Courants extrémaux et dynamique complexe

COURANTS EXTRÉMAUX ET DYNAMIQUE COMPLEXE

P

V

GUEDJ

RÉSUMÉ. – Nous contruisons des courants positifs fermés extrémaux de tout bidegré sur l’espace projectif complexeP^kqui ne sont pas des courants d’intégration sur un sous-ensemble analytique irréductible. Nous appliquons ces résultats à l’étude dynamique de certains endomorphismes polynomiaux deC^kpour lesquels nous construisons une mesure ergodique d’entropie maximale.

2005 Published by Elsevier SAS

ABSTRACT. – We construct extremal positive closed currents of any bidegree on the complex projective spaceP^k, which are not current of integration along irreducible analytic subsets. We apply these results to the dynamical study of some polynomial endomorphisms ofC^k, for which we construct an ergodic measure of maximal entropy.

2005 Published by Elsevier SAS

Introduction

Suite à l’introduction des courants positifs fermés par P. Lelong [26], plusieurs auteurs ont tenté de caractériser l’ensemble des éléments extrémaux du cône convexe fermé qu’ils constituent. Tout courant d’intégration sur un sous-ensemble analytique V ⊂X irréductible de pure dimension p définit ainsi un élément extrémal dans le cône Tp(X) des courants positifs fermés de bidimension (p, p) sur une variété complexe X (voir théorème 1 dans [27], Theorem 1.27 dans [23]). On a pu caresser l’espoir un certain temps que ce soient là les seuls exemples. J.-P. Demailly [7] a le premier donné un exemple de courant extrémal dans P² qui admet des potentiels continus (et n’est donc pas le courant d’intégration sur un diviseur). C’est un courant de nature dynamique. De nombreux autres courants extrémaux ont depuis été fournis par des constructions dynamiques. C’est le cas des courants de Green des applications de Hénon complexes [2,14] et plus généralement des applications birationnelles des surfaces projectives complexes [5,10,19]. C’est également le cas des courants de Green des automorphismes polynomiaux deC^k [32,21]. Les courants de Green des automorphismes d’Anosov des tores complexes de dimension 2 fournissent des exemples de courants extrémaux qui sont des formes lisses (voir paragraphe 3.8 dans [34] et remarque 2.3 dans [5]).

Tous ces exemples sont de bidimension (k−1, k−1). Un des principaux objectifs de cet article est de fournir de nombreux exemples (issus de la dynamique) de courants extrémaux dans Tp(P^k)(pour toutp) dont les potentiels sont (presque) continus (voir théorèmes 2.1, 2.3 et 2.6).

Nous obtenons par exemple le résultat suivant :

THÉORÈME 0.1. – Soitf un automorphisme polynomial deC^kdont on considère l’extension méromorphe à l’espace projectif complexeP^k. On suppose que l’ensemble limiteX_f à l’infini ne rencontre pas l’ensemble If des points d’indétermination. On note r−1 = dim_CXf et

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

on suppose de plus que le degré λ_r(f) d’ordre r domine strictement tous les autres degrés dynamiques.

Alors le courant positif fermé

T_k−r⁻ := lim

n→+∞

1 λ_r(f)ⁿ

fⁿ_∗ ω^k−r

est extrémal dans le côneTr(P^k), oùωdésigne la forme de Fubini–Study.

À notre connaissance, il s’agit là des premiers exemples connus de tels courants. De fait, la théorie des courants positifs fermés de bidimension(p, p),pk−2, est fort peu développée (exception faite du cas des mesures, p= 0). Cela est dû en grande partie à l’absence de potentiel canonique pour ces courants. Les courants que nous considérons ont des potentiels dont nous savons contrôler le signe (voir section 1.2). C’est un point clef dans la preuve de leur extrémalité que nous établissons dans la section 2 (théorèmes 2.1 et 2.6). Nous en déduisons quelques applications à la dynamique dans la section 3, où nous construisons une mesureµ_f ergodique d’entropie maximale pour certains endomorphismes polynomiauxf deC^k. Lorsque f est inversible, la mesureµf est mélangeante et nous obtenons le résultat suivant :

THÉORÈME 0.2. – Soitf comme ci-dessus. On suppose de plus que l’ensembleI_f estf⁻¹- attirant. Alors la mesure

µf:= lim

n→+∞

1 λr(f)ⁿ

fⁿ_∗

ω^r∧ 1 λr(f)ⁿ

f⁻ⁿ_∗ ω^k−r

est une mesure de probabilité invariante à support compact dans C^k, qui est mélangeante, d’entropie maximale

h_µf(f) =h_top(f) = logλ_r(f),

et qui intègre les fonctions plurisousharmoniques à croissance logarithmique.

