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Une approche expérimentale de la dynamique non linéaire

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Academic year: 2021

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UNIVERSITÉLIBRE DEBRUXELLES

Faculté des Sciences appliquées Service d’optique et d’acoustique

Instabilité, solitons et solhiatons

Une approche expérimentale de la dynamique non linéaire

en fibres optiques

Promoteur de thèse : Marc Haelterman

Année académique –

Dissertation originale

présentée par Gaetan Van Simaeys

en vue de l’obtention du grade

de doeur en Sciences appliquées

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À Daddy, qui m’y voyait déjà

À Mummy, qui n’en a jamais douté

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Remerciements

Merci à Philippe et Marc de m’avoir soutenu et guidé, chacun à sa façon, pendant ces quatre larges années de thèse.

Merci à Marc pour avoir partagé sa prodigieuse intuition physique et son enthousiasme devant les courbes les plus obscures.

Merci à Marc de m’inciter à me dépasser pour tenter de me hisser à son niveau d’exigence.

Merci à Philippe pour m’avoir fait profiter de sa rigueur onueuse, de ses conseils nuancés et de son intransigeante honnêteté. C’est assurément grâce à son sens de l’écoute et à sa diplomatie qu’on parvient à se sentir comme che SOA au travail.

Merci à Philippe de m’avoir laissé dépenser sans (trop) compter.

Merci à Stéphane d’avoir intercédé pour moi auprès des chefs et de m’avoir ainsi permis de rejoindre la petite bande d’UFOlogues, autrefois recluse dans les cachots du bâtiment U.

Merci à Stéphane d’avoir si souvent entrouvert à mon attention sa boîte à malice. Merci pour sa disponibilité sans faille.

Merci à Stéphane pour sa releure attentive et patiente, pour son œil acéré et matois et son calami- teux coup de raquette.

Merci à Frédérique de s’être plongée dans les chiffres romans et dans le fragaçant roman de mes chiffres.

Merci à Stéphane et Frédérique pour la très belle mise en page de cette thèse.

Merci à Stéphane et Frédérique pour les supeeeeeerbes figures du second chapitre.

Merci à Frédérique et Stéphane pour leur bonne humeur communicative et leur entrain — si, si ! Merci à Frédérique et Stéphane pour les encouragements incessants.

Merci à Frédérique et Stéphane pour la chaleur de leur indéfeible amitié.

Merci à Stéphane, dit Pits, de m’avoir éclairé sur le sujet ardu des solhiatons. Merci de m’avoir refilé le bébé, tiens !

Merci à Simon-Pierre de m’avoir fait douter. C’est le début du bon-sens, paraît-il.

Merci à oncle Gérard pour son goût de la formule et sa recherche de citations.

Merci par ailleurs aux chercheurs de l’ARC, S. Massart, E. Brainis et N. Cerf de m’avoir accordé la permission de faire usage de leur dit “pattern generator”, qui m’a longtemps semblé indispensable.

Merci d’avance aux membres éminents de mon jury pour leurs critiques avisées et la mansuétude de

leur appréciation.

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ii

Merci à mes anciens camarades de jeu, Nadège, Pascal, Thibaut et Antonio, d’avoir su m’ensei- gner et me distraire.

Merci à Nadège pour ses attentions et ses gâteaux, ses grandes ripailles et ses sites mitonnés aux petits oignons.

Merci à Pascal pour ses innombrables explications rigoureuses, détaillées, où jamais l’approximation n’a trouvé de place. Grâce à lui, je commence à saisir la subtile nuance entre entre vétille et détail, chicane et reitude.

Merci à Thibaut pour sa franc-comtoise camaraderie.

Merci à Antonio de m’avoir fait partager ses deux passions. Je n’oublierai pas les astuces de l’une et la méthode pragmatique qu’il a développée pour l’autre.

Merci à Ingrid d’avoir patienté si souvent et supporté si longtemps. Ça doit être l’amour, sans doute.

Merci à Mummy de m’avoir si bien nourri et d’avoir veillé si attentivement à la bonne santé de son petit. À Isabelle et Alain aussi, de m’inviter au resto pour fêter ça. Merci à Mathilde et Théo de me rappeler que finalement, ce n’est pas si important.

Et merci à tous ceux que j’oublie d’oublier que je les ai oubliés.

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Table des matières

Introduction

Observation expérimentale de la récurrence de l’instabilité modulationnelle

 La récurrence de Fermi-Pasta-Ulam, ou l’histoire d’un paradoxe . . . . 

. La récurrence de Fermi-Pasta-Ulam . . . . 

. Récurrence fpu et solitons . . . . 

. L’interprétation auelle de la récurrence fpu . . . . 

 .  Les observations expérimentales de la récurrence fpu . . . . 

. Conclusions . . . . 

 Le concept d’instabilité modulationnelle . . . . 

. Définition de l’instabilité modulationnelle . . . . 

. Stabilité et instabilité des ondes d’enveloppe continue . . . . 

. L’évolution à long terme de l’ im . . . . 

 Les modèles de l’instabilité modulationnelle . . . . 

. L’approche perturbative . . . . 

. Le modèle à  modes . . . . 

. Solution périodique exae de l’équation nls dans le problème de l’im . . . . 

. Etude numérique de la récurrence de l’im . . . . 

 La génération d’impulsions plateaux, deus ex machina de notre expérience . . . . 

. Impulsions et instabilité modulationnelle . . . . 

 .  Le miroir non linéaire en boucle fibrée, source d’impulsions re angulaires . . . . 

 L’observation expérimentale de la récurrence fpu de l’im . . . . 

. Le dispositif expérimental . . . . 

. Les résultats expérimentaux . . . . 

 Conclusion . . . . 

Bibliographie . . . . 

Étude des parois de domaines de polarisation 

 La transmission de données par parois de domaines optiques . . . . 

. Télécommunications par fibres optiques et solitons . . . . 

. Le schéma de transmission par parois de domaines . . . . 

 Propagation non linéaire dans les fibres optiques . . . . 

. Équations de propagation . . . . 

. Réponses linéaire et non linéaire du milieu . . . . 

. Les symétries des tenseurs de susceptibilité . . . . 

. Les équations d’enveloppe . . . . 

 Polarisation et biréfringences dans les fibres optiques . . . . 

. État de polarisation d’une onde plane . . . . 

. Définition de l’état de polarisation dans les fibres optiques . . . . 

. Définition des modes propres dans les fibres réelles . . . . 

. Origine et caraéristiques des effets de biréfringence dans les fibres optiques . . . 

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vi TABLE DES MATIÈRES

. Fibres hélicoïdales et parois de domaines . . . . 

 Évolution de la polarisation dans les fibres optiques . . . . 

. Paramètres de Stokes et sphère de Poincaré . . . . 

. Les effets de biréfringence dans le formalisme de Stokes . . . . 

. La représentation de la biréfringence et de l’aivité optique sur la sphère de Poincaré . . . . 

. Les modes normaux dans les fibres torses et hélicoïdales . . . . 

 Description analytique des parois de domaines de polarisation . . . . 

. Recherche du potentiel . . . . 

. Calcul des trajeoires associées aux parois de domaines de polarisation . . . . 

. Recherche numérique des trajeoires . . . . 

 Étude numérique des parois de domaines . . . . 

. Les équations du modèle numérique . . . . 

. Procédure numérique et paramètres de la simulation . . . . 

. Évolution des parois de domaines dans les fibres hélicoïdales . . . . 

 Proposition d’expérience pour l’observation du soliton en paroi de domaines . . . . . 

 Conclusion . . . . 

Bibliographie . . . . 

Observation expérimentale du solhiaton 

 Milieux et struures périodiques : les enjeux d’une révolution photonique . . . . 

