Une construction d'une intégrale relativement à un processus aléatoire.

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Une construction d’une intégrale relativement à un processus aléatoire.

Ludovic Valet

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Ludovic Valet. Une construction d’une intégrale relativement à un processus aléatoire.. 2001. �hal- 00661861�

Construction et étude d’une intégrale stochastique

Ludovic VALET

16 février 2012

Table des matières

I INDÉPENDANCE DE VARIABLES ALÉATOIRES 2

1 Système de variables aléatoires indépendantes 3

1.1 Introduction . . . . 3

1.2 Mesures discrètes . . . . 3

1.3 Mesures diffuses . . . . 6

1.3.1 P=λ, mesure de Lebesgue . . . . 6

1.3.2 P=µest une mesure diffuse sur lR . . . . 9

1.4 Mesures avec sauts . . . . 10

1.4.1 Cas d’un seul saut . . . . 10

1.4.2 Cas d’un nombre fini de sauts . . . . 23

2 Système maximum de variables aléatoires indépendantes 24 2.1 Position du problème . . . . 24

2.2 Caractérisation . . . . 25

2.3 Cas général . . . . 25

2.3.1 Notations . . . . 25

2.3.2 Indépendance, première approche . . . . 26

2.3.3 Conditions nécessaires d’indépendance . . . . 29

II DENSITÉ DE VARIABLES ALÉATOIRES 33 3 Polynômes de Wick 34 3.1 Introduction . . . . 34

3.2 Exponentielle de Wick . . . . 36

3.3 Propriétés des puissances de Wick . . . . 40

3.3.1 Introduction . . . . 40

3.3.2 Orthogonalité . . . . 40

3.3.3 Formules de récurrence . . . . 41

3.3.4 Equations différentielles . . . . 45

3.4 Quelques lois en probabilités . . . . 47

3.4.1 Loi NORMALE, N(0,1) . . . . 47

3.4.2 Loi GAMMA de paramètres a >0et b >0, Γ(a, b) . . . . 47

3.4.3 Combinaison linéaire de Lois GAMMA, Γ α ^a_b¹ 1 , β ^a_b² 2 . . . . . 48

3.4.4 Loi EXPONENTIELLE de paramètre λ, Exp(λ) . . . . 48

3.4.5 Loi de POISSON de paramètre λ,P(λ) . . . . 48

3.4.6 Loi BINOMIALE de paramètres N,p,q : B(N;p, q) . . . . 48

3.5 Quelques rappels sur les polynômes de LAGUERRE généralisés, L^α_n(x) . 49 3.6 Une relation avec les polynômes de Laguerre . . . . 50

