MATHÉMATIQUES I Filière MP I.B.1)

a) Représenter .

b) Montrer que, pour tout , est une fonction strictement positive sur , de classe par morceaux sur dont la restriction à tout intervalle d’extrémités entières est un polynôme de degré au plus . Montrer que, pour tout , est de classe .

c) Établir la propriété de symétrie

. I.B.2)

a) Montrer que

. Donner la valeur de .

b) Établir, à l’aide de la formule de Poisson, la relation suivante dite partition de l’unité

. En déduire que

.

c) En comparant les transformées de Fourier, établir que .

I.B.3) On se propose d’étudier la convergence de la suite sur . a) Montrer que la fonction est croissante sur pour tout . b) On admet que si alors

.

Pour tout , exprimer au moyen de l’intégrale .

N ₂

m ≥ 1 N _m

]0 , m [ C ^{m – 1} IR

]k k , + 1 [ ⊂ ]0 , m [ m – 1

m ≥ 2 N _m C ^{m – 2}

m ≥ 2

∀ ∀ x ∈ IR N _m m --- 2 + x

 

 

, , N _m m

--- 2 – x

 

 

=

m ≥ 2

∀ , ∀ t ≠ 0 , N _m ( ) t 1 – e ^{– it} --- it

 

  ^m

) =

N _m ) ( ) 0

m ≥ 1

∀ ∀ x ∈ IR N _m ( x – k )

k = – ∞ + ∞

∑

, , = 1

m 2 N _{m – 1} ( ) x d x

∞ –

∫ +∞

≥ ,

∀ = 1

m ≥ 1

∀ , ∀ x ∈ IR , N _m ( ) x 2 ^{1 – m} C _m ^k N _m ( 2x – k )

k = 0

∑ m

=

N _m IR ⁺

N _m [ 0 , m ⁄ 2 ] m ≥ 1

f ∈ E t ∈ IR

∀ , f t ( ) 1

2π --- f x ( )e ^ixt d x

∞ –

∫ +∞

= )

m ≥ 2 N _m ( m ⁄ 2 ) t

sin --- t

 

  ^m d t

0

∫ +∞

MATHÉMATIQUES I Filière MP Calculer

.

En déduire la limite de lorsque .

c) Étudier la convergence uniforme de la suite sur . Partie II - Équation d’échelle On munit du produit scalaire

. On note la norme associée.

Soit une famille de réels, tous nuls sauf un nombre fini. On dit que , telle que

est une fonction d’échelle pour lorsqu’elle vérifie une équation d’échelle

À chaque équation d’échelle , est associé le polynôme trigonométrique .

Pour une fonction et un réel , on note la fonction translatée .

II.A - Dans cette question, est une fonction d’échelle solution de . II.A.1)

a) Montrer que .

b) Vérifier que, pour tout , est une fonction d’échelle.

II.A.2) Établir l’équivalence suivante

.

Lorsque ces conditions sont vérifiées, on dit que l’équation d’échelle a la pro- sin t

--- t

 

  ^m d t

0

∫ 1 m lim → +∞

N _m ( m ⁄ 2 ) m → +∞

N _m IR ⁺

E f g ,

〈 〉 f t ( ) g t ( ) d t

∞ –

∫ +∞

=

c = ( ) c _{k k ∈ ZZ} φ ∈ E

φ ( ) t d t

∞ –

∫ +∞ ^{= 1}

c x ∈ IR

∀ , φ ( ) x c _k φ ( 2x – k )

k ∑ ∈ ZZ

= ( ) E _c

E _c ( ) P _c ( ) ξ 1

2 --- c _k e ^{– ikξ}

k ∑ ∈ ZZ

=

φ : IR → IR p φ ( . – p ) x a φ ( x – p )

φ ( ) E _c

c _k

k ∑ ∈ ZZ ^{= 2}

p ∈ ZZ φ ( . – p )

p ∈ ZZ

∀ c _k c _{k – 2 p}

k ∑ ∈ ZZ ^{= 2δ 0 p}

, ⇔ P _c ( ) ξ ² + P _c ( ξ π + ) ² = 1

II.A.3) Établir que si la famille est orthonormale alors a la propriété . Calculer pour les équations d’échelles vérifiées par les fonctions à la question I.B.2-c. Indiquer celles ayant la propriété . On se propose d’étudier, dans les questions suivantes, différentes approches des fonctions d’échelles.

II.B -

II.B.1) Soit vérifiant l’équation d’échelle . Montrer que la transfor- mée de Fourier de vérifie

. En déduire que

.