 Propagation dans les réseaux de Bragg fibrés . . . . 

. Propriétés linéaires des réseaux de Bragg fibrés . . . . 

. Effets non linéaires et solhiatons . . . . 

 La propagation non linéaire dans un réseau dynamique . . . . 

. Réseaux dynamiques en fibre optique . . . . 

. Modélisation de la propagation non linéaire dans un réseau dynamique . . . . . 

. Propagation non linéaire à la résonance . . . . 

 Conception de l’expérience . . . . 

. Exigences et limitations dans le choix des paramètres . . . . 

. Détermination de la configuration expérimentale . . . . 

 Simulations numériques . . . . 

. Motivation et procédure de l’étude numérique . . . . 

. Propagation des impulsions solhiatons dans le réseau de Bragg dynamique . . . . 

 .  Réalisation imparfaite des conditions de résonance de Bragg . . . . 

. Simulation de la situation expérimentale . . . . 

 Expérience . . . . 

. Description du montage . . . . 

. Résultats expérimentaux . . . . 

 Conclusion et perspeives . . . . 

Bibliographie . . . . 

Conclusion 

A Le problème

FPU

et l’approximation continue 

Bibliographie . . . . 

B La méthode des tirs appliquée à la recherche des parois de domaines de polarisation 

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C’est surtout ce qu’on ne comprend pas qu’on explique.

L’Ensorcelée, Barbey d’Aurevilly (–)

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Introduction

la tombée du soir, le soleil semble plonger dans l’océan qu’il colore de miel et d’ocre. Le tableau est éculé mais il met en lumière les relations intimes qui lient la lumière et l’eau.

Dans le langage commun, dans l’imagination des poètes et dans les fantasmes des physiciens, qui le sont aussi un peu parfois. Mais quel élément a le plus inspiré l’autre, entre les miroitements du lac et les flots de lumière ? L’onde désigne aussi bien la vague qui s’échoue sur la plage que la vibration du champ élerique qui la réchauffe en été.

Les théories modernes puisent abondamment dans cette analogie. Au-delà du jargon qu’elles utilisent, elles s’inspirent l’une de l’autre, l’optique non linéaire empruntant nombre de concepts à l’hydrodynamique. L’un des exemples les plus illustres est assurément la poursuite par Scott-Russell d’une vague produite dans le sillage d’un bateau il y a plus d’un siècle et demi. Cette vague se propa- geait dans le canal Édimbourg–Glasgow sans se déformer. Il s’agissait de la première observation du soliton — impulsion non linéaire permanente — qui allait jouer un rôle central dans le développe- ment des sciences non linéaires plus de cent ans plus tard.

Bien après le compte-rendu de Scott-Russell, les observations se sont poursuivies, d’abord en hydrodynamique pour des raisons pratiques et historiques, puis en optique non linéaire une fois que le laser eut apporté un véritable vent de révolution dans cette matière. Entre-temps, l’ordinateur aussi avait fait son entrée dans la panoplie du physicien. Il permettait de réaliser des expériences numériques sans se soucier des contraintes matérielles. Les sciences non linéaires connurent alors une fabuleuse efflorescence, multipliant les succès et apportant un flot continuel de découvertes.

Plus tard, ces recherches fondamentales allaient mener à des applications qui marquent désor- mais d’une empreinte indélébile notre mode de vie auel. Et c’est sans doute les technologies des télécommunications par fibre optique qui constituent la vitrine la plus éclatante de la réussite des sciences non linéaires.

Notre travail de thèse traverse les différents thèmes abordés dans cette histoire abrégée. Par une approche expérimentale, nous avons tenté de retrouver, dans les fibres optiques, des phénomènes non linéaires novateurs ou plus anciens, du plus fondamental au plus prometteur du point de vue des applications. Nous avons toujours eu le même souci de préciser le contexte de nos recherches et de l’inscrire dans une perspe ive plus large, afin de mettre en valeur tous les enjeux de notre travail de thèse.

Le présent manuscrit est organisé comme suit.

Le premier chapitre est consacré à l’un des problèmes fondateurs des sciences non linéaires : la dynamique de récurrence dite “de Fermi-Paa-Ulam”. Après en avoir introduit les concepts géné- raux, nous montrerons dans quelle mesure ils s’appliquent dans le contexte de la propagation d’ondes soumises à l’instabilité modulationnelle. Nous retracerons l’évolution des conceptions du problème en soulignant l’effort colleif de chercheurs issus de disciplines différentes. Nous discuterons en- suite les résultats de nos observations qui apportent la première démonstration expérimentale de ce phénomène dans les fibres optiques.

Dans le second chapitre, nous évoquerons les propriétés de polarisation du champ éleroma-

gnétique, qui témoignent de sa nature veorielle. Les équations qui en décrivent l’évolution seront

présentées, ainsi que les hypothèses et simplifications sur lesquelles repose leur dérivation. Nous ver-

rons que la théorie prévoit notamment la propagation sans déformation d’un certain type d’ondes

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Introduction

solitaires, appelé “paroi de domaines de polarisation”. L’étude numérique que nous avons menée a permis de déterminer les conditions dans lesquelles ces parois peuvent se propager et résister aux perturbations extérieures, inévitables en pratique dans des fibres optiques réelles. Sur base de ces résultats, nous proposerons une ébauche d’expérience qui devrait conduire à son observation.

Le sujet du troisième et dernier chapitre est la propagation non linéaire dans les milieux pé-

riodiques, et en particulier dans les réseaux de Bragg fibrés. Nous verrons qu’à l’instar des semi-

condueurs utilisés en éleronique, ces milieux sont caraérisés par l’ouverture d’une bande inter-

dite dans la relation de dispersion qui les caraérise. Cette bande interdite est à l’origine de leurs

propriétés de propagation particulières, très différentes de celles des milieux uniformes. La théorie

prévoit par exemple qu’une impulsion peut être complètement piégée au sein du réseau de Bragg par

effet Kerr. Pour observer ce phénomène, nous avons conçu un dispositif dans lequel le réseau n’est

pas figé dès sa fabrication, mais se déplace le long de la fibre. Il est en fait induit dans la fibre par le

battement de deux ondes de forte intensité. Nous comparerons les propriétés de ce réseau dynamique

avec celles des réseaux de Bragg usuels, et nous développerons un modèle théorique qui y décrit la

propagation des ondes. Après une étude numérique approfondie, nous présenterons et détaillerons la

configuration expérimentale mise en place pour observer le confinement non linéaire d’impulsions

dans ces réseaux. Enfin, nous discuterons les résultats de nos observations qui apportent, comme

nous le verrons, la première confirmation expérimentale du processus de confinement de l’énergie

dû à l’existence d’une bande interdite dans un matériau périodique non linéaire.

(15)
(16)

Penser, c’est inventer sans croire.

Propos sur la religion, Alain

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Observation expérimentale

de la récurrence de l’instabilité

modulationnelle 1

albutiante encore il y a à peine un demi-siècle, la physique des phénomènes non linéaires occupe désormais le devant de la scène. L’un de ses problèmes précurseurs, la récurrence dite de Fermi-Pasta-Ulam, fut posé par Fermi peu après la seconde guerre mondiale ; il laisse aujourd’hui encore certaines questions ouvertes. Ce chapitre est consacré à l’étude de ce phénomène tel qu’il survient dans la propagation de lumière dans les fibres optiques. Nous commençons par définir le problème original placé dans son contexte, puis nous retraçons l’important effort mené sur plusieurs fronts pour le résoudre. Nous indiquerons comment le phénomène d’instabilité modulationnelle se trouve intimement lié à la notion de récurrence de Fermi-Pasta-Ulam. Nous voyons ensuite les modèles théoriques qui décrivent cette instabilité dans les fibres optiques. Enfin, nous détaillons le principe et les résultats de l’expérience qui nous a permis de démontrer l’existence de la récurrence des ondes optiques soumises à l’instabilité modulationnelle.