Dans son étude des cycles feuilletés, D. Sullivan fait la conjecture (un peu optimiste) que les courants extrémaux sont uniformément laminaires. C’est le cas des courants de Green des automorphismes d’Anosov des tores complexes, qui sont même des cycles feuilletés associés aux feuilletages irrationnels stables/instables [34]. E. Bedford, M. Lyubich et J. Smillie ont établi une propriété plus faible de laminarité des courants de Green des applications de Hénon complexes [1,3]. Il serait intéressant d’obtenir l’extrémalité comme conséquence d’une propriété adéquate de laminarité. Les travaux de R. Dujardin [13] et T.C. Dinh [11] vont dans cette direction.

Mentionnons pour finir que T.C. Dinh et N. Sibony [12] ont récemment construit des courants extrémaux de bidimension(p, p)sur des variétés compactes qui admettent des biholomorphismes dynamiquement intéressants.

1. Construction de potentiels signés

Dans tout l’article nous travaillons sur l’espace projectif complexeP^kde dimensionkque nous munissons de sa forme de Kähler de Fubini–Study, notée ω. Nous considérons les opérateurs différentiels réels d=∂+∂ et d^c= _2πⁱ (∂−∂). La normalisation est choisie de sorte que ω=dd^clog

1 +z²dansC^k, oùz= (z1, . . . , zk)∈C^kdésigne les coordonnées euclidiennes

et

C^k

ω^k=

P^k

ω^k= 1.

Nous renvoyons le lecteur à [9], Chapitre III, pour une discussion approfondie des propriétés des courants positifs. Nous nous contentons ici de rappeler quelques faits utiles à la compréhension de l’article.

• Un courant S de bidegré(s, s) sur P^k est une forme linéaire continue sur l’espace des formes lisses de bidegré(k−s, k−s)surP^k. On dit également queS est de bidimension (k−s, k−s).

• Le courantSest dit fermé (dS= 0) s’il s’annule sur toutes les formesd-exactes. Il est dit pluriharmonique (dd^cS= 0) s’il s’annule sur toutes les formesdd^c-exactes.

• Il y a plusieurs notions de positivité des courants. Dans tout l’article,Ssera dit positif s’il est

« fortement positif », au sens oùS, θ0, pour toute formeθtelle queθ∧iα1∧α1∧ · · · ∧ iα_s∧α_s0, quelles que soient les 1-formesα₁, . . . , α_s. L’ensembleT^s(P^k)des courants positifs fermés de bidegré(s, s)surP^kest un cône convexe saillant fermé pour la topologie faible des courants. Les courants dynamiques que nous considérons sont obtenus comme limites de combinaisons linéaires de formes (fortement) positives du type(iα1∧α1)^s.

• Un courant positifSest réel et d’ordre0: on peut le représenter localement par une forme de bidegré(s, s),S=

|I|=|J|=sSIJdzI∧dzJ, dont les coefficientsSIJsont des mesures de Radon. La variation totale

|S_IJ|est dominée (à une constante multiplicative près) par la masse deS,

S:=

P^k

S∧ω^k−s.

1.1. Push-forward et pull-back de courants

Soit f:C^k →C^k un endomorphisme polynomial. On considère son extension rationnelle f:P^k →P^k à l’espace projectif complexe. On notera [z:t] les coordonnées homogènes sur P^k, où z∈C^k et (t= 0)P^k−1 désigne l’hyperplan à l’infini. L’extension f est seulement méromorphe à l’infini. On noteIf⊂(t= 0)son ensemble d’indétermination : c’est l’ensemble des points au voisinage desquelsf n’est pas holomorphe. On noteXf :=f((t= 0)\If). Dans toute la suite on suppose

X_f∩I_f=∅. (H1)

De telles applications ont été considérées dans [21] : ce sont les endomorphismes faiblement réguliers deC^k. Quitte à changer f en f^k, on peut supposer f(X_f) =X_f. L’ensembleX_f est l’ensemble analytique limite à l’infini ; c’est un attracteur (voir [21]). Il résulte de (H1) que de telles applications sont algébriquement stables dansP^k [32]. La suite de courants positifs fermésd⁻ⁿ(fⁿ)^∗ω converge vers un courant positif ferméT+=ω+dd^cg+ qui est invariant, f^∗T+=dT+; c’est le courant de Green def. Iciddésigne le premier degré algébrique def, i.e.

le degré def⁻¹(H)pour un hyperplanHgénérique deP^k. Nous supposons implicitement dans tout l’articled>1. Nous renvoyons à [32] pour la construction deT₊ et à [21] pour la preuve du fait que

le potentielg+deT+est continu dansP^k\If.

Il résulte également de (H1) que dimX_f =r−1 et dimI_f =k−r−1 pour un entier r∈[1, k−1]. Commeg₊est continu hors deI_f, on peut définir les produits d’auto-intersection T₊^j pour1jr+ 1. Le courant dynamiquement le plus intéressant estT₊^r (voir Theorem 2.2 dans [21]). Un des buts de cet article est d’établir des propriétés d’extrémalité du courantT₊^r.

