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A. MARTIN

ÉLECTROCINÉTIQUE

I. Quartz et piézo-électricité

(d’après ENSTIM 2004)

I.1. Modélisation électro-mécanique d’un résonateur à quartz

1.

On obtient C

_P

= ε

0

ε

_r

πD

²

4e = 8, 0 pF. La charge est liée à la tension par q

1

(t) = C

_P

v(t) .

2.

En multipliant l’équation du mouvement par γ on obtient

m¨ q

2

+ h q ˙

2

+ kq

2

= βγv .

Le circuit RLC série vérifie la loi des mailles : Ri

2

+ q

2

C

_S

+ L di

2

dt = v avec i

2

= ˙ q

2

d’où L d

²

q

2

dt

²

+ R dq

2

dt + q

2

C

_S

= v . En comparant les deux équations (même second membre v à droite) on obtient les équivalences sui- vantes :

L = m

βγ , R = h

βγ et C

_S

= βγ k .

3. a)

Les admittances deux branches en dérivation s’additionnent :

Z

_AB

= jωC

_p

+ 1

1 jωCS

+ jωL

!−1

= 1 − ω

²

C

_S

L

jωC

_P

(1 − ω

²

C

_S

L) + jωC

_S

= −j

ω(C

_P

+ C

_S

) . 1 − ω

²

C

_S

L 1 − ω

²_C^CPCS

P+CS

L

d’où Z

_AB

=

− j αω

1 −

^ω_ω²2 r

1 −

^ω_ω2² a

avec α = C

_P

+ C

_S

, ω

r

= 1

√ C

_S

L et ω

a

=

s

C

_P

+ C

_S

C

P

C

S

L .

b)

On obtient f

_a

= 1 2π

s

C

_P

+ C

_S

C

_P

C

_S

L = 8, 00 × 10

⁵

Hz et f

_r

= 1 2π √

C

_S

L = 7, 96 × 10

⁵

Hz .

c)

Étant donné que f

_r

< f

_a

(et donc ω

_r

< ω

_a

), le quartz a un comportement inductif lorsque

Im (Z

_AB

) > 0 ⇔ f ∈]f

r

, f

_a

[ . Inversement il aura un comportement capacitif lorsque f ∈ [0, f

_r

[∪]f

_a

, ∞[ .

d)

On a donc |Z

_AB

| =

_α2πf¹

1−^f2 f2 r 1−^f2 f2 a

> 0, qui diverge en 0 et f

_a

, et s’annule en f

_r

. Entre ces valeurs une représentation graphique (sur calculatrice) permet de se convaincre que le comportement est monotone

¹

.

1. L’analyse du signe de la dérivée est beaucoup trop calculatoire pour avoir sa place ici.

1

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f

|Z

_AB

|

0

f

_r

f

_a

4. a)

Par la loi du pont diviseur de tension on obtient H = R

_v

R

_v

+ Z

_AB

= 1 1 + Z

_AB

/R

_v

.

b)

Comme Z

_AB

est un imaginaire pur, on obtient

|H| = 1

p

1 + |Z

_AB

|

²

/R

²_v

= 1

2 ⇔ |Z

_AB

| = √ 3R

_v

.

c)

On obtient Q = f

0

∆f = 1, 59 × 10

⁴

(avec f

0

= 796 kHz, qui correspond à f

_r

), ce qui conduit à R = Lω

0

Q = 2π∆f L = 157 Ω.

I.2. Principe d’une montre à quartz

5. a)

Le compteur divise la fréquence par 2. En sortie on obtient un signal à 32768/2 = 16384 Hz

b)

32768 = 2

^k

⇔ k =

^{ln 32768}_{ln 2}

15, donc 32768 = 2

¹⁵

. En mettant en cascade 15 compteurs modulo 2, on

obtient une fréquence de 1,0000 Hz, donc on commande les secondes

²

.

2. On garde 5 chiffres significatifs. Plus précisément la précision relative est de₃₂₇₆₈¹ = 3,1×10⁻⁵s. On peut dire que la montre retarde ou avance potentiellement de une seconde toutes les 32768 secondes, soit toutes les 9 h 06 min.

2

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II. Analyse du filtre d’un oscillateur quasi-sinusoïdal

(d’après Banque PT 2021, adaptation C. Lacpatia)

II.1. Etude fréquentielle

1.

À Basse Fréquence (BF) l’inductance se comporte comme un fil et la capacité comme un interrupteur ouvert. À Haute Fréquence (HF), c’est le contraire, d’où les schémas ci-dessous.