La récurrence de Fermi-Pasta-Ulam, ou l’histoire d’un paradoxe

Dans cette seion, nous allons voir quelles furent les circonstances de la découverte de la ré- currence de Fermi-Pasta-Ulam (fpu), quelles en furent les conséquences, et pourquoi elle suscite aujourd’hui encore tant d’efforts de la part des chercheurs.

. La récurrence de Fermi-Pasta-Ulam

Maniac. Prononcé au crépuscule, ce terme présage d’événements funestes. Pourtant au début des années , il était annonciateur d’une aube nouvelle pour la science, et pour la physique en particulier. Il fallait un physicien d’exception, Enrico Fermi, véritable visionnaire, pour en percevoir les premières lueurs. Maniac était l’un des tout premiers supercalculateurs — on oserait à peine le qualifier d’ordinateur aujourd’hui — dont était équipé le laboratoire de Los Alamos (USA) quelques années après la seconde guerre mondiale. Fermi, qui avait pressenti l’importance des phénomènes non linéaires dans les futures théories fondamentales de la physique, comprit le parti qu’il pourrait tirer de cette machine. Par le biais d’ “expériences” numériques, il espérait dégager les propriétés des solutions à certains problèmes qui ne connaissait pas alors de solutions analytiques, ou du moins établir les hypothèses qui prévalent dans leur étude [].

À l’été , il décida donc avec ses collaborateurs J. Pasta et S. Ulam d’entamer l’étude du com- portement à long terme d’un système non linéaire des plus simple. En l’occurrence, le système discret considéré était une chaîne aux extrémités fixes, constituée de  particules ponuelles de masse identique reliées à leurs voisines immédiates par des ressorts linéaires et faiblement non linéaires.

En mais’est encore tenue une conférence à New York sur les derniers développements relatifs au modèlefpu dans les études sur la conduion thermique.

(18)

Observation expérimentale de la récurrence de l’instabilité modulationnelle

Fig. . – À gauche, l’ordinateur maniac-i du laboratoire de Los Alamos. Au centre, Enrico Fermi (–) ; à droite, Stanislaw Ulam (–).

Ils s’attendaient à ce que le couplage non linéaire introduit entre oscillateurs voisins, qui permet un transfert d’énergie entre les modes de vibration successifs, entraînât une équipartition de l’énergie sur un large spere. Autrement dit, le système “se thermaliserait” après un certain temps.

Les simulations furent réalisées durant l’été  par une jeune physicienne, Mary Tsingou, dont la postérité s’empressa d’oublier la contribution []. Contre toute attente, ils observèrent que lorsque seul le mode de vibration fondamental était initialement excité, l’énergie s’échangeait apparemment de manière (quasi-)périodique entre un petit nombre de modes de basse fréquence. Toute l’énergie ou presque retournait donc dans le mode fondamental initialement excité après un certain temps (voir figure .). C’est ce phénomène d’évolution caraérisée par un retour périodique vers l’état initial que l’on désigne par les termes de “récurrence de Fermi-Paa-Ulam” (fpu). Cette “petite découverte”, comme Fermi la qualifia alors [], allait conduire au développement des théories modernes en sciences non linéaires.

. Récurrence

FPU

et solitons

Les résultats obtenus furent compilés dans un rapport en  [], mais Fermi venait de mourir.

Sans la caution scientifique de Fermi, Pasta et Ulam hésitèrent à le publier sous une forme définitive.

Finalement, seul le rapport préliminaire circula, essentiellement dans la communauté de mécanique statistique, où les résultats, la méthode et le modèle utilisés furent souvent remis en question, sinon traités avec défiance [].

Hormis dans quelques rapports à la di ff usion asse confidentielle, l’étude de la récurrence fpu dans les systèmes non linéaires ne revint à l’avant-scène scientifique que près de  ans plus tard, en

. Zabusky et Kruskal étudiaient alors numériquement les solutions périodiques de l’équation de Korteweg-de Vries (kdv) []. Cette équation forme avec l’équation de Schrödinger non linéaire la base des théories modernes des ondes dispersives et non linéaires dans les milieux continus non dis- sipatifs []. À cet égard, elles constituent une extension aux milieux continus des équations étudiées par Fermi dans les systèmes discrets [, –] (cette affirmation est explicitée en annexe A.)

De manière générale, cette équation se présente sous la forme

∂u

∂t + αu ∂u

∂x +

3

u

∂x

3

= 0, avec α = constante. (.)

La coordonnée d’évolution est désignée ici par t , le second terme synthétise un effet non linéaire et

le dernier terme représente un effet dispersif en une certaine coordonnée spatiale x.

(19)

La récurrence de Fermi-Pasta-Ulam, ou l’histoire d’un paradoxe

Fig. . – Distribution d’énergie dans les modes (impairs) successifs au cours du temps dans une chaîne unidimensionnelle de  oscillateurs non linéaires couplés, couplés par une non-linéarité cu- bique, avec α =  (voir sa définition en annexe A). Ce résultat, obtenu par Fermi, Pasta, Ulam et Tsingou [], illustre le comportement de récurrence fpu.

L’équation kdv décrit en autres la propagation des ondes de surface en eau peu profonde [  ],

d’ondes éleromagnétiques dans les lignes de transmission élerique [, ], et la dynamique de di-

vers types d’ondes de charges d’espace dans les plasmas [, –]. Zabusky et Kruskal observèrent

dans leurs simulations (figure .) qu’une onde initialement cosinusoïdale évoluait en un train d’im-

pulsions qui, prises isolément, conservent leur forme au cours du temps. On connaissait l’existence de

telles “ondes solitaires” depuis la célèbre observation par John Scott-Russell d’une vague qui se pro-

pageait sans déformation le long du canal Édimbourg–Glasgow () [], événement qui n’avait

pourtant pas suscité d’émoi particulier à l’époque. Zabusky et Kruskal identifièrent, en plus de leur

caraère “solitaire”, leur remarquable propriété de stabilité struurelle : ces ondes non linéaires lo-

calisées peuvent entrer en collision entre elles et y survivre sans que leur forme soit modifiée. C’est

pourquoi ils introduisirent le nouveau concept de “soliton” pour désigner ces impulsions, terme qui

évoque plutôt des particules que des ondes. Une fois formé ce train de solitons d’amplitudes va-

riables, ils observèrent que celui-ci reconstituait approximativement la condition initiale. Ils recon-

nurent dans cette dynamique la récurrence fpu et y apportèrent une explication phénoménologique

en termes d’interaions entre solitons : L’onde initiale se module progressivement en un train pé-

riodique de solitons, qui possèdent des vitesses différentes en proportion de leurs amplitudes. Ces

différences de vitesse conduisent à leur désalignement au sein du train, ce qui correspond à un trans-

fert d’énergie vers plusieurs autres composantes sperales. Par ailleurs, comme les conditions aux

limites sont périodiques, si un soliton quitte une période de modulation d’un côté, un autre y entre

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Observation expérimentale de la récurrence de l’instabilité modulationnelle

par l’autre côté. En raison de la stabilité intrinsèque des solitons, le seul effet dû à leurs interaions est une série de déphasages, de sorte qu’ils retrouvent leur alignement d’origine et reforme l’onde initiale cosinusoïdale.

distance normalisée

Fig. . – La récurrence fpu observée dans les simulations numériques de l’équation kdv à partir d’une condition initiale cosinusoïdale. La condition initiale est en pointillé, et le train de solitons intermédiaires ( sont ici dénombrés) en trait continu. D’après Zabusky et Kruskal [].

