Étude expérimentale de l’action d’un filtre passe-bande sur un signal périodique non-sinusoïdal

Étude expérimentale de l’action d’un filtre passe-bande sur un signal périodique non-sinusoïdal

par Maurice DOURLENT Lycée Technique Jean Dupuy 1, rue Aristide Bergès - BP 1626 65016 Tarbes Cedex

RÉSUMÉ

A propos de l’action d’un filtre passe-bande sur une tension périodique non- sinusoïdale, un exemple de comparaison quantitative entre la théorie et l’expérience est présenté. Cette comparaison est effectuée à l’aide d’un ordinateur équipé d’une interface de saisie de mesures en temps réel et d’un logiciel permettant les calculs théoriques.

1. INTRODUCTION

Lorsqu’un établissement d’enseignement est doté de matériel informatique auquel on a adjoint des interfaces et des logiciels destinés à la saisie en temps réel et au traite- ment des mesures, il devient possible de proposer des travaux pratiques permettant une vérification quantitative de certaines lois physiques alors qu’auparavant on devait se limiter à une visualisation qualitative à l’oscilloscope.

Dans ce qui suit, on rend compte d’une série d’expériences assistées par ordinateur qui illustrent la corrélation entre deux notions utilisées en physique :

• La décomposition en série de Fourier d’une fonction périodique non sinusoïdale Toute fonction périodique non-sinusoïdale, de fréquence f, est mathématiquement équivalente à une somme comprenant une constante et une infinité de termes dont cha- cun est une fonction sinusoïdale de fréquence k.f (k entier supérieur ou égal à un). Dans la majorité des cas, les amplitudes des termes sinusoïdaux successifs non nuls de cette série décroissent lorsque le rang k augmente.

• Le théorème de superposition relatif aux réseaux électriques linéaires

Si l’on applique aux bornes d’entrée d’un quadripôle linéaire une tension qui est la somme de plusieurs autres, le quadripôle linéaire se comporte à l’égard de chacun des

termes de cette somme comme s’il était seul et la tension de sortie est la somme des ten- sions filtrées.

Pour ces expériences :

– la fonction choisie est la fonction dite «en carrés symétriques» dont le spectre de Fourier est riche en harmoniques de rang k impair,

– le quadripôle est un filtre actif passe-bande, ayant une structure de Rauch, dont la sortie est connectée à un micro-ordinateur, par l’intermédiaire de l’interface E^XPERTen liaison avec le logiciel EVENEMENT, tous deux commercialisés par la société PIERRON. Ces expériences ont été choisies pour illustrer l’un des commentaires accompa- gnant les récents programmes de classes préparatoires scientifiques relatifs à la filière PT : «on étudiera en travaux pratiques la composition en fréquence d’un signal analo- gique périodique (valeur moyenne, fondamental et harmoniques) et l’action d’un filtre sur un signal analogique périodique» (BOEN n° 3 du 18 juillet 1996).

On peut consacrer à ce travail deux séances de travaux pratiques de deux heures chacune :

– la première consiste à réaliser le montage, ajuster les valeurs des dipôles R,C du filtre et de la fréquence en étudiant son fonctionnement en régime sinusoïdal (voir section 4), puis à effectuer les différentes saisies de mesures,

– la seconde consiste à comparer les résultats prévus par la théorie à ceux de l’expé- rience en reconstituant par le calcul, programmé à l’aide du logiciel EVENEMENT, le signal de sortie avec le nombre minimal d’harmoniques significatifs. On peut traiter la totalité du sujet à condition de répartir les tâches entre les différents participants, dispo- sant tous de la même série de saisies de mesures faite au cours de la séance antérieure.

Remarque : on observe que le thème de ce travail est centré sur la fin du commen- taire du BO. On pourrait envisager une autre séance centrée sur le début de ce com- mentaire, à savoir l’étude expérimentale de la composition fréquentielle d’un signal périodique au moyen de techniques d’acquisition et de traitement comme, par exemple, la «Transformée de Fourier Rapide», disponible dans le menu «Calcul... TFR» du logi- ciel E^VENEMENT.