BF HF

Dans les deux cas limites la tension de sortie tend vers zéro donc il s’agit nécessairement d’un filtre passe-bande.

2.

Les admittances des dipôles L, R, C en dérivation s’additionnent, et la loi du pont diviseur de tension conduit à

H

_F

= v

₂

v

1

= 1

1 + R

0

(

_R¹

+ jCω +

_jLω¹

) = 1 1 +

^R_R⁰

+ R

0

jCω +

_jLω¹

=

1 1+R0/R

1 + j

_1+R^R0

0/R

Cω −

_Lω¹

Par identification, il vient d’abord : H

0

= 1

1 + R

0

/R = R R + R

0

. Puis en multipliant les deux derniers termes au dénominateur on identifie :

Q

²_F

x

x = R

²₀

(1 + R

0

/R)

²

C

L ⇔ Q

_F

= R

0

1 + R

0

/R

s

C L . On en déduit

Q

_F

x = R

0

1 + R

0

/R Cω ⇔ ω

0

= 1

√ LC .

On peut aussi ré-écrire sous forme de fraction rationnelle

H

_F

= H

0 jx QF

1 − x

²

+ j

_Q^x

F

ce qui montre qu’il s’agit d’un filtre du second ordre (ordre du polynôme au dénominateur).

3.

On obtient G(x) = H

0 r

1 + Q

²_F

x −

_x¹²

avec x =

_ω^ω

0

et car H

0

> 0.

G(x) est maximal lorsque le dénominateur est minimal, soit pour x

_r

= 1, donc pour ω

_r

= ω

0

. On a alors G

max

= G(x = 1) = H

0

.

4.

Les pulsations de coupure vérifient H

0

r

1 + Q

²_F

x −

¹_x²

= √ H

0

2 ⇔ 1 + Q

²_F

x − 1 x

2

= 2 ⇔

x − 1

x

2

= 1 Q

²_F

⇔

x − 1 x

= ± 1

Q

_F

⇔ x

²

± x Q

_F

− 1 = 0 3

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Les deux seules solutions positives sont x

_c,1

= 1

2Q

_F

−1 +

^q

1 + 4Q

²_F

et x

_c,2

= 1 2Q

_F

1 +

q

1 + 4Q

²_F

d’où ω

_c,1

= 1 2Q

_F

−1 +

^q

1 + 4Q

²_F

et ω

_c,2

= 1 2Q

_F

1 +

^q

1 + 4Q

²_F

On en déduit ∆ω = ω

_c,2

− ω

_c,1

= ω

0

Q

_F

.

5.

On mesure le gain maximal (bleu) H

0

= G

max

= 0, 205 et la pulsation de résonance qui lui est associée : ω

0

= 3, 15 × 10

⁵

rad/s . Pour les fréquences de coupure, on détermine

^G√^max

2

= 0, 145 et on repère les pulsations (rouge) associées (ω

_c,1

= 2, 9 × 10

⁵

rad/s et ω

_c,2

= 3, 4 × 10

⁵

rad/s) soit ∆ω = 5 × 10

⁴

rad/s .

6.

Le gain maximal H

0

= G

max

permet d’obtenir R : G

max

= 1

1 +

^R_R⁰

⇔ R = R

0

1/G

max

− 1 = 1, 2 × 10

²

Ω . On utilise ensuite la largeur de la bande passante et les expressions de Q

_F

et ω

0

:

∆ω = ω

0

Q

_F

= 1

H

0

R

0

C ⇔ C = 1

G

max

R

0

∆ω = 2 × 10

⁻⁷

F.

Enfin,

ω

0

= 1

√

LC ⇔ L = 1

Cω

₀²

⇔ L = G

max

R

0

∆ω

ω

₀²

= 5 × 10

⁻⁵

H.

II.2. Etude temporelle

7.

On a

H

_F

= H

0 jx QF

1 − x

²

+ j

_Q^x

F

donc ∀t , (jω)

²

ω

₀²

+ j ω

ω

0

Q

_F

+ 1

!

v

2

(t) = H

0

jω ω

0

Q

_F

v

1

(t) d’où ∀t , d

²

v

2

dt

²

+ ω

0

Q

_F

dv

2

dt + ω

²₀

v

2

= H

0

ω

0

Q

_F

dv

1

dt = 1 R

0

C

dv

1

dt .

8.