3.7 Les premiers polynômes de Wick . . . . 51

4 Densité de variables aléatoires discrètes 53 4.1 Introduction . . . . 53

4.2 Suite de variables aléatoires prenant 2 valeurs . . . . 54

4.3 Suite de variables aléatoires prenant un nombre fini de valeurs . . . . 56

5 Densité de produit de variables aléatoires continues 61 5.1 Densité . . . . 61

5.1.1 Notations, premiers résultats . . . . 61

5.1.2 Quelques conditions suffisantes . . . . 63

5.2 Application . . . . 70

5.2.1 Explicitation du modèle . . . . 70

5.2.2 Etude de la convergence dans tous les L^p . . . . 71

5.2.3 Une application . . . . 74

III CONSTRUCTION ET ÉTUDE D’UNE INTÉGRALE 77

6 Construction d’une intégrale 78

6.1 Résultats techniques . . . . 78

6.1.1 Modèle . . . . 78

6.1.2 Lemmes . . . . 79

6.2 Construction d’une intégrale . . . . 82

6.2.1 Etude de produits . . . . 82

6.2.2 Définition de l’intégrale . . . . 84

6.3 Une autre présentation du même objet . . . . 84

6.3.1 Motivation . . . . 84

6.3.2 Le modèle . . . . 85

6.3.3 Première propriété du modèle généralisé . . . . 87

6.3.4 Réécriture de l’intégrale . . . . 88

6.4 Intégration par partie . . . . 89

6.5 Norme . . . . 91

6.6 Isométries partielles . . . . 92

6.6.1 Notations . . . . 92

6.6.2 Isométries . . . . 93

6.6.3 Isométrie sur S² . . . . 94

6.6.4 Vers une généralisation . . . . 95

7 Résultats techniques 96 7.1 Etude de Z_t² . . . . 96

7.2 identification . . . 104

7.2.1 Calculs préliminaires . . . 104

7.2.2 Identification des termes d’ordre 4 . . . 110

7.2.3 Identification des termes d’ordre 3 . . . 110

7.2.4 Identification des termes d’ordre 2 . . . 111

7.2.5 Identification des termes d’ordre 1 . . . 112

7.2.6 Identification des termes d’ordre 0 . . . 113

7.2.7 Identification . . . 113

7.3 Etude d’une limite . . . 114

8 Existence de modifications continues 118

8.1 Méthode . . . 118

8.1.1 Un résultat technique . . . 118

8.1.2 Position du problème . . . 119

8.1.3 Méthode . . . 119

8.2 Termes d’ordre 4 . . . 120

8.3 Termes d’ordre 3 . . . 120

8.4 Termes d’ordre 2 . . . 121

8.5 Termes d’ordre 1 . . . 121

8.6 Termes d’ordre 0 . . . 122

8.7 Modifications continues . . . 122

9 Variation quadratique 124 9.1 Position du problème . . . 124

9.2 Lemmes techniques . . . 125

9.3 Variation Quadratique . . . 126

Première partie

INDÉPENDANCE DE VARIABLES

ALÉATOIRES

Chapitre 1

Système de variables aléatoires indépendantes

1.1 Introduction

On va construire, pour différentes familles de mesures, des suites de variables aléa- toires indépendantes.

Pour cela on va transporter des suites de Rademacher généralisée sur notre espace me- suré via les fonctions de répartitions des mesures considérées. Dans un premier temps on regardera le cas de mesures discrètes et dans un deuxième temps on s’intéressera à des mesures diffuses pour ensuite généraliser au cas de mesures avec un seul saut.

Définition 1.1.1.

sont mutuellement, ou globalement, indépendantes.

1.2 Mesures discrètes

Soient :

– a1, . . . , an des éléments distincts d’un certain ensemble E,

– bk

k=1,...,N :

Ω = {a1, . . . , an},F =P(Ω)

→

lR,B(lR)

des applications mesu- rables.

Il existe des partitions

nk

G

j=1

A^k_j = Ω telle que :

b_k=

nk

X

j=1

x^k_j1_A^k

j. Posons I_j^k ={l |al ∈A^k_j}.

Proposition 1.2.1.

1. ∀(j₁, . . . , j_N)∈ {1, . . . , n₁} × · · · × {1, . . . , n_N} :

\N

k=1

I_j^k_k 6=∅ et soit(p₁, . . . , p_n)∈]0,1[ⁿ vérifiant :

2. ∀(j1, . . . , jN)∈ {1, . . . , n1} × · · · × {1, . . . , nN} : YN

k=1

X

l∈I_jk^k

p_l= X

l∈TN k=1I_jk^k

p_l.

Alors les variables aléatoiresX1, . . . , XN, sont mutuellement indépendantes surL²

Ω,F, P , avec P =

Xn

k=1

pkδak.

Remarque

Cela oblige2^N−1 ≤n et fournit une caractérisation de l’indépendance globale.

Démonstration

Soit Γ1× · · · ×ΓN ⊂ {x¹₁, . . . , x¹_n1} × · · · × {x^N₁ , . . . , x^N_nN}.

P

(X₁, . . . , X_N)∈Γ₁× · · · ×Γ_N

=P

X₁⁻¹(Γ₁)\ . . .\

X_N⁻¹(Γ_N)

=P B₁\

· · ·\ B_N

où B_ν = [

kν∈Jν

A^ν_kν avec J_ν ⊂ {1, . . . , nν},J_ν ={l|x^ν_l ∈Γν}.

P B₁T

· · ·T B_N

= X

(j1,...,jN)

∈J1×···×JN

P A¹_j1\

· · ·\ A^N_jn

= X

(j1,...,jN)

∈J1×···×JN

X

l∈TN k=1I_jk^k

p_l

= X

(j1,...,jN)

∈J1×···×JN

YN k=1

X

l∈I_jk^k

p_l

= X

(j1,...,jN)

∈J1×···×JN

YN k=1

P A^k_jk

= YN k=1

P [

jk∈Jk

A^k_j

k

!

= YN k=1

P B_k

.

△

Remarque

En fait il suffit de regarder ce qu’il se passe sur les atomes de la tribu engendrée par b1, . . . , bN, puisque :

P A¹_k1\

· · ·\ A^N_kN

= X

l∈TN j=1I_kj^j

pl = YN

i=1

X

l∈I^j_kj

pl= YN

j=1

P A^j_kj

.

