PCSI 1 - Stanislas
DS de PHYSIQUE N
◦2 - 16/10/21 - CORRIGÉ
A. MARTINÉLECTROCINÉTIQUE
I. Photodiode
I.1. Caractéristique
1. L’intensité se mesure en ampères (A unité fondamentale) et la puissance en watts (1 W = 1 kg.m
2.s
−3).
Donc k est en ampère par watt : A.W
−1, ou en V
−1(car P = ui en électricité).
2. En circuit ouvert le courant est nul donc 0 = I
0e
uCO/V0− 1
− I
p⇔ u
CO= V
0ln
1 + I
pI
0.
3. L’intensité de court-circuit est obtenue en court-circuitant les bornes de la diode (reliées par un fil et donc soumises à une ddp u nulle) :
i
CC= −I
p.
4. La caractéristique de la diode en convention croisée (récepteur) a l’allure ci-dessous. La valeur asympto- tique pour u → −∞ est −I
0− I
p.
Dans le schéma ci-dessous, on sous-estime d’un facteur 10 la différence importante d’ordre de grandeur entre I
0et I
p(I
pI
0). En réalité la caractéristique a une allure beaucoup plus rectiligne.
0 u
i
V
0u
CO−I
p−I
0− I
pF.G.
F.R.
F.R.
5. Son fonctionnement est générateur (F.G.) lorsque la puissance reçue P
r= ui est négative, comme indiqué ci-dessus (2ème quadrant). Dans le cas contraire le fonctionnement est récepteur (F.R.).
6. On obtient i
CC= −0, 50 mA et u
CO= 0, 10 V.
I.2. Utilisation en cellule photovoltaïque 7. a) La résistance vérifie u = −R
ci ⇔ i = −
Ruc
, et le point de fonctionnement est l’intersection des deux caractéristiques (cf figure ci-contre).
On pose R
0= u
COI
0+ I
p. Deux états sont possibles pour la diode selon la valeur de R
c:
• situation (1) : R
c< R
0alors i = −I
0− I
pet u = R
c(I
0+ I
p) ;
• situation (2) : R
c≥ R
0alors u = u
COet i = − u
COR
c.
0 u
i
−I
0− I
pu
CO(1) (2)
1
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A. MARTINb) La puissance cédée (fournie) par la photodiode, P = −ui, est aussi la puissance reçue par le résistor : si R
c< R
0alors P = R
c(I
0+ I
p)
2; si R
c≥ R
0alors P = u
2COR
c. c) On obtient l’allure ci-contre.
d) Le maximum est
P
max= R
0(I
0+ I
p)
2= u
CO(I
0+ I
p) = 5, 2 × 10
−5W . Elle est donc obtenue pour
R
opt= R
0= u
COI
0+ I
p= 0, 20 kΩ . 0 R
cP
R
0P
max8. a) En reprenant l’expression trouvée en 2., on obtient P
max= V
0ln
1 + I
pI
0(I
0+I
p) avec I
p= kP
`= xI
0donc η = V
0k ln (1 + x) 1
x + 1
= 5, 2% . b) On obtient η −→
x→∞
∞ , ce qui n’est pas correct car on ne peut pas récupérer plus de puissance électrique qu’on ne reçoit de puissance lumineuse, vu qu’il n’y a pas d’autre source d’énergie dans le circuit. En réalité le photocourant doit nécessairement saturer pour des intensités lumineuses trop fortes, car le nombre de porteurs de charges mobilisable n’est pas infini. C’est donc la relation I
p= kP
`qui serait en défaut.
c) Le fait d’approximer la portion courbe de la caractéristique par un angle droit conduit à sur-estimer le produit −ui, c’est-à-dire la puissance cédée par la photodiode. Donc on surestime η.
9.
a) Les tensions des photodiodes en série s’additionnent mais le courant est le même. Cela conduit à additionner gra- phiquement les caractéristiques horizontalement (pour un i donné on somme N fois les tensions u). Cela conduit donc à une tension à vide u
CON= N u
COet un courant de court-circuit inchangé i
CC= −I
p.
