PCSI 1 - Stanislas DM de PHYSIQUE N◦4 - 04/11/16 - CORRIGÉ A. MARTIN
Comparaison de deux circuits en régime variable
I. CircuitRL en régime transitoire
1. À l’instantt= 0−, le circuit est en régime stationnaire aveck ouvert. La bobine est équivalente à un fil et donc s(0−) = 0 . Elle n’est parcourue par aucun courant donci1(0) = 0 (doit être continu). Ainsii2(0−) =i(0−) et de mêmei2(0+) = i(0+).
Ceci conduit à i(0−) = 0 , eti(0+) =R+R/2E donc i(0+) =2E
3R et s(0+) =R2i2(0+) =E
3 . On constate donc quesetine sont pas continues ent= 0.
2. Le circuit tend vers un régime permanent stationnaire, donc la bobine sera équivalente à un fil, et s(t)−→
t→∞0 .
3. La petite maille donnes=R2i2, et de pluss=Ldi1
dt. Donc on peut remplacer tous les courants en fonction desdans la seconde maille. Pourt >0 on a
E=R(i1+i2) +R2i2=Ri1+3R2 i2 d’où en dérivant 0 =RLs+ 3 ˙s⇔ τs˙+s= 0 avec τ=3LR . 4. D’oùs(t) =λ e−τt avecλ=s(0+), ce qui donne
s(t) =E
3e−τt avec τ=3L
R . 5. s(t0) =E3×101 ⇔ t0=3L
R ln 10 . 6. L= Rt0
3 ln 10 = 4,3×10−4H.
II. Un circuit plus complexe en régime transitoire
7. On part des grandeurs qui doivent rester continues :i1eti4. At= 0−on est en régime stationnaire donc les bobines équivalent à des fils, et donci2(0−) =i4(0) = 0 eti(0−) =i1(0) =i3(0−). La loi des mailles en passant par les résistances donneE= 2Ri1(0) donci1(0) =2RE.
At= 0+on a toujoursi3(0+) =i(0+) cari4(0) = 0, donc la loi des mailles en passant par les résistances donneE=R(i(0+) +i(0+)−i1(0) +i(0+)) = 3Ri(0+)−E2, d’oùi(0+) =2RE.
Finalement on a i(0+) =i1(0) =i3(0+) = E
2R et i2(0+) =i4(0) = 0 . Et commes=Ri3, on a s(0+) =E 2 . 8. En régime stationnaire, les bobines sont assimilées à des fils, qui court-circuitent donc les résistances asso-
ciées : i2 −→
t→∞0 , i3−→
t→∞0 et s=Ri3−→
t→∞0 . Par conséquentE=Ri, d’où lim
t→∞i= lim
t→∞i1= lim
t→∞i4=E R. 9. a)Commei2 = i−i1 eti3 = i−i4, on obtient avec les 2 petites mailles puis en passant par les
résistances :
i=i1+L R
di1
dt (1)
i=i4+L R
di4
dt (2)
E
R= 3i−i1−i4 (3)
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b)En formant la combinaison d’équations 3(2)+(3) on obtient E
R= 2i4+3L R
di4
dt −i1. (4)
Pour élimineri1, on réalise alors la combinaison (4) +RLdtd(4) + (1) - (2), ce qui donne E
R=i4+ 4L R
di4
dt + 3L2 R2
d2i4
dt2 . (5)
Commes=Ldi4
dt, on redérive cette équation pour obtenir sous forme canonique
¨ s+ω0
Qs˙+ω02s= 0 avec ω0= R
√3L et Q=
√3 4 ≈0,4. 10.L’équation différentielle est sans second membre donc
sans solution particulière. CommeQ < 12, on est en présence d’un régime apériodique. En effet le discri- minent de l’équation caractéristique vaut ∆ =RL22>0, d’où les racines r+ =−RL etr−=−3LR, et la forme générale de la solution : s(t) =λ e−RtL +µ e−Rt3L .
11. a) En notant quedsdt=Lddt2i24, on voit que l’Eq. (5) permet de conclure :dsdt(0+) =RE3L−R3L2i4(0)−4R3Ls(0+) d’où ds
dt(0+) =−RE 3L . b)On obtient le système suivant
s(0+) =E2 = λ+µ
3L
Rs(0˙ +) =E = −3λ−µ
=⇒ λ=−3E
4 et µ=−E 4.
Finalement on obtient s(t) =−E 4
3e−RtL +e−Rt3L.
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