Exemple

– Ω = {0,1}^2N – bk=

bk(i)

i=1...,2^N k = 1. . . , N avec :

bk(i) =

















1 si 2j2^N−k≤i≤(2j+ 1)2^N−k j = 0, . . . ,2^k−1

0 si (2j+ 1)2^N−k≤i≤(2j+ 2)2^N−k j = 0, . . . ,2^k−1

– bk: Ω→ {−1,1}





1 → 1 0 → −1 – pk = 1

2^N

b₀ = 1 b1 =

1, . . . ,1

| {z }

2^N−1

,0, . . . ,0

| {z }

2^N−1

b2 =

1, . . . ,1

| {z }

2^N−2

0, . . . ,0

| {z }

2^N−2

1, . . . ,1

| {z }

2^N−2

0, . . . ,0

| {z }

2^N−2

A⁰_k0T A¹_k1T

· · ·T

A^N_kN =A¹_k1T

· · ·T

A^N_kN =ak ⇒P A¹_k1T

· · ·T A^N_kN

= 1 2^N et P

A¹_k1

· · ·P A^N_kN

= 2^N−1

2^N × · · · × 2^N−1 2^N = 1

2^N

1.3 Mesures diffuses

Dans toute la suite on va considérer un espace mesuré (Ω,F, P) où Ω = [0,1], F =B([0,1])et où la mesure P sera précisée dans chaque cas. On appelleraF la fonction de répartition de la mesure P.

1.3.1 P=λ, mesure de Lebesgue

F(x) =x

- 6

1

1

Posons 







 e

r0 = 1 re_k =

2X^k−1

j=0

(−1)^j1_]^j

2k,^j+1

2k ] k ≥1

C’est le système de Rademacher, ce sont des variables aléatoires globalement indépen- dantes sur (Ω,F, P). On peut le généraliser de la façon suivante :

On pose r0 = 1, après avoir choisi α1 ∈]0,1[, on prend r1 = 1_]0,α1]−1_]α1,1].

Ensuite on découpe chacun des intervalles, après avoir préalablement fixé un α₂ ∈]0,1[, proportionnellement à α1 et1−α1 :

r2 = 1_]0,α1α2]−1_]α1α2,α1]+ 1_{]α1,α1+(1−α1)α2]}−1_{]α1+(1−α1)α2,1]}. On va construire de façon récurrente notre suite :

étant donné rk =

2X^k−1

j=0

(−1)^j1_]a^k

j,a^k_j+1], on choisit αk+1 ∈]0,1[ et on découpe chacun des intervalles proportionnellement à αk+1 et1−αk+1 :

rk+1 =

2X^k−1

j=0

1

a^k_j,a^k_j+α_k+1 a^k_j+1−a^k_j−1

a^k_j+α_k+1 a^k_j+1−a^k_j

,a^k_j+1

! .

En posant : 





a^k+1_2j = a^k_j

a^k+1_2j = αk+1(a^k_j+1−a^k_j) on a :

r_k+1 =

2^k+1X−1

j=0

(−1)^j1_]a^k+1

j ,a^k+1_j+1].

Introduisons maintenant, pour N fixé dans IN, quelques notations : – β₀ⁱ(N) =α_i

– β₁ⁱ(N) = 1−αi pouri= 1, . . . , N – β_ν(N) =β_j¹₁(N)· · ·β_j^N_N(N)

où(j1, . . . , jN) est le νième terme pour l’ordre lexicographique dans{0,1}^N. Dans ces conditions :

– a^N_ν −a^N_ν−1 =βν(N)(par récurrence).

Lemme 1.3.1.

2X^k1−1

i_N−1=0

(−1)^iN−1

(iN−1+1)d2−1

X

iN−2=iN−1d2

(−1)^iN−2· · ·

(i1+1)dN−1

X

i0=i1dN

(−1)ⁱ⁰1

a^kN_i

0 ,a^kN_i

0+1

où d_j = 2^kj−kj−1.

Démonstration

Par récurrence k₁< k₂

r_k1r_k2 =

2X^k1−1 j1=0

2X^k2−1 j2=0

(−1)^j1+j21

a^k_j¹

1,a^k_j¹

1+1

_T

a^k_j²

2,a^k_j²

2+1

1

a^k_j¹

1,a^k_j¹

1 +1

_T

a^k_j²

2,a^k_j²

2 +1

=





 1

a^k_j2²,a^k_j2+1² pour j₂ ∈ {j₁d₂, j₁d₂+ 1, . . . ,(j₁+ 1)d₂−1}

0 ailleurs

On suppose que c’est vrai jusqu’au rang N :