Nous faisons également par la suite l’hypothèse que

l’ensembleIf estf⁻¹-attirant, (H2)

c’est-à-dire qu’il existe un voisinage W_If de I_f dans C^k tel que f⁻¹W_If ⊂ W_If et

j0f^−jW_If =∅. Cela a des conséquences dynamiques particulièrement intéressantes (cf.

Theorem 2.13 dans [21]). Cela impose également des restrictions de nature topologique sur les applications f considérées : elles sont nécessairement propres dansC^k. On peut donc définir facilement le push-forward des courants dans ce contexte : siSest un courant de bidegré(s, s) dansC^k, on pose

f_∗S, θ:=S, f^∗θ,

pour toute forme lisseθde bidegré(k−s, k−s)à support compact dansC^k. Cette opération est clairement continue pour la topologie faible des courants. SiSest fermé (respectivement positif), il en est de même def_∗S. SiSest de masse totale finie dansC^k(i.e. lorsqueSest la restriction àC^k d’un courant défini surP^k), il en est de même def_∗S. Lorsque ces trois propriétés sont vérifiées, on notera f_∗S l’extension triviale def_∗S à travers l’hyperplan (t= 0): on obtient ainsi un courant positif de bidegré(s, s)surP^kqui est à nouveau fermé (théorème d’extension d’El Mir–Skoda).

Le pull-back d’un courant est plus délicat à définir. Lorsquef ∈Aut(C^k)est un automor- phisme polynomial deC^k, on peut bien sûr définirf^∗S:= (f⁻¹)_∗S. Cependant notre approche s’applique également à des endomorphismes polynomiauxf qui ne sont pas inversibles. L’hy- pothèse (H2) assure quef:C^k →C^k est propre, ouverte et surjective. Cela permet de définir convenablementf^∗sur les cône des courants positifs (dansC^k) comme l’a montré M. Méo [29].

L’opération de pull-back préserve la positivité et le caractère fermé (respectivement pluriharmo- nique). Elle est continue pour la topologie faible des courants (voir [12, Corollary 2.5]).

Rappelons enfin qu’il existe une façon canonique de définir le push-forward et le pull-back des formes lisses : on considèreΓf une désingularisation du grapheΓf def dansP^k×P^ket le diagramme commutatif correspondant

Γf

π1 π2

X ^f X

LorsqueSest une forme lisse de bidegré(s, s), on pose f_∗S:= (π2)_∗

π₁^∗S

et f^∗S:= (π1)_∗ π₂^∗S

,

où le push-forward est considéré au sens des courants. Cette définition coïncide avec la précédente lorsque l’on considère des formes lisses. Nous renvoyons le lecteur à [20] pour plus de détails.

1.2. Signe des potentiels

Soit T₊=ω+dd^cg₊ le courant de Green d’un endomorphisme polynomialf qui vérifie l’hypothèse (H1). Le courantT₊^r admet des potentiels qui sont presque positifs. En effet

T₊^r=ω^r+dd^cTcan, oùTcan= (g++CW_If)

r−1 j=0

T₊^j ∧ω^r−1−j

est un courant positif dansP^k\WIf si l’on fixe par exempleCW_If =−inf_P^k_\WIfg+. On utilise là le fait crucial queg+est continu, donc minoré hors d’un petit voisinageWIf deIf. On vérifie

de plus que

λ^−j f^j_∗

Tcan→0 dansC^k pourλ=d^r.

L’existence de potentiels positifs est exceptionnelle. Si S est un courant positif fermé de bidegré(s, s)surP^k, on s’attend plutôt à ce queS admette des potentiels négatifs, c’est-à-dire qu’il existeΘune forme lisse fermée cohomologue àSetTSun courant de bidegré(s−1, s−1) surP^ktels que

S= Θ +dd^cTS et TS0 surP^k.

L’existence de tels potentiels est classique en théorie de Nevanlinna [28,17] lorsque S est le courant d’intégration sur une intersection complète. Nous montrons ici l’existence de potentiels TSqui sont presque partout négatifs.

PROPOSITION 1.1. – Soitσun courant positif fermé de bidegré(s, s)surP^k,1sk. Soit Θune forme lisse positive fermée cohomologue à σ. Soit W un petit voisinage de Suppσ∩ (t= 0).

Alors pour tout courant positif ferméSde bidegré(s, s)tel que0SσsurP^k, il existe un courantTSde bidegré(s−1, s−1)surP^ktel que

(1) S=αΘ +dd^cTS, oùα=S · σ⁻¹; (2) TS0dansP^k\W;

(3) 0

P^k\W(−TS)∧ω^k−s+1C_WS, oùC_W est indépendante deS,σ.

Preuve. – Commençons par traiter le cas, plus simple, des mesures (s=k). Cela permettra de fixer les idées sur ce qui va suivre. Dans ce casSest une mesure de Radon positive que l’on peut supposer de probabilité (S= 1). C’est donc une somme de masses de Dirac,S=

P^kδ_adS(a), oùδadésigne la masse de Dirac au pointa∈P^k. Orδa=T_a^k, oùTaest la(1,1)-forme positive fermée lisse dansP^k\ {a}à coefficients dansL^p,p < k,

Ta(x) =ω(x) +dd^c

logx∧a xa

.