Dès les premières études des systèmes continus non linéaires, la récurrence fpu a été associée aux modèles intégrables — c.-à-d. qui possèdent des solutions solitons []. On s’attendait donc à la trouver dans l’autre modèle majeur de la physique décrivant la propagation d’ondes dans des milieux dispersifs et non linéaires, l’équation non linéaire de Schrödinger [, , ] (nls). Cette équation est omniprésente en physique non linéaire où elle régit la propagation d’enveloppes d’ondes d’amplitude complexe — et non l’évolution de l’amplitude réelle de l’onde comme c’est le cas pour l’équation kdv.

L’équation nls a été établie dans des contextes très variés. Ainsi, elle décrit notamment la circu- lation d’ondes sur des vortex [, ], la propagation des enveloppes du champ élerique en optique non linéaire [, ] — et tout particulièrement dans les fibres optiques [] —, la propagation d’ondes éleroniques [, ] et ioniques [] dans les plasmas, le comportement macroscopiques des condensats de Bose-Einstein atomiques peu denses [, ], ou encore l’hydrodynamique des vagues en eau profonde [–]. C’est précisément en étudiant la dynamique non linéaire de ces vagues que Yuen et Lake mirent en évidence la récurrence fpu, dans un milieu dispersif où la propa- gation est décrite par l’équation nls et non par l’équation kdv. Comme pour l’équation kdv, il est possible de montrer [] que l’équation nls est liée au système discret fpu (une chaîne d’oscillateurs anharmoniques, étudiée à l’origine par Fermi, Pasta et Ulam) lorsque ce système comporte non pas un nombre fini limité ( dans le problème fpu original) mais une infinité d’oscillateurs.

Avant de détailler plus avant les résultats des nombreux auteurs qui ont consacré leurs recherches à bâtir l’édifice de compréhension du phénomène de récurrence fpu, il est important de préciser le vocabulaire utilisé. Bien que l’équation nls permette de modéliser la propagation dans toutes les si- tuations physiques que nous venons de mentionner, les phénomènes observés et les types d’ondes im- pliquées sont bien souvent désignés de manière différente. Ainsi, si les concepts étudiés sont a priori transposables d’un domaine à l’autre, ils n’y sont pas toujours désignés pareillement. Par exemple, les

“trains d’ondes continus”, selon la terminologie de l’hydrodynamique, sont équivalentes aux ondes

(d’enveloppes) continues considérées en optique non linéaire des fibres. L’équation nls décrit en

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La récurrence de Fermi-Pasta-Ulam, ou l’histoire d’un paradoxe

effet la propagation d’enveloppes d’ondes, mais les “porteuses” associées à ces enveloppes ne sont pas, en général, explicitement mentionnées en optique. Afin de conserver une perspeive globale à notre propos, nous veillerons à conserver tout au long de ce chapitre la terminologie propre à chacun des contextes physiques évoqués. C’est pourquoi nous emploierons le terme de trains d’ondes conti- nus pour relater les recherches en hydrodynamique, et d’ondes continues en optique, bien que leurs dynamiques soient qualitativement identiques.

Dans le contexte de l’équation nls, ce sont Yuen et Lake qui produisirent les résultats les plus pertinents pour élucider le phénomène de récurrence fpu observé la dynamique des vagues qui se propagent en eau profonde. D’abord, ils étudièrent la propagation d’impulsions [], puis celle de trains d’ondes continus []. Dans les deux cas, impulsions et trains d’ondes continus, ils obser- vèrent que l’enveloppe de l’onde se brisait pour évoluer vers un train d’impulsions de type “solitons”.

Ce comportement témoignait de l’inabilité dite de modulation, ou modulationnelle, (im) des ondes continues en eau profonde, qui tendent à se moduler spontanément lorsqu’elles sont soumises à cer- taines perturbations de leur enveloppe. Ce processus d’instabilité avait alors déjà été identifié par Benjamin et Feir, dont les travaux furent publiés en  [, ]. Pour la première fois cependant, Yuen et Lake investiguèrent numériquement et expérimentalement l’évolution à long terme de l’im, décrite par l’équation nls. Ils montrèrent qu’une onde continue initialement modulée par un seul mode (une cosinusoïde pure) évoluait spontanément en un train de solitons, mais qu’ensuite, le sys- tème retrouvait progressivement son état initial. La perturbation correspondante croît donc d’abord exponentiellement, tandis que l’énergie initialement confinée dans le mode fondamental (c.-à-d. à la fréquence de la porteuse d’enveloppe continue) est progressivement transférée vers le mode de la per- turbation et quelques-unes de ses premières harmoniques. Puis, la perturbation atteint un maximum et diminue, alors que toute l’énergie (ou quasiment) retourne vers la composante sperale corres- pondant à l’enveloppe continue, qui était le mode initialement excité. Ce processus de croissance puis décroissance se poursuit ensuite de manière (quasi) périodique. Cette évolution caraérisée par un retour périodique à l’état initial non modulé est précisément la récurrence fpu d’une onde conti- nue soumise à l’instabilité de modulation. Elle est représentée dans le domaine temporel et dans le domaine speral à la figure ..

À la seion ., nous préciserons les conditions de survenance de l’instabilité de modulation dans le cadre de l’équation nls pour la propagation non linéaire dans les fibres optiques, et détaillerons les différents modèles qui en décrivent l’évolution. Pour l’instant, nous nous contenterons de présenter l’explication apportée à cette récurrence par Yuen et Lake [, , ]. Contrairement aux solitons de l’équation kdv, les solitons de l’équation nls ont tous la même vitesse. Toutefois, les dépha- sages produits par leurs interaions se traduisent en déplacements relatifs. En définitive, ces auteurs attribuent la récurrence fpu de l’instabilité modulationnelle à la dynamique d’un ensemble de soli- tons, analogue à celle précédemment décrite pour l’équation kdv. Ils trouvèrent leur interprétation confortée par le fait que les simulations numériques de l’instabilité de modulation démontrait que la récurrence fpu était une solution à l’équation nls avec des conditions aux limites périodiques [, ].

Avant d’exposer l’interprétation qui prévaut auellement pour expliquer la récurrence fpu, il faut souligner que les équations des modèles continus ne restituent que qualitativement la dyna- mique de récurrence originale de la chaîne d’oscillateurs ponuels étudiée par Fermi et ses collabo- rateurs []. Certes, la condition initiale est périodique dans ces modèles, essentiellement pour des raisons numériques, alors que les extrémités de la chaîne d’oscillateurs considérée par Fermi étaient supposées fixes ; cette distinion n’affee cependant pas le résultat, qui reste parfaitement valable [].