2. ÉLÉMENTS DE BASE

2.1. Décomposition en série de Fourier d’une fonction «carrés symétriques»

En appelantT=1 / fsa période, la fonction peut être définie de la façon suivante :

pour : t ∈ n T n⋅  + T

 

 ⋅





 , 1 

2 avec n entier

on a : u t( )= =V Cte>0

pour : t ∈ n+ T n T

 

 ⋅ + ⋅









1

2 , ( 1)

on a : u t( )=–V

La décomposition en série de Fourier permet de mettre cette fonction impaire sous la forme :

u t V

k kf t

i

( )=  ⋅sin ( ⋅ )

 



=

∑

4π 2π

(1)

avec : i entier etk= ⋅ +2 i 1

(pour justification, voir annexe en fin d’article)

2.2. Comportement d’un filtre électrique soumis à une tension d’entrée périodique

• Lorsque la tension d’entrée est sinusoïdale pure, de périodeT =1/f =2π ω/ , elle peut s’écrire :

u t_e( )=V_e⋅cos (ωt) soit encore, en notation complexe :

u_e=V_e⋅exp (j tω ) et la tension de sortie est de la forme :

u ts( )=Vs⋅cos (ωt+φ) soit encore, en notation complexe :

u_s=V_s⋅exp (j tω )

avec : V_s=V_s⋅exp (jφ)

On définit la fonction de transfert complexe :

H j V

V^s_e ( ω =)

dont le module est le gain : G V V_e^s

( )ω = et dont l’argument estφ .

Cette fonction peut se calculer à partir des caractéristiques du filtre (nature et mode d’association des composants).

• Lorsqu’on applique une tension périodique non sinusoïdale à l’entrée du filtre, en vertu du théorème de superposition, la composante de rang k du développement en série de Fourier se comporte comme si elle était seule et subit un filtrage régi par la fonction de transfert. Par conséquent, si la notation complexe permet d’écrire le terme de rang k de la tension d’entrée :ue k, ( )t =ReVe k, ⋅(jk ⋅t)

 



ω , la tension de sortie filtrée correspondante s’écrit alors :

us k, ( )t =ReVs k, ⋅exp (jk t)

 



ω (2)

avec : V_{s k,} =H jk( ω)⋅V_{e k,}

La tension de sortie observable s’obtient en faisant la somme du nombre infini de tensions sinusoïdales résultant chacune de ce filtrage. C’est donc une expression sem- blable à une nouvelle série de Fourier de période identique à celle de la tension d’en- trée, mais dont le terme prépondérant n’est pas forcément le fondamental (k = 1), comme le montrera la suite et qui peut s’écrire, lorsque sa moyenne est nulle :

u ts u t

k s k

( )= _, ( )

=

∑

(3)

3. PRÉSENTATION DU FILTRE UTILISÉ 3.1. Schéma

Figure 1

3.2. Caractéristiques théoriques

En supposant l’amplificateur opérationnel idéal et non saturé, la fonction de trans- fert complexe du régime sinusoïdal peut s’écrire sous la forme suivante (voir justifica- tion dans l’annexe) :

H j G

j Q

( ) –

–

ω ω

ω ω

ω

=

+ ⋅ ⋅

 



0

0

1 0

(4)

avec : G0 Q G0 0 Q R C f0

0

2

1

=α = = ⋅ ⋅ = 2

ω ω

π (5)

4. MONTAGE EXPÉRIMENTAL

4.1. Choix des valeurs de R, C etα

La valeur de R est prise égale à 10 kWet celle deaégale à 50 (R’ = 500 kW).

La valeur initiale de C est prise égale à 1,500 µF et sera modifiée ultérieurement.

Toutes ces valeurs sont obtenues au moyen de boîtes à quatre décades et contrôlées avec un multimètre-capacimètre numérique sans se fier aux indications portées sur les boîtes (des écarts non négligeables entre les valeurs lues et les valeurs contrôlées ont été observés pour les capacités).

Avec ces choix, le calcul conduit aux valeurs théoriques suivantes : G0=25 Q=5 f0=2 12, Hz T₀=471ms

La fréquence est faible, mais ce choix est motivé par les limitations de la période d’échantillonnage de l’interface E^XPERT, bornée inférieurement aux environs de la mil- liseconde (voir section suivante).

4.2. Schéma modulaire

Figure 2

Le générateur de signaux est le générateur de fonctions H^AMEG, modèle HM 8030-S.