On a donc

δa=ω^k+dd^cTa, oùTa= logx∧a xa

k−1 j=0

T_a^j∧ω^k−1−j0.

Il s’ensuit par intégration que

S=ω^k+dd^cTS, avecTS=

a∈P^k

TadS(a)0.

Observons enfin que commeP^kest homogène, les courants positifs−Taont tous la même masse C₀=

−Ta(x)∧ω(x). On a donc par Fubini 0

P^k

−TS(x)∧ω(x) =C0=C0S.

On peut enfin remplacerω^kpar n’importe quelle forme lisse ferméeΘqui lui est cohomologue.

Il suffit alors de modifierTSen lui ajoutant une forme lisse qu’on peut toujours supposer négative (quitte à retrancher un grand multiple deω^k−1qui ne change pas ledd^c).

La situation n’est plus aussi simple lorsque1sk−1: les courants positifs fermés ne sont pas nécessairement des sommes de courants d’intégration sur des cycles effectifs (comme l’a montré Demailly [7]). Lorsques= 1, on peut encore construire des potentiels partout négatifs.

Dans ce cas lesTSsont des fonctions quasiplurisousharmoniques (i.e. localement somme d’une fonction plurisousharmonique et d’une fonction lisse), en particulier celles-ci sont majorées sur P^k : il suffit de retrancher une constante pour les rendre négatives. La grande particularité du cass= 1tient au fait que deux potentielsTS,T_S d’un même courantSdiffèrent d’une fonction pluriharmonique qui est nécessairement constante (principe du maximum).

Lorsque 2sk−1, nous allons construire des potentiels presque négatifs. Cela sera suffisant pour l’application que nous souhaitons en faire (Section 2). La construction s’appuie sur la connaissance de potentiels négatifs locaux (i.e. dans les ouverts bornés de C^k) dont l’existence remonte aux travaux de P. Lelong et H. Skoda (voir [33]). Nous suivons ici l’approche de J.-P. Demailly [8]. Soitχ0une fonction test dansC^ktelle queχ≡1sur une grande boule B(A) ={z∈C^k| z< A}. Posons

T1(x) :=

y∈C^k

K(x, y)∧χ(y)S(y),

oùK(x, y) =−ckβ^k−1(x−y)x−y^−(2k−2)0,β(x−y) =dd^cx−y² et la constante ck>0est choisie de sorte que

dd^cK= [∆] =courant d’intégration sur la diagonale deC^k×C^k.

Le noyauK0 est lisse hors de la diagonale ∆ deC^k×C^k. Il s’ensuit queT10 est un courant de bidegré(s−1, s−1)dansC^k qui est lisse hors du support deχS. Un calcul direct [8] montre que

χS=dd^cT1+R dansC^k, (1)

oùRest lisse hors du support dedχ∧S. En particulier siA >1est choisie assez grande,Rest lisse dansC^k\W. En multipliant (1) parχ, il vient

χ²S=dd^c(χT1) +R₁, (2)

oùR₁=χR+d^cχ∧dT1−dχ∧d^cT1−dd^cχ∧ T1est à support compact dansC^ket est lisse dansC^k\W. On en déduit

S=αΘ +dd^c(χT1) +R2 dansP^k, (3)

oùR2=R1−(1−χ²)S−αΘest lisse dansP^k\W etα=S · σ⁻¹. L’égalité a lieu dans P^kpuisque les « termes d’erreur » sont à support compact dansC^k. Notons que la masse deχT1

etR₂est contrôlée par celle deS.

Observons enfin que le courant réelR₂estd-exact. Il résulte dudd^c-lemma de la théorie de Hodge (voir, e.g., [16, p. 149]) qu’il existe un courant réelT2de bidegré(s−1, s−1)et d’ordre 0, lisse dansP^k\W, et tel queR2=dd^cT2: il suffit de poserT2=∂^∗∂^∗G²

∂R2, où∂^∗, ∂^∗sont les opérateurs adjoints à∂, ∂ etG_∂ désigne l’opérateur de Green associé à∂(cf. [16, p. 150]).

CommeT2est lisse hors deW, on peut (quitte à lui retrancherCω^k−1) le supposer négatif dans P^k\W. Sa masse est contrôlée par celle deR2(elle-même contrôlée par celle deS). On conclut en considérant

TS:=χT1+T2. 2

Remarque 1.2. – Lorsque X est une variété kählerienne compacte, on peut également chercher à résoudre l’opérateurdd^c par intégration contre un noyauK globalement défini dans X×X. En général ce noyau n’est pas négatif. On peut cependant choisirK0lorsqueX=P^k (voir Paragraphe 6 dans [4]). Nous remercions T.C. Dinh de nous avoir signalé ce fait qui permet de donner une preuve plus simple de la Proposition 1.1.