0 u
i
−I
0− I
pu
CON= N u
COb) La puissance maximale est à nouveau obtenue en prenant le point anguleux de la caractéristique, P
Nmax= N u
CO(I
0+ I
p) = N P
max, qui sera obtenue en prenant la résistance de charge optimale R
Nopt= N u
COI
0+ I
p= N R
opt= N R
0. 10.
a) Les courant des photodiodes en dérivation s’additionnent mais la tension est la même. Cela conduit à additionner graphiquement les caractéristiques verticalement (pour un u donné on somme N fois les courants i). Cela conduit donc à une tension à vide u
CON= u
COinchangée et un courant de court-circuit i
CC= −N I
p(et une asymptote horizontale −N I
0− N I
p).
0 u
i
−N I
0− N I
pu
COb) La puissance maximale est à nouveau obtenue en prenant le point anguleux de la caractéristique, P
N||max= u
CO(N I
0+ N I
p) = N P
max, obtenue en prenant R
N||opt= u
CON(I
0+ I
p) = R
optN = R
0N .
2
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A. MARTIN11. D’après les résultats précédents, on obtiendra la même puissance maximale P
Nmax= N P
max• soit en associant N photodiodes en série, avec R
c= N R
0;
• soit en associant N photodiodes en dérivation, avec R
c=
RN0. Puisqu’ici R
c> R
0, on opte pour l’association en série de N = R
cR
0= 5 photodiodes.
Le rendement de conversion est alors η = N P
maxP
`= 0, 26 . I.3. Utilisation en détecteur
Réponse statique
12. La loi des nœuds implique d’additionner les courants des 2 branches :
i = −I
p+ u R
dGraphiquement cela conduit à l’addition verticale des ca- ractéristiques de la source de courant et de la résistance (cf ci-contre, trait épais).
0 u
i
u
CO−I
pE/R
13. a) La photodiode est associée à un générateur de Thévenin de caractéristique i =
ER−
Ru(droite en trait fin ci-dessus). L’intersection des deux caractéristiques donne le point de fonctionnement. Elle correspond au système
i = −I
p+
Rud
i =
ER−
Ru⇔ i = −I
p+ E/R
d1 + R/R
det u = E + RI
p1 + R/R
d. b) D’après le résultat précédent, la tension
v
s= Ri = R −I
p+ E/R
d1 + R/R
ddépend de façon affine de P
`puisque I
p= kP
`. Les variations sont donc proportionnelles :
−∆v
s= Rk
1 + R/R
d∆P
`⇒ α = Rk
1 + R/R
d= 5, 0 × 10
3V.W
−1. 14.
On observe sur le graphe ci-dessus que si l’intensité lumineuse augmente, alors I
paugmente, donc u aug- mente (le point de fonctionnement se déplace vers la droite). Si l’on atteint u = u
COalors v
s= E − u
COne variera plus en fonction de P
`: le détecteur sa- ture. On se place donc à la limite, comme indiqué ci-contre.
0 u
i
u
CO−I
pmaxE/R
On ne peut donc mesurer une intensité supérieure à P
`maxtelle que les équations précédentes soient vérifiées, avec u = u
CO:
u
CO= E + RI
pmax1 + R/R
davec I
pmax= kP
`max⇔ P
`max= u
CO(1 + R/R
d) − E kR
d’où P
`max= u
COα − E
kR = 3, 0 mW . 3
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A. MARTIN15. On repart de l’expression trouvée en 13.b) : v
s= R −I
p+ E/R
d1 + R/R
d< 0 ⇒ |v
s|
min= R I
pmin− E/R
d1 + R/R
d= α
P
`min− E kR
d
d’où P
`min= |v
s|
minα + E
kR
d= 1, 0 µW .