r_kN+1r_kN· · ·r_k1 =

2^kN+1X⁻¹

jN+1=0

(−1)^jN1

a^kN+1_jN+1,a^kN+1_jN+1+1

2X^k1−1 iN−1=0

(−1)^iN−1· · ·

(i1+1)dN−1

X

i0=i1dN

(−1)ⁱ⁰1

a^kN_i

0 ,a^kN_i

0+1

1

a^kN+1_jN+1,a^kN+1_jN+1+1r_kN· · ·r_k1 =

2X^k1−1 iN−1=0

(−1)^iN−1· · ·

(i1+1)dN−1

X

i0=i1dN

(−1)ⁱ⁰1

a^kN_i

0 ,a^kN_i

0+1

_T

a^kN+1_jN+1,a^kN+1_jN+1+1

1

a^kN_i

0 ,a^kN_i

0+1

_T

a^kN+1_jN+1,a^kN+1_{jN+1 +1}=













1a^kN+1_jN+1,a^kN+1_jN+1+1 si j_N+1∈ {i₀d_kN+1, . . .

. . . ,(i₀+ 1)d_kN+1 −1}

0 sinon

On réinjecte dans la somme précédente et, à une réindexation près, on a le résultat.

△

Proposition 1.3.1.

Démonstration

Commençons par fixer quelques notations. N étant un entier strictement positif, prenons (k1, . . . , k_N)∈IN^N tel que :0< k₁ <· · ·< k_N et ε₁, . . . , ε_N

∈ {−1,1}^N. On aura également besoin de :

ϕ_j(x) = 1 2 h

(1−α_j)(1−x) + (1 +x)αj

i

(j= 1, . . . , N).

On voit facilement que

P

b_k=ε_k

=ϕ_k(ε_k), puisque

P

b_k=ε_k

=ϕ_k(ε_k)

2^k−1X−1 ν=0

β_ν(k−1).

D’autre part on peut montrer que : P

b_k1 =ε_k1, b_k2 =ε_k2

= ϕ_k1(ε_k1)

2^k1X⁻¹−1 ν1=0

"

β_ν1(k₁−1)ϕ_k2(ε_k2)

2^k2X⁻¹−1 ν2=0

β_ν2(k₂−1)

#

= ϕ_k1(ε_k1)ϕ_k2(ε_k2) De proche en proche on a :

P

b_k1 =ε_k1, . . . , b_kN =ε_kN

= ϕ_k1(ε_k1)

2^k1X⁻¹−1 ν1=0

"

β_ν1(k₁−1)

"

· · ·

"

ϕ_kN(ε_kN)

2^kNX⁻¹−1 νN=0

β_νN(k_N −1)

#

· · ·

#

=ϕ_k1(ε_k1)· · ·ϕ_kN(ε_kN).

△

1.3.2 P=µ est une mesure diffuse sur lR

Notons F la fonction de répartition de µ.

Proposition 1.3.2.

.

Démonstration

Prenons des entiers naturels 0< k₁ <· · ·< k_N, notons b_k pour r_k ou re_k, alors : b_k:

[0,1],B([0,1]), λ

→ {−1,1} et

F :

lR,B(lR), P

→[0,1].

D’une part pour ε∈ {−1,1}:

P

b_k◦F =ε

=P

{x∈lR|F(x)∈ b_k−1

(ε)}

=P[

j

F⁻¹ Be_j . Où

Be_j =





]a^k_2j, a^k_2j+1] si ε= 1 ]a^k_2j+1, a^k_2j+2] si ε=−1.

LesBe_j sont disjoints donc :

P

b_k◦F =ε

=X

j

P

F⁻¹ Be_j

=X

j

P

F⁻¹(a_j), F⁻¹(a_j+1) où

F⁻¹(x) = inf{y|F(y) =x} et donc

P

b_k◦F =ε

=X

j

λ

]a_j, a_j+1]

=λ[

j

]a_j, a_j+1]

=· · ·=λ

b_k◦F =ε . D’autre part pour(ε₁, . . . , ε_N)∈ {−1,1}^N :

P

b_k1◦F =ε₁, . . . , b_kN ◦F =ε_N

=P

{x∈lR|F(x)∈ [p ν=1

B_jν} , où B_jν =]a^k_jν^N, a^k_j^N

ν+1], pour certains j_ν, sont des intervalles disjoints, donc :

P

b_k1 ◦F =ε₁, . . . , b_kN ◦F =ε_N

= Xp ν=1

λ

B_jν

=λ [^p

ν=1

B_jν

=λ

b_k1 =ε₁, . . . , b_kN =ε_N .

△

1.4 Mesures avec sauts

1.4.1 Cas d’un seul saut

On suppose que F est continue en dehors deX0 (plus précisément sur[0, X0]S

]X0,1]) où elle fait un saut de hauteur ∆avec F(X₀) + ∆<1.