II.B.2) Un exemple : soit et la famille définie par pour et ailleurs. Établir que

.

En déduire que si vérifie l’équation d’échelle alors . II.C - Soit une équation d’échelle écrite, pour simplifier,

avec ,

et telle que le polynôme trigonométrique associé vérifie ,

On désigne par l’ensemble, dense dans , des nom-

bres dyadiques.

II.C.1) Vérifier que la connaissance de pour permet d’obtenir pour .

II.C.2) On se propose de rechercher des fonctions vérifiant et s’annu- lant à l’extérieur de . On note

φ ( . – p ) p ∈ ZZ

{ } ( ) E _c

( ) O P _c

N _m ( ) O

φ ∈ E ( ) E _c

φ φ ξ ( ) P _c ξ

2 ---

    φ ξ 2 ---

   

) = )

φ ξ ( ) P _c ξ 2 ^j ---

   

j = 1

∏ n n lim → +∞

) =

m ≥ 2 c c _k = 2 ^{1 – m} C _m ^k k = 0 1 , , , … m 0

n ≥ 1

∀ ξ IR\2 ^{n + 1} π ZZ P _c ξ 2 ^j ---

   

j = 1

∏ n

∈ ,

∀

, 1 – e ^{– iξ}

2 ⁿ 1 e

i ξ 2

--- –

 – 

 

---

 

 

 

 

  ^m

=

φ ( ) E _c φ = N _m

E _c ( )

φ ( ) x c _k φ ( 2x – k )

k = 0

∑ m

= m ≥ 2

P _c P _c ( ) π = 0

D k

2 ^j

--- k ∈ ZZ , j ∈ IN

 

 

 

= IR

φ ( ) x x ∈ ZZ φ ( ) x x ∈ D

φ ( ) E _c

[0 , m[

MATHÉMATIQUES I Filière MP

.

a) Montrer que est solution de l’équation linéaire où est une matrice dont on précisera les coeffi- cients.

b) En utilisant la valeur de , vérifier que la somme des termes de chacune des colonnes de est constante.

c) En déduire que est valeur propre de .

d) Établir l’existence de fonctions , définies sur , s’annulant sur et solution de .

II.C.3) Soit l’équation d’échelle de la question II.B.2.

a) Établir que .

b) En déduire, en considérant les dérivations successives de vérifiée par que a pour spectre :

.

c) Donner la dimension de l’espace propre relatif à 1 et retrouver ainsi que est la seule solution continue de l’équation d’échelle , nulle à l’exté- rieur de .

V

φ ( ) 0 φ ( ) 1 M φ ( m – 1 )

 

 

 

 

 

 

=

V V = MV

M = ( M _{i j ,} ) _{0 ≤ i j , ≤ m – 1} ^∈ M ^{m ( IR )}

P _c ( ) π M

1 M

φ ≠ 0 D

D\[0 , m [ ( ) E _c ( Ec )

∀ k = 0 1 , , , … m – 2 , N _m ^{( ) k} ( ) 1 > 0

E _c ( )

N _m M

Sp ( M ) 1 2 ^k

--- k = 0 1 , , , … m – 1

 

 

 

=

E _M ( ) 1

N _m ( ) E _c

[0 , m [

II.D - Dans cette partie, on admet que les propriétés vues dans les parties I et II pour l’ensemble s’appliquent à l’espace vectoriel des applications de dans à support compact continues par morceaux et continues à droite. Soit

une équation d’échelle ayant la propriété .

On définit une suite de fonctions par la récurrence : et

II.D.1) Qu’obtient-on pour et les autres nuls ? On suppose désormais qu’il existe une fonction continue telle que

.

II.D.2) Montrer que vérifie l’équation d’échelle .

II.D.3) Montrer que est à support compact pour tout . En déduire que est à support compact.

II.D.4) Montrer que

.

En déduire que la famille est orthonormale.

••• FIN •••

E F IR

IR E _c

( ) ( ) O

φ _j ( ) _{j ∈ IN}

φ 0 ( ) 0 = χ [0 1 , [ ( ∀ x ∈ IR ) , ( ∀ j ∈ IN ) , φ j + 1 ( ) x c _k φ j ( 2x – k ).

k ∑ ∈ ZZ

= c ₀ = c ₁ = 1 c _k

φ φ φ – _n

n lim → + ∞ = 0

φ ( ) E _c

φ n n ∈ IN

φ

n ∈ IN

∀ , ∀ p ∈ ZZ , 〈 φ n , φ n ( . – p ) 〉 = δ 0 , p

φ ( . – p ) p ∈ ZZ

{ }