Plus important, comme nous le montrons dans l’annexe A, les modèles continus ne constituent que

des approximations au modèle fpu discret. Nous avons choisi de focaliser notre présentation sur les

systèmes continus car ils nous concernent plus direement. Notons cependant que le système fpu

(22)

 Observation expérimentale de la récurrence de l’instabilité modulationnelle

-2

-1 0

1

2

0 0,5

1 1,5

2 0 0,25 0,5 0,75

1

temps t distance

z

|E|

2

(a)

-3 -2 -1 0 1 2 3

0 0,5

1 1,5

0 0,25 0,5 0,75

1

pulsation Ω distance

z

| E| ˜

2

(b)

Fig. . – La récurrence fpu apparaît dans la propagation d’une onde continue soumise à l’insta- bilité modulationnelle, décrite par l’équation nls. Les simulations de cette équations ont été réali- sées ici avec nos paramètres expérimentaux, bien que nous ne nous attachions pour l’instant qu’à leurs résultats qualitatifs. (a) Dans le domaine temporel, on observe que l’onde continue initiale est progressivement modulée pour former un train d’impulsions du type “soliton”. Ensuite, l’onde se démodule, et l’onde continue se reforme. Ce processus se répète périodiquement dans le temps : c’est la récurrence fpu. (b) Dans le domaine speral, on observe que l’énergie initialement contenue dans la composante continue est progressivement transférée vers les bandes sperales latérales alors que l’onde se propage. L’énergie retourne finalement vers la composante continue tandis que l’onde continue est recouvrée.

original suscite bien des interrogations encore aujourd’hui. Ainsi la conduivité thermique dans

les réseaux unidimensionnels, souvent décrite par le modèle fpu avec une non-linéarité cubique,

n’est toujours pas complètement comprise [, –]. La récurrence observée dans ces réseaux in-

(23)

La récurrence de Fermi-Pasta-Ulam, ou l’histoire d’un paradoxe 

terdit ou, du moins, ralentit fortement l’équipartition de l’énergie, et remet en cause les concepts fondamentaux de thermalisation, d’équilibre thermique et de transport de chaleur (ou d’énergie).

Ainsi, à partir de l’hamiltonien de ces systèmes fpu, on peut déterminer une solution d’évolution (récurrente) vers un équilibre thermodynamique qui contredit la loi de Fourier pour le transport de chaleur. L’existence d’une telle conduion “anormale”, où la thermalisation n’apparaît qu’après de nombreux cycles de récurrence, demeure à ce jour imparfaitement comprise. Près de  ans après sa découverte, la récurrence fpu en ce domaine constitue toujours un paradoxe.

. L’interprétation actuelle de la récurrence

FPU

Si la récurrence fpu dans les systèmes continus peut s’interpréter en termes de dynamique d’un ensemble de solitons [, , , , ], une explication plus générale et plus fondamentale en a été donnée par Thyagaraja dans un article remarquable []. Dans ce travail, l’auteur s’intéresse tout particulièrement aux solutions périodiques dans les systèmes continus, dispersifs et non linéaires où la propagation des ondes est décrite par les équations de Korteweg-de Vries (modifiée) ou de Schrödinger non linéaire. Si ces systèmes régis par des équations aux dérivées partielles comportent a priori un nombre infini de degrés de liberté, Thyagaraja a montré que seuls un nombre fini et limité de modes participent effeivement à la dynamique. Le nombre de modes qui interagissent est déterminé par la condition initiale. Un résultat général de dynamique permet alors de conclure que l’évolution correspondante est récurrente []. Récurrence, che cet auteur, s’entend au sens le plus large. Elle implique qu’à plusieurs reprises, la condition initiale est reproduite approximativement au cours de la propagation. En toute généralité, l’évolution est simplement ergodique []. Dans le cas de la récurrence fpu, elle est (quasi) périodique : les modes impliqués aivement dans la dynamique s’échangent de l’énergie périodiquement au cours du temps.

Sans aboutir à cette observation décisive que seuls un nombre fini de modes participent effei- vement à la dynamique, Fermi reconnaît déjà dans le rapport de  l’analogie entre la dynamique récurrente de son système et celle de “certains problèmes de mécanique dans les systèmes avec un petit nombre de degrés de liberté” []. Pour tenter de justifier cette propriété, il va même jusqu’à conjeurer l’existence éventuelle d’un théorème indiquant que seuls un nombre fini de modes sont impliqués dans la dynamique ! En fonion de la condition initiale, le nombre et la composition de cet ensemble de modes peut cependant varier, et ne se limite pas aux seuls modes d’ordre le plus bas. Il y avait dans la suggestion de Fermi le germe d’une explication que Thyagaraja a su porter à maturité.

Sur base de ces considérations sur le nombre de degrés de liberté du système, il est possible de donner une nouvelle interprétation à la récurrence fpu [, , , ]. La non-linéarité rend in- stables les modes les plus proches du mode initialement excité, la dispersion du milieu contribue à transmettre l’instabilité de proche en proche le long de l’onde, et l’énergie est ainsi progressivement transférée dans ces modes d’ordre supérieur. Mais le processus en cascade ne se poursuit pas indéfini- ment. À partir d’un certain ordre, l’énergie contenue dans un mode reste faible à tout moment, et le nombre de modes aifs se stabilise. Comme l’énergie est globalement conservée, elle est perpétuelle- ment redistribuée entre un nombre fini et limité de modes et l’évolution d’ensemble est récurrente.

Une autre façon d’exprimer cette même idée consiste à reconnaître que les modes d’ordre supérieur sont asservis aux modes d’ordre inférieur, proches du fondamental [, , ]. Le nombre de modes aifs est limité et l’évolution est récurrente, selon le raisonnement tenu par Thyagaraja [], puisque le nombre de degrés de liberté effeif est fini.

Cette explication se comprend bien dans le cas de la récurrence fpu de l’instabilité modula-

tionnelle d’une onde continue. Dans ce cas, le phénomène de récurrence résulte du fait que les

composantes sperales, ou harmoniques, linéairement instables suivent une évolution périodique.

(24)

 Observation expérimentale de la récurrence de l’instabilité modulationnelle

Lorsque la période est identique pour tous les modes de Fourier du système, la condition initiale est reproduite complètement selon un cycle à cette période. Il n’est cependant pas immédiat que tous les modes satisfassent cette condition ; aussi allons-nous la justifier rapidement. Nous verrons à la seion . que la bande de gain de cette instabilité est limitée par une certaine fréquence de coupure

c

: la région sperale instable s’étale donc de  à

c

. L’instabilité est maximale pour les perturbations dont le décalage en fréquence par rapport à l’onde continue vaut

c

/

 . La per- turbation la plus instable est aussi celle dont le rôle est le plus important lorsque l’on étudie la récurrence fpu. Comme les harmoniques de cette perturbation ont des décalages fréquentiels de

± (N +  )

c

/

 où N est un entier naturel non nul, aucune ne tombe dans la bande d’instabilité et leur dynamique est complètement asservie à celle de la perturbation la plus instable. Dès lors, toute la dynamique est périodique, et possède la périodicité de l’échange d’énergie entre la composante continue et les deux premiers modes. Il faut enfin ajouter que si la dynamique de récurrence fpu découle du nombre fini de modes aifs, son existence-même et ses caraéristiques tant qualitatives que quantitatives dépendent bien-sûr de la condition initiale, comme nous le verrons dans le cas de l’instabilité modulationnelle à la seion .

Il est important de remarquer à quel point cette explication du phénomène de récurrence fpu se démarque de celle fournie par Zabusky et Kruskal. À la lumière de la théorie développée par Thya- garaja, les évolutions récurrentes ne sont plus nécessairement associées au comportement “soliton”, ni par conséquent aux systèmes intégrables [  ,  ,  ,  ,  ], ou même à la dispersion. Certes, les équations kdv, kdv modifiée et nls unidimensionnelles sont des équations d’ondes dispersives et non linéaires conservatives, et possèdent des solutions solitons qu’on peut calculer exaement. Les propriétés de récurrence de leurs solutions dans un domaine où les conditions aux limites sont pé- riodiques pourraient dériver de l’existence de ces solutions solitons. Cependant, dans l’équation de Schrödinger non linéaire à plus d’une dimension par exemple, la récurrence fpu peut encore se pro- duire sous certaines conditions [, –] alors même qu’il n’existe aucune solution soliton connue dans ce cas. On notera toutefois que la prise en compte d’une ou plusieurs dimensions modifie la situation en ajoutant au système, en sus des évolutions récurrentes périodique (fpu) et ergodique, la possibilité de se thermaliser lentement [, –].