Le suiveur, montage classique à amplificateur opérationnel, est destiné à alimenter le filtre par une source de tension assez proche du cas idéal (résistance interne négligea- ble) pour obtenir un créneau de forme correcte à son entrée. Si cet étage intermédiaire entre le générateur et le filtre est omis, l’impédance de sortie du générateur HAMEGn’est pas assez faible par rapport à l’impédance d’entrée du filtre pour obtenir un créneau acceptable, ce qui nuit à la qualité du travail expérimental et lui fait perdre beaucoup d’intérêt.

L’interface E^XPERTdisposant de quatre entrées analogiques de tension, deux d’en- tre elles sont utilisées pour échantillonner les tensions d’entrée et de sortie du filtre pen- dant une durée D = 510 ms, légèrement supérieure à une période de la tension délivrée par le générateur. Le choix d’une fréquence faible pour la tension d’entrée permet ainsi de disposer d’une période d’échantillonnage située au-dessus du seuil limite et permet- tant de saisir 301 points de mesures pour chaque série de saisies de durée totale D, ce qui donne une définition des courbes largement suffisante pour effectuer une comparai- son fiable entre les prévisions théoriques et les relevés expérimentaux.

4.3. Détermination expérimentale des caractéristiques réelles du filtre

Pour connaître les valeurs expérimentales effectives de G₀, Q et f₀, on applique à l’entrée du filtre une tension sinusoïdale dont on fait varier la fréquence f. A partir de (4), on observe que le gain en tension du filtre est maximum (égal à G₀) lorsque f = f₀. On pourrait donc se baser sur cette propriété pour mesurer f₀et G₀.Toutefois, la recher-

che expérimentale de la valeur f₀qui correspond à un extremum de G(f) étant peu pré- cise, il vaut mieux procéder de la façon suivante.

Toujours à partir de (4), on observe que le seul cas oùH j( ω)est réel se présente pourω ω= 0. Pour cette pulsation, les tensions d’entrée et de sortie sont en opposition de phase. Pour visualiser cette propriété, après avoir fait une saisie du couple de ten- sions {u_e(t), u_s(t)}, on sélectionne dans le menu du logiciel EVENEMENTl’option qui per- met de tracer le graphe de u_sen fonction de u_e(analogue au mode XY d’un oscillo- scope) et l’on recherche la fréquence pour laquelle l’ellipse de Lissajous se réduit à un segment rectiligne. On a alors f = f₀et l’on peut aussi mesurer G₀à partir du graphe. Les figures 3, 4 et 5 montrent ce qui a été obtenu par cette méthode. La figure 5 donne les résultats cherchés :

f0=2 13, Hz G₀=24 9, Q=4 99,

Figure 3

Figure 4

Figure 5

A l’exception de f₀, calculée à partir des saisies de l’interface et différant légère- ment de la valeur affichée par le générateur, ces valeurs sont suffisamment proches des prévisions théoriques, pour qu’il soit permis de conserver les valeurs théoriques de G₀ et Q pour la suite des calculs.

5. ÉTUDE EXPÉRIMENTALE DU FILTRAGE 5.1. Cas oùf₀=f

Sans modifier la fréquence f du signal délivré par le générateur, égale à f₀détermi- née expérimentalement, on remplace la tension d’entrée sinusoïdale par une tension en créneaux et l’on effectue une série de mesures échantillonnées du couple {u_e, u_s}. On obtient les résultats de la figure 6a, qui permettent d’observer que u_s(t) est presque sinu- soïdale et de fréquence f, ce qui indique que le fondamental de la tension de sortie est le terme nettement prépondérant de sa décomposition en série de Fourier, les harmoniques étant peu importants. Pour comparer plus finement à la théorie on calcule quelques ter- mes de la somme (3) :

u ts H jk V jk t

k e k

( )=Re  ( )⋅ _, ⋅exp ( ⋅ )

 





 



=

∑

ω ω

avecω ω= 0et k impair.

Avec, dans le cas présent :

H jk G

j Q k k

( ) –

– ω =

+ ⋅ ⋅  



0

1 1

et le calcul du terme de rang k aboutit à :

u_{s k}, ( )t =V_{s k}, ⋅sin (2πkf t⋅ –ϕ_k)

avec : V G V

k Q k k

s k,

–

–

= ⋅ ⋅

⋅ + ⋅  











4

1 1

0

2

π

et : ϕ_k = Q⋅ k k





 



Arctan – 1

On constate que Vs,1 est l’amplitude largement majoritaire pour deux raisons : – C’est le seul terme pour lequel on a : H G= 0. Pour les autres on a H G< 0(inégalité d’autant plus accentuée que la sélectivité Q est plus importante et que k est plus grand).