Proposition 1.4.1.

rk

X

j=0

(−1)^j1_A^k

j, où A^k_j =]a^k_j, a^k_j+1], l’une des suites (rk)k ou (erk)k.

Si pour tous entiers naturels k1 <· · ·< kN on a : ∃j ∈IN

]F(X0), F(X0) + ∆]≡I ⊂A^k_j^N . Alors la suite bk◦F

k est indépendante sur (lR,B(lR), P).

Remarque

Les conditions de la proposition excluent implicitement le cas]F(X₀), F(X₀) + ∆] = A^k_j^N (car si tel était le cas, au rang kN + 1, il existerait un indice jν tel que I = A^k_jν^N+1S

A^k_jν^N+1).

Démonstration

Les calculs sont sensiblement les mêmes que dans la démonstration de la proposition 1.3.2.

On doit simplement distinguer le cas oùI ⊂B_j0 pour un certain j₀ ∈ {0, . . . ,2^kN −1}.

F⁻¹ B_j0

=F⁻¹ ]a_j0, F(X₀)][

]F(X₀), F(X₀) + ∆][

]F(X₀) + ∆, a_j0+1]

=]F⁻¹(a_j0), X₀][

]X₀, X₀][

]X₀, F⁻¹(a_j0+1)]

=]F⁻¹(a_j0), F⁻¹(a_j0+1)].

Finalement :

µ

F⁻¹ B_j0

=λ B_j0

.

△

Exemples

1) Considérons F(x) =





x si 0≤x ≤X0 = ¹₂ x+ ¹₄ si ³₄ ≤x≤1

- 6

- 1/2

- 3/4

1 -

| X0

r₁ = 1_]0,¹

2]−1_]¹

2,1]

r₂ = 1_]0,¹

4]−1_]¹

4,¹₂]+ 1_]¹

2,³₄]−1_]³

4,1]

E r1◦F ·r2 ◦F

= 1

4 6=E r1◦F

E r2◦F

=− 1 16 r₁◦F etr₂◦F ne sont pas indépendantes.

2) Considérons F(x) =





x si 0≤x ≤X₀ = ³₈ x+¹₄ si ⁵₈ ≤x≤1

- 6

3/8 - 5/8 -

1 -

| X₀ E r1◦F·r2◦F

= ¹₄ 6=E r1◦F

E r2◦F

= 0,r1◦F etr2◦F ne sont pas indépendantes.

i) Une première construction

On va construire une suite de Rademacher généralisée en choisissant lesαk de façon à découper l’intervalle I ≡]F(X0), F(X0) + ∆]après F(X0) + ∆ (pour appliquer la pro- position 1.4.1.).

b₀ = 1 on choisit α1 > F(X0) + ∆ dans ]0,1[,

b1 = 1]0,α1]−1]α1,1]= 1]0,F(X0)+∆]S

]F(X0)+∆,α1]−1]α1,1]

on choisit α2 ∈]0,1[tel que α1α2 > F(X0) + ∆,

b2 = 1]0,F(X0)+∆]S

]F(X0)+∆,α1α2]−1]α1α2,α1]+ 1]α1,α1+(1−α1)α2]−1]α1+(1−α1)α2,1].

CONDITION TECHNIQUE

On prend une suite (αk)k≥1 vérifiant :

∀N ∈IN− {0,1}:

(C1)

YN

k=1

αk > F(X0) + ∆.

Supposons, qu’au rang N, l’intervalle contenant I soit de la forme : ]0, α1· · ·αN] =]a, b].

On le découpe en deux, comme dans le paragraphe 1.3.1, proportionnellement à αN+1

et 1−α_N+1 :

]a, a+ (a−b)αN+1][

]a+ (a−b)αN+1, b].

Pour respecter le modèle de construction imposé il faut :

a+ (a−b)αN+1 > F(X0) + ∆.

En remplaçant a et b par leur valeur, (C1) donne le résultat, à savoir :I ⊂]0, α₁· · ·α_N+1[.

Lemme 1.4.1.

1) Si ∀k ≥1 αk =α ∈]0,1[ alors on ne peut pas construire la suite (bk)k≥0. 2) La suite dont le terme générique est :

αk =





F(X₀) + ∆ +a k = 1 1− _F(X^ak−1_0)+∆+a^(1−a)k−1 k ≥2

avec a∈]0,1−F(X0)−∆[ convient à la construction des bk suivant le modèle imposé.

Démonstration

On va poser p(N) = YN i=1

α_i. 1)

Si α_k = α ∀k ≥1 alors p(N) =α^N etp = lim

N→∞p(N) = 0. Comme F(X_o) + ∆>0, la