Cette interprétation de la récurrence fpu avancée il y a près de  ans par Thyagaraja n’est toutefois apparue que récemment dans les études sur la conduion thermique dans les chaînes d’os- cillateurs non linéaires, systèmes pourtant décrits précisément par les équations discrètes initialement étudiées par Fermi [, , ]. Dans ces systèmes, la récurrence traduit une thermalisation anorma- lement lente, et semble défier la loi de la chaleur de Fourier. Ainsi, la récurrence observée demeure un défi pour ceux qui tentent de réconcilier les modèles numériques de conduion avec les lois fon- damentales de la mécanique statistique []. En cette matière, la récurrence fpu n’a pas encore livré tous ses mystères.

. Les observations expérimentales de la récurrence

FPU

C’est par le biais d’ “expériences numériques” que la récurrence fpu fut mise en évidence. C’est encore dans les simulations numériques qu’elle a été démontrée dans les systèmes continus [, ,

, ], en étroite relation avec la formation de solitons. Mais si ceux-ci ont été observés au cours d’expériences éritables réalisées dans des domaines très différents [], la récurrence fpu en revanche n’a fait l’objet que de très rares vérifications expérimentales.

La première observation expérimentale de la récurrence fpu a été réalisée en  par Hirota et

Suzuki dans une ligne de transmission élerique formée par la concaténation d’éléments dispersifs et

non linéaires [, , ]. L’évolution de la charge élerique le long de la ligne au cours du temps y est

(25)

La récurrence de Fermi-Pasta-Ulam, ou l’histoire d’un paradoxe 

Fig.  .  – Observation expérimentale de la récurrence fpu dans une ligne de transmission éle rique lc, formellement équivalente à la chaîne d’oscillateurs anharmoniques initialement considérée par Fermi. Les oscillogrammes a) à f ) sont mesurés en des points successifs le long de la ligne, formée par la concaténation de  unités, chacune constituée d’une bobine à induion L =  µH (élément dispersif ) en parallèle sur une diode à capacité variable C(V ) =  V

−,

pF (élément non linéaire) ; V est la tension. Le signal d’entrée sinusoïdal a une amplitude de  V et une fréquence de , MHz. En sortie, l’amplitude de la tension n’est plus que de  V en raison des pertes. D’après Hirota et Suzuki [, ].

décrite par une équation discrète analogue à celle étudiée à l’origine par Fermi et ses collaborateurs [].

Les résultats de leurs observations sont reproduits à la figure ..

Dans les systèmes continus, la récurrence fpu a aussi été observée dans les plasmas où la propaga- tion des ondes acoustiques d’ions est régie par l’équation kdv []. Les évolutions spatiale et sperale correspondantes sont présentées à la figure .. En dépit de l’omniprésence de l’équation nls dans les sciences non linéaires, on n’a cependant porté que peu d’attention à la manifestation de la récur- rence fpu dans la dynamique à long terme de l’instabilité modulationnelle. La seule observation en laboratoire de la récurrence fpu d’un train d’ondes continu soumis à l’instabilité modulationnelle a été réalisée il y a près de  ans par Lake et Yuen dans une série d’expériences sur la propagation non linéaire des vagues en eau profonde []. On peut voir leurs résultats dans le domaine temporel à la figure .. On y suit l’évolution d’un train d’ondes à la fréquence de , H initialement modulé par un signal de faible amplitude. Après une distance de  pieds, le train d’ondes initial uniforme (à l’exception de la perturbation) est presque reconstruit. La figure . montre quant à elle les speres de puissance correspondant à trois étapes successives de l’évolution. On observe bien que l’énergie initialement confinée dans quelques modes proches de la fréquence du train d’ondes continu s’étend sur un spere plus large impliquant plusieurs modes lorsque le train est fortement modulé, puis retourne en bonne partie dans les modes initialement excités. Ce comportement — à comparer avec celui illustré à la figure . — est bien la signature de la récurrence fpu. Bien que ces résultats soient sans ambiguïté, ils n’illustrent pourtant pas parfaitement la récurrence telle qu’étudiée par Fermi, Pasta et Ulam. En effet, la condition initiale consiste en l’excitation de plusieurs modes, et non d’un seul et unique mode, celui correspondant à l’enveloppe continue (c.-à-d. à la porteuse). De plus, la déplétion de l’énergie dans le mode fondamental (à la fréquence de , H pour la figure .) n’est pas aussi importante que celle observée par Fermi et ses collaborateurs, ni celle prédite par la simu- lation numérique de l’instabilité modulationnelle. Sur base de ces speres, il est donc impossible de mettre en évidence la dynamique de récurrence présentée à la figure ..

En revanche, en optique non linéaire et dans les fibres optiques en particulier, jamais la ré-

currence fpu n’avait été observée. Pourtant, les fibres optiques où la propagation est décrite par

l’équation nls unidimensionnelle sont un environnement de choix pour l’étude des phénomènes

(26)

 Observation expérimentale de la récurrence de l’instabilité modulationnelle

Fig. . – Observation de la récurrence fpu d’ondes acoustiques d’ions dans un plasma, où la pro- pagation est gouvernée par l’équation kdv. En haut, évolution de l’onde en fonion de la distance de propagation x. En bas, évolution spatiale de l’amplitude pour les trois harmoniques. On vérifie bien que l’onde initiale sinusoïdale à une fréquence de , MH se transforme en un train de so- litons à x =  cm — l’onde fondamentale est fortement déplétée et la seconde harmonique croît.

L’onde fondamentale (i.e. la composante continue) est ensuite reconstruite à x =  cm — la seconde harmonique a alors complètement disparu. D’après Ikezi [].

non linéaires fondamentaux : d’une part, les lasers peuvent produire des impulsions de forte inten-

sité ayant le profil de solitons, et d’autre part, les fibres sont aisées à manipuler et les dispositifs de

mesure requis sont très largement répandus. Et pourtant, l’instabilité de modulation y a fait l’objet de

très nombreuses études tant théoriques qu’expérimentales, mais seules des contributions théoriques

furent apportées à l’étude du comportement à long terme de cette instabilité [–], comme nous

le verrons à la seion .

(27)

La récurrence de Fermi-Pasta-Ulam, ou l’histoire d’un paradoxe 

Fig. . – Évolution du profil temporel d’un train d’ondes continu soumis à l’instabilité modula- tionnelle, et manifestant la dynamique de récurrence fpu. Le temps est en abscisse à chaque graphe, s’accroissant de droite à gauche. Les profils d’ondes sont pris à différentes distances x de la source des vagues (exprimées en pieds) le long d’un bassin de  pieds de longueur,  pieds de profondeur et de largeur. La fréquence des ondes vaut ici  ,  Hz. D’après Lake et Yuen [  ,  ].

C’est pour combler cette lacune que nous avons conçu et réalisé une expérience originale qui

nous a permis de démontrer pour la première fois en laboratoire la récurrence fpu de l’instabilité de

modulation en optique et pour les ondes éleromagnétiques en général. Notre observation constitue

sans doute l’une des plus belles illustrations de cette récurrence dans un milieu continu car on y

a retrouvé dans une très large mesure les caraéristiques de la dynamique “idéale” représentée à la

figure .. Nous aurons tout le loisir d’appuyer et de détailler cette affirmation à la seion .