– Le terme k figurant au dénominateur deV_{e k}, et se répercutant surV_{s k}, accentue la rapi- dité de la décroissance.

Ces calculs sont faits à l’ordinateur en sélectionnant l’option CALCULdu menu du logi- ciel EVENEMENTavec G₀= 25 ; Q = 5 (valeurs théoriques) et f = 2,13 Hz (valeur mesurée).

En tenant compte d’un léger décalage en sortie, déjà visible au voisinage de l’ori- gine sur la figure 5 et probablement dû à une tension d’offset de l’amplificateur opéra- tionnel du filtre, on construit le graphe de la tension de sortie simulée qu’on obtiendrait si le fondamental de la tension d’entrée était seul à être répercuté en sortie du filtre, les harmoniques étant totalement «écrasés» (courbe en trait plein de la figure 6a). On observe que l’écart avec la courbe expérimentale est visible mais reste faible, ce qui confirme que les harmoniques de u_e(t) subissent une atténuation notable à la traversée du filtre, mais pas assez forte pour qu’aucun d’eux ne subsiste.

Sur la figure 6b, on a tracé la tension de sortie simulée en prenant la décomposition en série de Fourier de u_s(t) jusqu’à l’ordre 3. On peut y observer que l’accord entre la théorie et l’expérience est plus satisfaisant et que, compte tenu d’une certaine disper- sion des saisies expérimentales, probablement inhérente à la résolution du convertis- seur analogique numérique (8 bits), il est superflu d’aller au-delà. On peut effective- ment vérifier sur la figure 6c qu’il n’y a pas beaucoup d’amélioration en allant jusqu’à H5, quoique perceptible lors d’un examen attentif.

Remarques :

• A partir de la figure 6a, le terme de rang k de la tension de sortie simulée, décompo- sée en série de Fourier, est nommé Hk dans les textes accompagnant les figures.

• Il est assez illusoire de penser qu’en ajoutant de plus en plus de termes à la somme calculée, la courbe théorique va effectivement se rapprocher de plus en plus près de la courbe expérimentale, car :

ï Les valeurs saisies par le logiciel de mesure sont numérisées sur 8 bits, ce qui correspond à une définition assez peu précise du graphe des signaux mesurés.

ï Les valeurs numériques d’amplitude et de phase, utilisées pour chaque harmoni- que dans les calculs programmés, comportent un petit nombre de chiffres significa- tifs et la forme du signal reconstitué par sommation est assez sensible à de petites modifications de ces valeurs.

Figure 6a

Figure 6b

Figure 6c

5.2. Cas oùf₀= ⋅2 f

Pour se placer expérimentalement dans ce cas, on conserve la même fréquence que précédemment pour la tension d’entrée en créneaux délivrée par le générateur et l’on divise par deux les valeurs initiales des capacités (nouvelle valeur : C = 0,750 µF).

Les saisies effectuées par l’ordinateur montrent que la tension de sortie a une amplitude beaucoup plus faible que dans le cas précédent et qu’il y a un brusque chan- gement du signe de sa pente à chaque discontinuité de la tension d’entrée.

Pour le calcul théorique des termes de la décomposition en série de Fourier de u_s(t) on doit prendre maintenant :

H jk G

j Q k k

( ) –

– ω =

+ ⋅ ⋅  



0

1 2

2

et le calcul aboutit à : us k, ( )t =Vs k, ⋅sin (2πkf t⋅ –ϕk)

avec : V G V

k Q k

k

s k,

–

–

= ⋅ ⋅

⋅ + ⋅  











4

1 2

2

0

2

π

et : ϕ_k Arc Q k

= ⋅  k





 



tan –

2 2

On observe maintenant que les amplitudes des termes successifs restent faibles et décroissent beaucoup moins rapidement que dans le cas précédent lorsque k augmente.

Si l’on cherche à simuler par le calcul une expression approchée de la tension de sortie en ne gardant qu’un seul terme on aboutit à un échec flagrant, comme le montre la figure 7a dans laquelle on a effectué deux tentatives :

– ne garder le terme de rang 1, – ne garder que le terme de rang 3

En effectuant la somme de ces deux termes on s’approche un peu mieux de la courbe expérimentale, mais ce n’est pas très convaincant (figure 7b). Pour obtenir un accord à peu près satisfaisant entre la théorie et l’expérience (à l’exception des zones proches des points anguleux) il faut effectuer la sommation jusqu’au rang 9 (figure 7c).