Nous avons maintenu notre preuve en l’état car elle s’adapte sans modification à toute autre compactificationX deC^k. Il est nécessaire de considérer de telles compactifications en dynamique (voir [19]) ; elles ne sont pas homogènes en général.

2. Extrémalité des courants dynamiques 2.1. Courantsf^∗-invariants

THÉORÈME 2.1. – Soitf:C^k→C^kun automorphisme polynomial qui vérifie les hypothèses (H1) et (H2). Alors le courantT₊^r est extrémal dans le côneT^r(P^k)des courants positifs fermés de bidegré(r, r)surP^k.

Comme nous le verrons dans la preuve,(T₊^r)_|C^kest également extrémal dans le côneT^r(C^k).

Par ailleursT₊ a des potentiels continus hors deI_f qui est de dimensionk−r−1; il résulte d’inégalités classiques (voir l’annexe de [32]) queT₊^r ne charge aucun sous-ensemble analytique propre deP^k.

Les automorphismes réguliers introduits par N. Sibony dans [32] satisfont les hypothèses (H1) et (H2), de même que de nombreux automorphismes faiblement réguliers (voir [21]).

Preuve. – SoitS un courant positif fermé de bidegré (r, r)tel que 0ST₊^r. Il s’agit de montrer queS=αT₊^r, oùα=S=

P^kS∧ω^k−r est la masse deS. On poseλ=d^r>1.

Considérons

Sj:=λ^j f_|C^−jk

_∗ S,

où − signifie que l’on considère l’extension triviale à travers (t= 0) du courant (f_|C^−jk)^∗S défini dansC^k. Puisque f^∗T₊^r=λT₊^r, on a(f⁻¹)^∗T₊^r =λ⁻¹T₊^r dans C^k. On en déduit que 0SjT₊^r dansC^k, et donc également dansP^kpuisqu’aucun de ces deux courants ne charge l’hyperplan(t= 0). Notons à présentS_j :=λ^−j(f^j)^∗Sj. On aS_j ≡SdansC^k, or aucun de ces deux courants ne charge(t= 0), doncS_j ≡S dansP^k. Le reste de la preuve consiste à établir un résultat de convergence uniforme : on va montrer que la suiteS_j =λ^−j(f^j)^∗Sj converge versαT₊^r. Puisqu’il s’agit en fait d’une suite constante égale àS, on obtiendra S=αT₊^r avec α=S.

Il résulte de la proposition 1.1 qu’on peut décomposer les courantsS_jsous la forme Sj=αjω^r+dd^c(TSj),

oùα_j=S_j ∈[0,1]etTSj est un courant réel de bidegré(r−1, r−1)qui est négatif hors d’un voisinageW_If fixé (arbitrairement petit) deI_f, et de masse contrôlée

P^k\W_If

−TSj ∧ω^k−r+1C_WIf.

SoitRj:=T₊^r −Sj. C’est un courant positif fermé de bidegré(r, r)dominé parT₊^r dont on considère également la décomposition

R_j= (1−α_j)ω^r+dd^c(TRj), oùTRj0dansP^k\W_If et

P^k\W_If−TRj∧ω^k−r+1CW_If. Le courant

Pj:=Tcan− TSj− TRj

est donc pluriharmonique et positif dans P^k\W_If. Il résulte du lemme 2.2 ci-dessous que λ^−j(f^j)^∗Pj→0dansC^k\WIf. Orλ^−j(f^j)^∗Tcan→0et

1 λ^j

f^j_∗

(Tcan−P_j) = 1 λ^j

f^j_∗

(TSj +TRj) 1 λ^j

f^j_∗

(TSj)0 dansC^k\W_If. On en déduitλ^−j(f^j)^∗(TSj)→0dansC^k\WIf. Ainsi

S= 1 λ^jk

f^jk_∗

(S_jk) =α_jk 1 λ^jk

f^jk_∗ ω^r

+dd^c 1

λ^jk f^jk_∗

TS_jk

→αT₊^r

dansC^k\WIf, oùα= limαjk. Enfin commeWIf est arbitrairement petit, et comme niSniT₊^r ne charge(t= 0), on en déduitS=αT₊^r dansP^k. Il s’ensuit queα=Sest indépendante du choix de la sous-suite(αjk). 2

CommeIf est de dimensionk−r−1, on peut trouver une forme lisse ferméeωI de bidegré (1,1)surP^kqui est strictement positive hors deWIf et telle queω_I^k−r≡0dansWIf. On peut supposerωI cohomologue àω.

LEMME 2.2. – SoitP un courant pluriharmonique de bidegré(r−1, r−1)surP^k qui est positif dansP^k\WIf. Alors

0

C^k

f^j_∗

P∧ω^k−r+1_I d^(r−1)j

P^k

P∧ω_I^k−r+1.