(28)

 Observation expérimentale de la récurrence de l’instabilité modulationnelle

Fig. . – Évolution de la densité sperale du train d’ondes d’enveloppe continue représenté à la figure .. De gauche à droite, on peut y voir que l’énergie est initialement contenue dans quelques composantes sperales. Elle est ensuite distribuée dans un spere plus large comportant de nom- breuses harmoniques, tandis que la composante continue instable est fortement déplétée. Plus tard encore, l’énergie revient vers des composantes sperales de plus basses fréquences alors que l’onde se démodule, manifestant ainsi la dynamique caraéristique de la récurrence fpu. D’après Yuen et Lake []

. Conclusions

La grande variété des disciplines et des modèles concernés atteste de l’omniprésence de la récur- rence fpu en physique non linéaire. Par son argumentation générale, Thyagaraja a inscrit le phéno- mène de récurrence fpu, propre aux systèmes conservatifs, dispersifs et non linéaires, dans le contexte physique universel des évolutions récurrentes. Celles-ci relèvent des phénomènes les plus différents, mais procèdent toutes des mêmes causes : le système physique considéré, s’il peut posséder formel- lement une infinité de degrés de liberté, n’implique dans ces évolutions récurrentes que l’interaion effeive d’un nombre fini de modes (ou degrés de liberté). Par conséquent, les récurrences ne sont pas même l’apanage des systèmes conservatifs.

La récurrence fpu occupe néanmoins une place particulière en physique. À bien des égards, son rôle a dépassé de loin les circonstance de sa découverte. Car le travail de Fermi et des ses collaborateurs était à la fois précurseur par sa méthode — la modélisation numérique —, et novateur par son propos

— l’investigation des systèmes non linéaires. Il a conduit à l’invention du soliton par Zabusky et Kruskal. Enfin, il a grandement contribué à l’engouement des physiciens pour les matières non linéaires.

Le concept d’instabilité modulationnelle

Dans cette seion, nous allons définir le concept d’ “inabilité modulationnelle”, et montrer com-

ment il s’est petit à petit imposé théoriquement et expérimentalement dans différents domaines des

sciences non linéaires. Nous présenterons les approches théoriques qui permettent de décrire l’évolu-

tion de cette instabilité dans les tout premiers stades de son développement, puis dans son évolution

à long terme. Nous verrons en particulier que la propagation d’enveloppes d’ondes dans les milieux

(29)

Le concept d’instabilité modulationnelle 

dispersifs et non linéaires où se manifeste l’instabilité modulationnelle est décrite avec succès par l’équation nls. En choisissant cette équation pour modèle, nous montrerons que la récurrence fpu apparaît naturellement dans l’évolution à long terme de l’instabilité modulationnelle.

. Définition de l’instabilité modulationnelle

L’instabilité modulationnelle (im) [, ] se rapporte au phénomène dans lequel une onde conti- nue initialement perturbée tend à se briser spontanément en un train d’impulsions de type “soli- tons” lorsqu’elle se propage dans un milieu dispersif et faiblement non linéaire, tel une fibre op- tique [–].

Cette manifestation temporelle de l’im est celle qui nous importe dans cette thèse puisqu’elle est d’application diree dans les fibres optiques, supports de nos expériences. Il existe un analogue spatial à cette instabilité, l’ autofilamentation []. Bien entendu, ce dernier processus a aussi lieu dans des milieux non linéaires, mais c’est alors la diffraion, et non la dispersion, qui entre en ligne de compte dans l’étude de l’instabilité. Ainsi, lorsqu’une légère modulation vient pertuber un faisceau initialement uniforme dans un milieu non linéaire autofocalisant, chaque période de modulation agit comme une lentille convergente puisque l’indice de réfraion local y est accru. Par conséquent, le faisceau aura tendance, sous certaines conditions que nous préciserons à la seion suivante, à se concentrer périodiquement dans chacune de ces petites régions et finalement à se décomposer en filaments, comme nous l’illustrons à la figure .. Cette interprétation, quoique très intuitive, rend particulièrement bien compte du rôle de la non-linéarité et de l’effet Kerr en particulier.

x

z

Fig. . – Illustration du phénomène d’autofilamentation dans un milieu non linéaire autofocalisant.

Les perturbations du front d’onde selon accroissent localement l’indice de réfraion. Elles agissent comme autant de lentilles convergentes qui se distribuent périodiquement selon la coordonnée trans- verse x . Après une certaine distance de propagation z , diffraion et autofocalisation se compensent et conduisent à la filamentation du faisceau initialement uniforme. Ce processus est l’équivalent de l’instabilité modulationnelle dans le domaine temporelle.

Dans le domaine speral, l’interprétation de l’im est particulièrement intéressante car elle met en lumière le comportement caraéristique de la récurrence fpu. L’im apparaît ici comme un pro- cessus non linéaire de mélange à quatre ondes, où deux photons (dits “de pompe”) à la fréquence porteuse ω

interagissent avec le milieu non linéaire de type Kerr, pour être convertis en deux autres photons, l’un à la fréquence

) (l’onde Stokes), et l’autre à

+ ) (l’onde anti-Stokes).

On constate immédiatement que ce processus respee la conservation de l’énergie. On peut vérifier

(30)

 Observation expérimentale de la récurrence de l’instabilité modulationnelle

également qu’il doit y avoir conservation de la quantité de mouvement. Pour des ondes, cette conser- vation implique la réalisation d’une certaine condition d’accord de phase. Cette condition d’accord de phase est essentielle dans l’étude de l’im car elle détermine les conditions de survenance de l’insta- bilité et le gain de la modulation instable. Les bandes Stokes et anti-Stokes croissent ainsi de concert au détriment de l’onde de pompe qui est progressivement déplétée. À ce transfert d’énergie corres- pond temporellement (ou spatialement) une croissance de la modulation de l’enveloppe de l’onde, qui évolue vers un train d’impulsions.

Par la suite toutefois, le transfert vers ces bandes sperales latérales atteint un maximum, puis l’énergie contenue dans ces bandes et leurs harmoniques reflue progressivement vers l’onde de pompe, de telle sorte que l’onde continue initiale est complètement reconstituée. Cette évolution de l’im, ca- raéristique de la récurrence fpu, a été précédemment représentée dans le domaine temporel et dans le domaine speral à la figure .. À la seion , nous développerons plus en détails ces différents aspes.

. Stabilité et instabilité des ondes d’enveloppe continue

L’autofilamentation, phénomène d’im spatiale, a été mise en évidence pour la première fois dans une expérience d’optique non linéaire par Pilipetski˘ı et Rustamov [] en . L’année suivante, en , Bespalov et Talanov [] étudièrent théoriquement la propagation de faisceaux continus dans les liquides non linéaires autofocalisants sur base de l’équation nls [, ] et caraérisèrent le phénomène d’autofilamentation grâce à une approche perturbative du problème. Ils purent ainsi établir la fréquence de coupure de modulation au-delà de laquelle l’instabilité n’apparaît pas, et le gain de la modulation instable, dont la croissance est initialement exponentielle ; ils soulignèrent que les fluuations aléatoires dues au bruit présent dans l’onde continue initiale pouvaient aussi la provoquer.

En  , Benjamin et Feir furent les premiers à étudier le processus temporel d’im. Ils dé- montrèrent à la fois théoriquement et expérimentalement qu’un train d’ondes continu uniforme pouvait être instable aux perturbations qui modulent son enveloppe []. Presque simultanément, Karpman [] aboutit au même résultat mais ses travaux connurent un retentissement moindre dans la communauté scientifique, notamment parce qu’ils demeuraient purement théoriques. Ben- jamin [, ] proposa une analyse perturbative du processus dans le contexte de l’hydrodynamique, et parvint, de manière totalement indépendante de Karpman, à des résultats fort similaires à ceux obtenus par Bespalov et Talanov en optique non linéaire. Le modèle considéré par Benjamin et Feir n’était pourtant pas l’équation nls. Ce n’est en effet que l’année suivante que Zakharov parvint à démontrer que l’équation nls permettait de décrire la propagation non linéaire des vagues en eau profonde []. Feir [], pour sa part, réalisa la première observation expérimentale de l’im (voir fi- gure .). L’impa des travaux de Benjamin et Feir fut tel que l’im temporelle est parfois appelée inabilité de Benjamin-Feir — principalement en hydrodynamique, est-ce étonnant.