Bien que u_s(t) soit continue, il faudrait sans doute aller beaucoup plus loin pour voir se profiler l’ombre de brisures sur le tracé simulé (ne pas oublier non plus la remarque de la section 5.1.).

Figure 7a

Figure 7b

Figure 7c

Tout cela était à prévoir, car ce choix de f₀privilégie le passage à travers le filtre de l’harmonique k = 2 de la tension d’entrée de fréquence f (c’est le seul pour lequel on aurait H G= 0) et il se trouve que cet harmonique est absent dans le spectre de fréquen- ces de la tension d’entrée lorsqu’elle est en créneaux symétriques.

5.3. Cas oùf₀= ⋅3 f

Pour se placer expérimentalement dans ce cas, on conserve la même fréquence que précédemment pour la tension d’entrée en créneaux et l’on divise par trois les valeurs initiales des capacités (nouvelle valeur : C = 0,500 µF).

Les saisies effectuées par l’ordinateur montrent que la tension de sortie a une amplitude plus faible que dans le premier cas mais plus forte que dans le second. Il n’y a plus de brusque changement de signe de sa pente à chaque discontinuité de la tension d’entrée et le graphe expérimental ressemble à une sinusoïde de fréquence 3.f présen- tant des «ondulations».

Pour le calcul théorique des termes de la décomposition en série de Fourier de u_s(t) on doit prendre maintenant :

H jk G

j Q k k

( ) –

– ω =

+ ⋅ ⋅  



0

1 3

3

et le calcul aboutit à : us k, ( )t =Vs k, ⋅sin (2πkf t⋅ –ϕk)

avec : V G V

k Q k

k

s k,

–

–

= ⋅ ⋅

⋅ + ⋅  











4

1 3

3

0

2

π

et : ϕ_k Arc Q k

= ⋅  k





 



tan –

3 3

Si l’on cherche à reconstituer par le calcul une expression approchée de la tension de sortie en ne gardant qu’un seul terme on aboutit encore à un échec, comme le montre la figure 8a dans laquelle on a effectué deux tentatives :

– ne garder le terme de rang 1, – ne garder que le terme de rang 3.

En effectuant la somme de ces deux termes on s’approche nettement mieux de la courbe expérimentale (figure 8b) et on réalise que les «ondulations» en sortie provien- nent du fondamental qui, pour la première fois au cours de cette chronologie d’expé- riences, est un terme moins important que l’harmonique k = 3, mais pas beaucoup moins.

On obtient un accord satisfaisant entre la théorie et l’expérience en effectuant la sommation jusqu’au rang 7 (figure 8c).

En résumé : ce choix de f₀privilégie la traversée du filtre pour l’harmonique k = 3 de u_e(t), effectivement présent dans son spectre et le seul pour lequel on a H G= 0, mais à cause du terme k figurant au dénominateur deVe k, , est se répercutant surVs k, , ce privi- lège ne désavantage pas beaucoup la traversée du filtre par le fondamental de la tension d’entrée, qui continue à contribuer de façon non négligeable à la tension de sortie du fil- tre (surtout lorsque Q n’est pas très grand).

Figure 8a

Figure 8b

Figure 8c

6. AUTRES CAS ET COMMENTAIRES

On peut continuer à modifier les valeurs du rapportβ = f0/ fpar multiples entiers successifs de plus en plus grands et on aboutit encore à des observations similaires aux précédentes, tout à fait en accord avec les prévisions théoriques (β =4sur la figure 9 ; β =5sur la figure 10) :

• Pour les multiples pairs : tension de sortie d’amplitude faible et changement brusque du signe de sa pente à chaque discontinuité de la tension d’entrée. Ceci est dû à l’ab- sence d’harmoniques de rang pair dans le signal d’entrée.

• Pour les multiples impairs : tension de sortie d’amplitude peu importante, avec pré- pondérance de l’harmonique de rang k = βde plus en plus marquée lorsqueβaugmente et absence de brusque changement de signe de la pente.

• Pour obtenir une courbe simulée assez proche de la courbe expérimentale en utilisant [3], il faut faire une sommation portant sur un nombre d’harmoniques de plus en plus élevé.