En particulierλ^−j(f^j)^∗P→0dansC^k, oùλ=d^r.

Preuve. – Supposons tout d’abordP lisse. Soitδr−1(f^j)la masse du courant positif fermé (f^j)_∗ω_I^k−r+1. Comme ce dernier ne charge pas l’hyperplan à l’infini, on a

δ_r−1 f^j

=

C^k

f^j

∗ω^k_I^−r+1∧ω^r−1=

C^k

ω_I^k−r+1∧ f^j_∗

ω^r−1=d^(r−1)j.

La dernière égalité provient du fait quedimI_f=k−r−1est suffisamment petite : le courant (f^j)^∗ωest une forme dont les coefficients sont dansL^p,1p < r+ 1, donc le produit extérieur (f^j)^∗ω∧ · · · ∧(f^j)^∗ω= (f^j)^∗(ω^r−1)est bien défini partout dansP^k, ne charge pas l’hyperplan (t= 0), et sa masse se calcule en cohomologie (voir corollaire A.6.5 dans [32]). On en déduit que

f^j

∗ω^k_I^−r+1=d^(r−1)jω^k_I^−r+1+dd^cθ_j,

où θj est un courant de bidegré (k−r, k −r). Il résulte alors du théorème de Stokes que

P^kP∧dd^cθj=

P^kdd^cP∧θj= 0, d’où 0

C^k

f^j_∗

P∧ω^k_I^−r+1

P^k

P∧

f^j

∗ω_I^k−r+1=d^(r−1)j

P^k

P∧ω^k_I^−r+1.

La positivité provient de ce queP0dansC^k\W_If, donc(f^j)^∗P0dansC^k\f^−jW_If ⊃ C^k\WIf (hypothèse (H2)).

Si P n’est pas lisse, on peut, commeP^k est une variété homogène, utiliser une convolution pour le régulariser : soitP_εdes formes lisses pluriharmoniques de bidegré(r−1, r−1)telles quePε0 dans P^k\WIf etPε→P au sens des courants lorsque ε→0 (voir [24]). Alors (f^j)^∗P_ε∧ω_I^k−r+1→(f^j)^∗P∧ω_I^k−r+1dansC^k, donc

0

C^k

f^j_∗

P∧ω^k−r+1_I lim inf

ε→0

C^k

f^j_∗

P_ε∧ω^k−r+1_I d^(r−1)j

P^k

P∧ω_I^k−r+1.

Commed >1, on en déduit qued^−rj(f^j)^∗P→0dansC^k\W_If, et même dansC^k\f^−lW_If,

∀l∈N. Comme

lf^−lWIf=∅, la convergence a lieu dans toutC^k. 2

Lorsquefn’est pas inversible, le courantT₊^rn’est plus nécessairement extrémal dansT^r(P^k) (considérer le cas de produits croisés). Dans la preuve du théorème précédent nous n’avons cependant utilisé l’inversibilité def qu’à une seule reprise : dans l’astuce initiale qui consiste à écrireS=λ^−j(f^j)^∗Sj. C’est cette écriture qui n’est plus valable ici. Le reste de la preuve s’applique néanmoins et donne le

THÉORÈME 2.3. – Soitf:C^k→C^k un endomorphisme polynomial qui vérifie (H1) et (H2).

SoitS∈ T^r(P^k)tel que0ST₊^r. Alors 1

λ^j f^j_∗

S→αT₊^r, oùα=S=

P^k

S∧ω^k−r.

Cela montre en particulier que T₊^r est extrémal dans le sous-cône deT^r(P^k)constitué des courantsS qui vérifient la relation d’invariancef^∗S =λS. Cette propriété permet d’établir l’ergodicité des mesures fabriquées à partir de T₊^r, tandis que l’extrémalité dans T^r(P^k) implique la propriété de mélange (voir section 3).

2.2. Courantsf_∗-invariants

Dans toute la suite de l’article nous faisons l’hypothèse λ=d^r> λr+1(f) := lim

j→+∞

δr+1

f^j1/j

, (H3)

oùδ_r+1(f), le(r+ 1)-ième degré algébrique def, est le degré def⁻¹(L), pour un sous-espace linéaire génériqueLde codimensionr+ 1dans P^k. Nous renvoyons le lecteur à [30,20] pour plus d’informations concernant ces degrés. Sous les hypothèses (H1) et (H3), il est possible de construire un courantf_∗-invariantT_k−r⁻ qui est dynamiquement intéressant. La construction deT_k−r⁻ est établie dans [21] lorsquef est un automorphisme. Nous adaptons à présent cette construction au cas des endomorphismes qui vérifient l’hypothèse supplémentaire

z∈Cf,lim|z|→+∞f(z)∈Xf. (H4)

IciCfdésigne l’ensemble critique defdansC^k. L’hypothèse (H4) signifie donc quefest propre dansC^ket telle que ses valeurs critiques accumulent l’infini dansX_f (elles pourraient accumuler égalementI_f). L’analyse d’exemples montre que (H4) est générique parmi les endomorphismes vérifiant (H1) et (H3). Observons également que (H4) est vide lorsquef et un automorphisme.