L’analyse de Benjamin et Feir faisait suite aux travaux de Lighthill [  ] (  ) qui proposa l’une des premières études détaillées de l’évolution temporelle des ondes non linéaires en eau profonde.

Ce dernier s’intéressait à l’évolution d’une enveloppe lentement variable sur base d’une théorie au lagrangien moyen dérivée par Whitham []. Sa solution prédisait que la non-linéarité produirait une focalisation de l’énergie vers le centre de l’impulsion au cours de sa propagation. Cependant, il avait négligé un terme de dispersion, de sorte que sa solution devenait ensuite singulière et ne permettait pas de conclure définitivement quant à l’évolution à long terme de l’onde. Lighthill nota toutefois qu’un tel comportement constituait une forte indication de la présence d’une instabilité associée aux ondes non linéaires en eau profonde.

Un peu plus tard, Whitham [] (), puis Lighthill [] (), développèrent encore leurs

(31)

Le concept d’instabilité modulationnelle 

Fig. . – Désintégration d’un train d’ondes initialement uniforme sous l’aion de l’im. En haut, le train d’ondes initial. En bas, ce même train d’ondes après  m ( pieds). D’après Benjamin et Feir [].

résultats pour le problème de la propagation non linéaire de vagues dans un milieu dispersif et dé- terminèrent une équation qui décrit l’évolution de perturbations progressives et continues, mais pas nécessairement petites. Leur théorie démontrait déjà que des perturbations infinitésimales d’un certain type pouvaient subir une très forte amplification. Elle permettait de traiter des perturbations im- portantes et donc était encore valable après l’étape de démarrage de l’instabilité. Mais si Whitham et Lighthill prédisaient bien l’existence et le développement de l’im, les conditions dans lesquelles elle se produisait étaient imparfaitement déterminées, et le critère d’instabilité établi était erroné (la région instable du spere n’était pas limitée par une borne supérieure finie). De plus, ils ne parvinrent pas à éliminer la singularité qui survenait dans leurs équations après un temps fini. En revanche, la théo- rie perturbative de Benjamin et Feir [] a pu donner avec une grande précision le comportement de perturbations infinitésimales instables. En particulier, ces auteurs purent déterminer les condi- tions de survenance de l’im, le gain maximum de ces perturbations, et les fréquences de coupure du spere de gain d’im, en dehors desquelles une perturbation manifeste un comportement stable.

Nous présenterons les détails de leur théorie dans le contexte de l’équation nls à la seion ..

Depuis les travaux pionniers de Benjamin et Feir, l’im des ondes d’enveloppe continue a été prédite et parfois découverte expérimentalement dans de nombreux domaines de la physique où la propagation non linéaire d’ondes est décrite par l’équation nls. Hormis l’hydrodynamique des vagues en eau profonde, on peut citer la dynamique d’ondes dans les plasmas d’élerons [, –]

et de charges d’espace [, , ], ou encore les plasmas magnétosphériques []. L’im a aussi été observée en optique non linéaire, en particulier dans la propagation des ondes (quasi-)continues dans les fibres optiques [, , ].

Enfin, l’im n’est pas confinée aux systèmes continus mais se manifeste également dans les chaînes

unidimensionnelles d’oscillateurs anharmoniques avec un couplage non linéaire quadratique ou cu-

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 Observation expérimentale de la récurrence de l’instabilité modulationnelle

bique. Elle a ainsi été mise en évidence expérimentalement dans les lignes de transmission éleriques, qui matérialisent le modèle “fpu”, étudié à l’origine par Fermi, Pasta et Ulam [, ].

. L’évolution à long terme de l’

IM

La question de l’évolution à long terme de l’im a suscité l’intérêt de nombreux chercheurs dans les années –, sans qu’aucun consensus ne se fit sur l’une ou l’autre hypothèse avancée jusqu’à ce que l’expérience en laboratoire ne tranchât le débat []. Benjamin et Feir, qui avaient proposé une approche perturbative de l’im, donc valable uniquement au stade initial de son développement, spéculèrent que la croissance exponentielle des modulations d’amplitude conduirait finalement à la désintégration du train d’ondes et à une redistribution de son énergie sur un large spere [].

Hasselmann, toujours dans le contexte de l’hydrodynamique, alla plus loin que Benjamin et Feir.

Il interprétait la découverte de l’im comme une preuve supplémentaire que [] “dans tout spere d’onde, les intera ions non linéaires résonantes ont une tendance irréversible à répartir l’énergie de manière équivalente sur tous les nombres d’ondes (à toutes les fréquences)”.

La première étude relative au comportement à long terme d’une enveloppe a été réalisée par Karpman dès  [] en optique non linéaire. Elle faisait suite aux travaux de Bespalov et Talanov sur l’im spatiale des faisceaux de lumière intenses dans les milieux non linéaires autofocalisants [].

Par une analyse théorique qualitative de l’équation nls, Karpman conclut qu’une onde continue soumise à une perturbation localisée (c.-à-d. que l’amplitude de cette perturbation s’annule à ± ∞) évoluait en un train de solitons. En , Karpman et Krushkal’ [] (et plus tard, Yuen et Lake []) firent un pas théorique important en prouvant que la théorie au lagrangien moyen de Lighthill []

et Whitham [] développée jusqu’à un ordre suffisant conduisait à l’équation nls pour la propa- gation unidimensionnelle d’ondes (enveloppes) dispersives et non linéaires. Ce résultat théorique était indépendant du milieu considéré. Il avait ainsi le mérite de jeter un pont entre les travaux, essentiellement théoriques, consacrés à l’im spatiale en optique non linéaire, et les résultats relatifs à l’im temporelle obtenus en hydrodynamique, dont la théorie reposait sur les travaux de Whitham et Lighthill. L’équation nls fournissait ce cadre théorique commun pour investiguer l’évolution à long terme de cette instabilité. Zakharov avait alors déjà démontré que l’équation nls décrivait la propagation des vagues en eau profonde [], mais son résultat semble être ignoré par la plupart des auteurs en hydrodynamique.

Enfin, comme leur modèle contenait un terme supplémentaire dans la relation de dispersion, Karpman et Krushkal’ parvinrent à éliminer la singularité à laquelle Lighthill se heurtait aupara- vant après un temps fini. À l’aide de simulations numériques, ils observèrent (et plus tard, Chu et Mei [, ], ignorant apparemment ces résultats) que les modulations localisées de l’enveloppe, quelle que soit leur forme (gaussienne, sécante hyperbolique, etc.), tendaient à se désintégrer en im- pulsions d’enveloppes plus petites et de forme permanente, du type “ondes solitaires”. Cependant, ils n’étudièrent pas l’évolution temporelle à long terme de l’im d’une onde continue et ne purent mettre en évidence la récurrence fpu, alors même que toutes les conditions étaient alors réunies pour son observation.

L’investigation de l’évolution à long terme de l’im d’une onde continue débuta réellement au

début des années . Fin , Zakharov et Shabat [] résolurent exaement l’équation nls pour

des conditions initiales qui décroissent et s’annulent suffisamment vite. Les solutions exaes prédi-

saient qu’une impulsion initiale arbitrairement large (mais d’amplitude suffisante) se désintégrait en

un nombre précis de solitons, comme l’avaient auparavant suggéré Whitham [], Lighthill [] et

Karpman []. Ce comportement à long terme des impulsions semblait s’étendre naturellement à

l’évolution de l’im d’une onde continue, bien qu’il n’existe alors pas de solution analytique à l’équa-

tion nls dans ce cas.

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