Réponse à une impulsion lumineuse16. À tout instant on a v
s= E − u, donc v
svarie continûment car u est aux bornes d’un condensateur.
17. L’état stationnaire correspond le point de fonctionnement qui a été calculé en 13., mais avec I
p= 0 dans l’obscurité. On obtient donc
v
S0= E − u = E − E + RI
p1 + R/R
d= RE
R + R
d⇔ v
S0= E 1 + R
d/R .
Remarque : ce résultat peut être retrouvé en représentant le circuit équivalent en régime stationnaire (capacité remplacée par un interrupteur ouvert). Il s’agit d’un simple pont diviseur de tension.
18. De nouveau, en présence de lumière mais en régime stationnaire, on utilise le résultat de 13., avec I
p= k P
0:
v
S∞= E−u = E− E + RI
p1 + R/R
d⇒ v
S∞= E − R
dkP
01 + R
d/R = v
S0− α P
0avec α = kR
1 + R/R
d= kR
d1 + R
d/R . 19. a) La loi des nœuds en A s’écrit :
i
d= I
p+ i − C
ddu dt .
b) En injectant dans la relation précédente que u = R
di
det v
s= Ri, on obtient u = R
dI
p+ R
dR v
s− C
dR
ddu dt Puis on injecte la loi des mailles u = E − v
set I
p= kP
`, ce qui donne
E − v
s= R
dkP
`+ R
dR v
s+ C
dR
ddv
sdt ⇔ τ dv
sdt + v
s= E − R
dkP
`1 + R
d/R avec τ = R
dC
d1 + R
d/R . 20.
t ∈ [0, ∆t], τ dv
sdt + v
s= E − R
dkP
01 + R
d/R = v
S∞= constante ⇒ v
s(t) = v
S∞+ λ e
−τtλ ∈
R, car le second membre est constant. À l’instant initial et par continuité de v
son a
v
s(0) = v
S0= v
S∞+ λ donc v
s(t) = v
S∞+ (v
S0− v
S∞) e
−tτ. L’allure du graphe est représentée ci-dessous (E < 0 donc v
S0< 0 et v
S∞< 0).
Remarque : l’écriture de la solution sous la forme ci-dessus est toujours valable pour une équation du 1er ordre avec second membre constant.
0 t
v
sv
S0v
S∞τ ∆t ∆t + τ
4
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A. MARTIN21.
∀t > ∆t : τ dv
sdt + v
s= E
1 + R
d/R = v
S0= constante On raccorde la nouvelle solution pour t > ∆t par continuité avec celle pour t ∈ [0, ∆t] :
∀t > ∆t : v
s(t) = v
S0+ (v
s(∆t) − v
S0) e
−t−∆tτavec v
s(∆t) = v
S∞+ (v
S0− v
S∞) e
−∆tτ. L’allure de cette solution est ajoutée sur le graphe précédent.
22. Remarque : dans l’énoncé les mots « dépasse » et « sous la valeur » doivent s’entendre en valeur absolue puisque toutes ces tensions sont en fait négatives.
D’autre part il y a une erreur dans l’énoncé pour le second seuil (sans conséquences). Les expressions données devaient normalement correspondent respectivement à des seuils de moitié et quart de l’excursion totale de la solution :
•
vS20+
vS2∞= v
S0+
12(v
S∞− v
S0)
•
3v4S0+
vS∞4= v
S0+
14(v
S∞− v
S0) ;
Nous poursuivons avec les seuils indiqués dans l’énoncé.
Pour simplifier les calculs on note les deux seuils v
S1=
vS02+
vS∞4et v
S2=
vS20+
vS2∞. On considère la situation optimale où chaque impulsion lumineuse commence au moment où v
s= v
S1et termine au moment où v
s= v
s2. Le signal v
squi découle d’une succession de plusieurs impulsions est représenté ci-dessous, en prenant le début de la n-ième impulsion en t = 0.