Des trois dipôles R, L, C, seule la capacité est traver-

sée par un courant à t = 0+ car i

_L

(0

⁺

) = i

_L

(0

⁻

) = 0

et i

R

(0

⁺

) =

^v2(0_R⁺⁾

= 0. Ainsi la loi des nœuds

conduit à i(0

⁺

) = i

_C

(0

⁺

) et la loi des mailles donne :

4

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v

1

(0

⁺

) = R

0

i

_C

(0

⁺

) + v

2

(0

⁺

) ⇔ E = R

0

i

_C

(0

⁺

) + 0 ⇔ i

_C

(0

⁺

) = E R

0

.

9.

Remarque : Les valeurs trouvées lors de l’étude fréquentielle conduisent effectivement à un régime pseudo- périodique puisqe Q

_F

=

_∆ω^ω0

≈ 6 >

¹₂

donc le discriminent de l’équation caractéristique est positif.

La solution générale de l’équation sans second membre est :

v

2

(t) = e

^−τt

(Acos (ωt) + B sin (ωt)) avec τ = 2Q

_F

ω

0

= 2R

0

C

1 + R

0

/R et ω = ω

0 s

1 − 1 4Q

²_F

. Comme v

1

(t) = E = constante ∀t > 0, le second membre est nul ∀t > 0 et on ne cherche donc pas de solution particulière. Les conditions initiales donnent :

v

2

(0

⁺

) = 0 = A et i

_C

(0

⁺

)

C = E

R

0

C = ωB ⇔ B = E R

0

Cω

d’où v

2

(t) = E

R

0

Cω e

^−τt

sin (ωt)

10.

En l’absence de solution particulière le décrément logarithmique peut être défini par δ = ln

v

2

(t)

v

2

(t + T)

. Pour mesurer δ on privilégie bien sûr les instants t

_m

où v

2

est un maximum local ou un minimum local.

En utilisant sin (t + T) = sin (t), il vient :

δ = ln







e

^−τt_R^E

0CΩ

sin (Ωt)

e

^−(t+T)τ _R^E

0CΩ

sin (Ω (t + T ))







= T τ = 2πω

0

ω2Q

_F

d’où δ = 2π

q

4Q

²_F

− 1

.

11.

Remarque : le sujet a été mal relu par le prof... contrairement à ce qui est écrit dans l’énoncé le graphe du courant ne figure pas dans le sujet car n’est pas nécessaire pour trouver les paramètres demandés. Par contre l’axe des abscisses aurait du être légendé et donc c’est inexploitable... ! (erreur de version de fi- gure...).

Il y a 3 paramètres à trouver (L, C et E) donc il faut mesurer 3 grandeurs distinctes sur le graphe. Les mesures de la pseudo-période T et de δ permettent en principe de remonter aux paramètres canoniques ω

0

et Q et donc de trouver L et C connaissant R.

5

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On mesure ci-dessus

5T ≈ 0, 100 ms d’où T = 0, 020 ms , et à l’aide des 2 premiers maxima on obtient

δ = 0, 15 0, 09 = 0, 51 .

Remarque : Le 2ème chiffre significatif de δ est fluctuant selon le choix des valeurs sur la courbe.

On en déduit τ = T

δ or τ = 2R

0

C

1 + R

0

/R donc C = T 2δ

1 R

0

+ 1 R

= 2, 0 × 10

⁻⁷

F.

Puis, comme on observe plus de 5 oscillations nettes on peut simplement écrire

δ ≈ π

Q

_F

or Q

_F

= R

0

1 + R

0

/R

s

C

L d’où L = C δ

² ₁

R0

+

_R¹²

π

²

= T δ

2π

²¹

R0

+

¹

R

= 4, 9 × 10

⁻⁵

H .

Remarque : On retrouve bien les valeurs obtenues par étude fréquentielle précédemment. Toutefois le se- cond chiffres significatif ici n’est pas tout à fait certain.

Pour trouver E il faut exploiter un point particulier de la courbe qui ne soit pas un zéro, sachant que v

2

(t) = E

R

0

Cω e

^−τt

sin (ωt) .

On peut exploiter le premier point où sin (ωt) = 1, c’est-à-dire en t =

^T₄

≈ 0, 050 ms. À la précision dispo- nible sur le graphe la valeur de v

2

en ce point ne se distingue pas du maximum, donc v

2

(t =

^T₄

) ≈ 0, 15 V.

D’où, en notant que

_4τ^T

=

^δ₄

et ω =

^2π_T

, on obtient

E = 2π e

^δ4

R

0

C

T v

2

(t =

^T₄

) = 5, 2 V .

6