• On peut aussi remarquer qu’au fur et à mesure queβaugmente, on voit peu à peu se profiler un signal de sortie mesuré qui évoque un tronçon du graphe correspondant à de faibles oscillations amorties de pseudo-fréquence voisine de f₀, dues à l’application d’un échelon de tension (alternativement positif puis négatif) agissant périodiquement à l’entrée du filtre. C’est ce que l’on déclarerait spontanément et sans évoquer la série de Fourier siβétait très élevé, car dans ce cas on verrait nettement le retour asymptoti- que vers une tension de sortie presque nulle un peu avant la discontinuité de u_e. Le mode d’interprétation théorique le plus pertinent serait alors de considérer u_s(t) comme solution de l’équation différentielle déduite de (4) :

d u dt Q

du

dt u G

Q du

dt

s s

s e

2 2

0

0

2 0 0

+ω ⋅ + ⋅ =

ω ω

–

du_e/dtétant une impulsion de Dirac (alternativement positive puis négative) appliquée à l’instant n.T/2. Cette solution est de la forme :

U t

Q t

⋅  ⋅

 

 ⋅ ⋅ +

exp – ω cos ( )

ψ

0

2 Ω

avec : Ω =ω0⋅ 1 1 2

– 2 ( Q)

Figure 9

Figure 10

• Il s’avère donc que la fonction périodique continue définie par :

u t U t

Q t

( )= ⋅exp – ⋅ cos ( )

 

 ⋅ ⋅ +

1

0

2 1

ω Ω ψ

pour : t T

∈   0 

, 2

u t U t

Q t

( )= ⋅exp – ⋅ cos ( )

 

 ⋅ ⋅ +

2

0

2 2

ω Ω ψ

pour : t T

∈  T

 2,

U1,U2,ψ1etψ2étant liés entre eux par les conditions de continuité etω₀⋅T un multiple entier de2π

est un exemple de fonction où le fondamental de sa décomposition en série de Fourier n’est pas le terme de plus grande amplitude lorsque l’ordre de multiplicité est supérieur à 2.

REMERCIEMENTS

Je tiens à remercier mon collègue Gilles RYMLAND pour sa lecture critique du manuscrit et les discussions fructueuses que nous avons eues à propos de ce thème.

Annexe

1. APPLICATION DU THÉORÈME DE FOURIER À LA FONCTION

«CARRÉS SYMÉTRIQUES»

• Un des énoncés du théorème est :

Pour toute fonction périodique réelle u(t), de périodeT =2π ω/ , on a : u t( ) A_p exp (jp t)

–

= ⋅

∞

+ ∞

∑

avec : A_p T u t jp t dt

T T

= ⋅ ⋅ ⋅

+

∫

1

2 2

– / /

( ) exp (– ω ) et p entier

• Dans le cas de la fonction en créneaux définie à la section 2.1., on obtient :

( )

A V

jp p

p= π ⋅ 1 – cos ( π)

Lorsque p est pair (0 inclus) : A_p =0. Lorsque p est impair : A V jp

p= 2 π.

En regroupant le terme de rang p avec le terme de rang – p et en posantk= p, on obtient le terme de rang k de la décomposition de u(t) :

u t V

jk e e V

k k t

k( )= 2 ( jk t – ^– jk t)= 4 ⋅sin ( )

π ^{ω ω} π ω

ce qui est conforme à la relation (1).

2. CALCUL DE LA FONCTION DE TRANSFERT DU FILTRE EN RÉGIME SINUSOÏDAL

• On applique le théorème de Millmann aux nœuds M et N de la figure 1. En prenant pour origine des potentiels celui de la masse, on obtient avec la notation complexe :

V U jRC U

jRC V U j RC V

j RC

M e s

N s M

= +

⋅ + = +

+ =

ω ω

α ω α ω

2 1 1 0

( )

• De la seconde égalité on tire :V U j RC

M =– α ωs que l’on reporte dans la première.

On obtient alors, après regroupement des termes et en posant X =RCω : (αX²– 2–2 jX U)⋅ _s= j XUα _e

d’où : H jX U

U j X

X

s e

( ) – /

–

= =

+ ⋅  

 α α

2

1 2

1

Si l’on pose :G0=α2

etQ= G₀, on arrive à /H jX G j Q QX QX

( ) –

–

=

+ ⋅ ⋅

 



0

1 1 .

Pour retrouver l’expression (4), il suffit de remarquer queQ X Q RC⋅ = ⋅ ω est bien identique àω ω/ ₀.