Construction de T_k−r⁻ . – Soitf:C^k →C^k un endomorphisme polynomial qui vérifie (H1), (H3) et (H4). SoitL un sous-espace linéaire de dimensionr deP^k. Pour un choix générique deL, on aL∩If=∅puisqueIf est de dimensionk−r−1. En régularisant[L], le courant d’intégration surL, on obtient une forme positive fermée lisseΘde bidegré(k−r, k−r)sur P^k, dont le support n’intersecte pasIf et telle queΘ= 1. Commef((t= 0)\If)⊂Xf, le courantf_∗Θ∈ T^k−r(P^k)intersecte l’hyperplan(t= 0)dansXf. Il est de masse

f_∗Θ=

C^k

f_∗Θ∧ω^r=

C^k

Θ∧f^∗ω^r=λ=d^r,

puisque Θ∧f^∗ω^r ne charge pas l’hyperplan (t= 0). On peut donc trouver un courant T de bidegré (k−r−1, k −r−1) tel que λ⁻¹f_∗Θ = Θ +dd^cT. Lorsque f ∈Aut(C^k), f_∗Θ = (f⁻¹)^∗Θ est lisse dansC^k et on peut choisir T lisse hors d’un petit voisinageWXf

deXf. Lorsquef n’est pas inversible,f_∗Θprésente des singularités aux valeurs critiques def qui rencontrentf(SuppΘ). L’hypothèse (H4) implique cependant l’existence d’un potentielT₀⁻ particulier.

LEMME 2.4. – SoientW_Xf un petit voisinage deX_fdansP^kets:=k−r−1. Il existeT0⁻, un courant de bidegré(s, s)surP^k, etC0>0tels que

1

λf_∗Θ = Θ +dd^cT₀⁻ et 0T₀⁻C₀

ω^s+f_∗ω^s

dansP^k\W_Xf.

Preuve. – SoitL1un sous-espace linéaire de dimensionrdeP^ktel queL1∩If=∅. On choisit L₁très proche de l’infini(t= 0). Commef est propre,f(L₁)est également proche de(t= 0)et rencontref(Cf)près deX_f d’après l’hypothèse (H4). SiΘ₁désigne une régularisation deL₁, on en déduit quef_∗Θ₁est lisse dansP^k\W_Xf. Commeλ⁻¹f_∗Θ₁est cohomologue àΘ, on peut trouverT₁⁻un courant de bidegré(s, s)surP^k tel que

1

λf_∗Θ1= Θ +dd^cT₁⁻ et 0T₁⁻C0ω^s dansP^k\WXf.

En effet on peut choisir T1⁻ lisse dans P^k\W_Xf et le supposer positif, quitte à ajouter un grand multiple de ω^s. Observons à présent que Θ₁ et Θ sont lisses et cohomologues. Soit T₂⁻ une forme lisse de bidegré (s, s)sur P^k telle queΘ = Θ1+dd^cT₂⁻. Quitte à ajouter un

grand multiple deω^set agrandirC₀, on peut supposer0T2⁻C₀ω^s. On conclut en posant T₀⁻=T₁⁻+λ⁻¹f_∗T₂⁻. 2

La construction de T_k−r⁻ s’ensuit assez simplement. L’action de f_∗ sur les formes lisses de bidegré(k−r, k−r)se comporte bien sous itération (par dualité), en particulier(f^j+1)_∗Θ = f_∗((f^j)_∗Θ)pour toutj∈N. Une récurrence immédiate fournit ainsi

1 λ^j

f^j

∗Θ = Θ +dd^cT_j⁻, avecT_j⁻:=

j−1

l=0

1 λ^l

f^l

∗T₀⁻.

OrXfest un attracteur pourf, on peut donc supposerf WXf ⊂WXf. On en déduit que

0T_j⁻2C0 j

l=0

1 λ^l

f^l

∗ω^k−r−1 dansP^k\WXf. La suite de courantsT_j⁻est croissante dansP^k\WXf et de masse

0

P^k\WXf

T_j⁻∧ω^r+12C0 j

l=0

1 λ^l

P^k

f^l

∗ω^k−r−1∧ω^r+12C0 l0

δr+1(f^j) λ^l .

L’hypothèse (H3),λ > λr+1(f), assure la convergence (géométrique) de cette série. Ainsi(T_j⁻) converge dansP^k\WXf vers un courantT_∞⁻0, d’où

1 λ^j

f^j

∗Θ−→T_k−r⁻ := Θ +dd^cT_∞⁻ dansP^k\W_Xf.