0 t
v
sv
S0v
S∞v
S1v
S2t
1∆t
m• La n-ième impulsion commence à t = 0 et se termine à l’instant t
1tel que v
S2= v
S∞+ (v
S1− v
S∞) e
−tτ1⇔ t
1= τ ln
v
S1− v
S∞v
S2− v
S∞.
• La n + 1-ième impulsion commence à l’instant ∆t
mqui vérifie : v
S1= v
S0+ (v
S2− v
S0) e
−∆tm−tτ 1⇔ ∆t
m= t
1+ τ ln
v
S2− v
S0v
S1− v
S0.
Finalement on obtient
1∆t
m= τ ln
v
S1− v
S∞v
S2− v
S∞.
v
S2− v
S0v
S1− v
S0= τ ln
v
S0− 3v
S∞/2 v
S0− v
S∞
.
v
S0+ v
S∞v
S0+ v
S∞/2
= 2, 2 × 10
−8s .
D’où la bande passante B = 1
∆t
m= 46 Mb.s
−1.
1. Sans l’erreur d’énoncé indiquée précédemment, on obtiendrait un résultat indépendant devS0etvS∞, mais des valeurs numériques semblables :
∆tm=τln 3 = 2,2×10−8s et B= 46 Mb.s−1.
5
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A. MARTINII. Etincelle de rupture
1.
E
R
i
C
u
L
La loi des mailles s’écrit E = Ri + L di
dt + u avec i = C du d t , ce qui conduit à
d
2u dt
2+ ω
0Q du
dt + ω
20u = ω
20E avec ω
0= 1
√
LC et Q = 1 R
s
L C .
2. Q = 500 1. Donc le discriminant de l’équation caractéristique ∆ = ω
20Q12− 4
est négatif. Ainsi le régime transitoire est pseudo-périodique :
u(t) = E + e
−τt(A cos(ωt) + B sin(ωt)) avec τ = 2Q ω
0= 2L
R et ω = ω
0 s1 − 1 4Q
2. 3. Le temps caractéristique des variations de u(t) est la pseudo-période
T = 2π ω = 2π
ω
01 − 1 4Q
2−12
≈ 2π ω
0car Q 1 , donc τ T ≈ τ ω
02π = Q
π ≈ 159 1 . 4. On écrit donc u(t) = E +A cos(ω
0t) + B sin(ω
0t) (car ω ≈ ω
0). À l’instant initial, la tension aux bornes du
condensateur est continue et c’est celle d’un simple fil, donc u(0) = 0. Le courant est continu à cause de la bobine, et sa valeur est donnée par le circuit en régime permanent sans la capacité. La bobine équivaut alors à un fil et i(0) = E/R.
On a donc
u(0) = 0 = E + A ⇔ A = −E et i(0) = E
R = CBω
0⇔ B = E RCω
0= EQ . Cela conduit à u(t) = E (1 − cos(ω
0t) + Q sin(ω
0t)) .
5. Le second terme sinusoïdal a donc une amplitude beaucoup plus grande que le premier. Il va rapidement dominer dès les premiers instants. On peut s’en convaincre en ré-écrivant :
u(t) = E + E
q1 + Q
2− 1
p
1 + Q
2cos(ω
0t) + Q
p
1 + Q
2sin(ω
0t)
!
= E − E
q1 + Q
2cos(ω
0t + ϕ)
avec cos ϕ = 1
p
1 + Q
2, sin ϕ = Q
p
1 + Q
2, et tan ϕ = Q .
Comme Q 1, on a ϕ ≈
π2(1er quadrant) et
p1 + Q
2≈ Q, d’où finalement u(t) ≈ E + EQ sin(ω
0t) . Ainsi la tension u(t) commence par croître, et ce rapidement puisque son amplitude QE est beaucoup plus grande que le régime permanent qu’il devrait atteindre (à savoir E).
La tension de claquage est atteinte à l’instant t
ctel que V
c= E + EQ sin(ω
0t
c) ⇔ t
c= √
LC arcsin
V
c/E − 1 Q