CommeWXf est arbitrairement proche deXf, la convergence a lieu dansP^k\Xf. Les courants positifs fermés de bidimension(r, r)ne chargeant pas les ensembles analytiques de dimension r−1 (c’est le cas de X_f), la convergence a en fait lieu dans tout P^k. Le courant limite T_k−r⁻ ∈ T^k−r(P^k)vérifie, par construction, la relation d’invariance

f_∗T_k−r⁻ =λT_k−r⁻ , et est de masseT_k−r⁻ = 1.

L’existence d’un potentiel T_∞⁻0 garantit queT_k−r⁻ n’est pas le courant d’intégration sur un ensemble analytique de dimensionr. En fait nous établissons un résultat bien plus fort, dans l’esprit de [20,6]. Rappelons qu’une fonction quasiplurisousharmonique (qpsh) est localement la somme d’une fonction plurisousharmonique et d’une fonction lisse. On note QPSH(P^k) l’ensemble des fonction qpsh surP^k.

PROPOSITION 2.5. – On a

QPSH P^k

⊂L¹

T_k−r⁻ ∧ω^r .

En particulierT_k−r⁻ ne charge pas les ensembles pluripolaires.

Preuve. – Une fonction qpsh surP^k est semi-continue supérieurement (donc majorée) et de courburedd^cϕ minorée par une forme lisse. Soit ϕ une telle fonction. Quitte à translater et dilaterϕ, on peut supposerϕ0etdd^cϕ−ωsurP^k.

Soitω_X0 une forme lisse fermée de bidegré(1,1) telle queω^r_X≡0au voisinage deX_f (c’est possible carX_f est de dimensionr−1). On peut supposerωX= 1. Les formes lisses ω_X^r etω^rsont donc cohomologues surP^k. Fixonsθ0une forme lisse de bidegré(r−1, r−1) telle queω^r=ω^r_X+dd^cθ. Rappelons queT_k⁻_−r= Θ +dd^c(T_∞⁻)avecT_∞⁻0hors d’un petit voisinage deXf. On peut supposerω_X^r ≡0dans ce voisinage. On obtient ainsi

0

P^k

(−ϕ)T_k−r⁻ ∧ω^r=

P^k

(−ϕ)T_k−r⁻ ∧ω_X^r +

P^k

(−ϕ)T_k−r⁻ ∧dd^cθ

=

P^k

(−ϕ)Θ∧ω_X^r +

P^k

(−ϕ)dd^cT_∞⁻∧ω_X^r +

P^k

(−ϕ)T_k−r⁻ ∧dd^cθ.

La première intégrale est finie carΘ∧ω_X^r est une mesure lisse. Les deux autres se traitent par le théorème de Stokes. On a

P^k

(−ϕ)dd^cT_∞⁻∧ω^r_X=

P^k

−dd^cϕ∧ T_∞⁻∧ω^r_X

P^k

ω∧ T_∞⁻∧ω^r_X<+∞,

puisqueT_∞⁻∧ω_X^r 0dans toutP^k et−dd^cϕω. De même

P^k

(−ϕ)T_k−r⁻ ∧dd^cθ=

P^k

−dd^cϕ∧T_k−r⁻ ∧θ

P^k

ω∧T_k−r⁻ ∧θ <+∞

car T_k⁻_−r ∧θ0. Pour justifier ces intégrations par parties, on peut supposer ϕ lisse puis l’approximer par une suite décroissante de fonctions qpsh. Nous renvoyons le lecteur à [22]

pour plus d’informations sur les fonctions qpsh surP^k. Mentionnons simplement qu’elles sont en correspondance bijective avec les fonctions psh à croissance logarithmique dansC^k; elles caractérisent donc les ensembles localement pluripolaires. 2

Rappelons queT^k−r(P^k)désigne le cône des courants positifs fermés de bidegré(k−r, k−r) surP^k. Considérons le sous-cône

T_f^k_∗^−r P^k

:=

S∈ T^k−r P^k

|f_∗S=λS

des courantsf_∗-invariants. En recopiant la preuve des théorèmes 2.1 et 2.3, on obtient le résultat suivant.

THÉORÈME 2.6. – Soit f:C^k→C^k un endomorphisme polynomial qui vérifie (H1), (H3) et (H4). Le courantT_k⁻_−rest extrémal dans le côneT_f^k−r_∗ (P^k).

Sif est un automorphisme alorsT_k⁻_−rest extrémal dansT^k−r(P^k).

Remarque 2.7. – D’un point de vue dynamique, le théorème 2.6 présente un intérêt supplé- mentaire au théorème 2.1. Lorsquef est un automorphisme, on a en effet remplacé l’hypothèse (H2) par l’hypothèse (H3) qui est dynamiquement plus significative.

On s’attend de plus à ce queT_k−r⁻ soit extrémal dansT^k−r(P^k), même lorsquef n’est pas inversible. Lorsquek= 2,r= 1, ce fait a été établi dans [19, théorème 5.2].

3. Conséquences dynamiques

Dans toute cette section f désigne un endomorphisme polynomial de C^k qui vérifie les hypothèses (H1)–(H4).