dans le vide (PC*)

Ondes électromagnétiques

dans le vide (PC*)

Ondes électromagnétiques dans le vide

I – Les équations de propagations du champ EM dans le vide : 1 - Obtention des équations de propagation du champ EM :

t grad j

t E E

∂ + ∂

∂ =

− ∂

∆

0 2 0

2 0 0

1

ρ µ

µ ε

ε

t B B

2 0 2 0

0

µ µ

ε

∂

− ∂

∆

Dans une région sans charges ni courants (

0 0

=

= et j

ρ

0

0

2 0 2 0

2 0 0

=

∂

− ∂

∆

∂ =

− ∂

∆

t B B

et t

E ε µ E ε µ

Ces équations sont les équations de propagation du champ EM.

Si l’on note s(t) l’une des six coordonnées des champ EM (E_x,…., B_x,…), alors :

2 2

0 0 2 2 2 2 0 0

1 1

0 0 ( )

s s

s soit s

t c t c

ε µ ^{∂ ∂} ε µ

∆ − = ∆ − = =

∂ ∂

C’est l’équation de d’Alembert (équation classique de propagation des ondes, encore appelée équation des cordes vibrantes) établie au XVIII^ème siècle pour modéliser les vibrations d’une corde tendue.

Les solutions de cette équation traduisent un phénomène de propagation de célérité c.

2 – Solutions de l’équation d’onde de d’Alembert sous forme d’ondes progressives :

Interprétation physique : on considère une fonction de la forme : s ( x,t ) f ( t x )

+ = − c

O Instant

t

Instant t+∆∆∆t ∆

s ( x,t ) f ( t x )

+ = − c

x c t

∆ = ∆

x

Une fonction de la forme ^{f ( t −} _c^{x )} est appelée onde plane progressive.

La solution : ^{s ( x,t )− = f ( t +} _c^{x )} représente un signal qui se propage sans déformation à la vitesse c le long de l’axe (Ox) dans le sens négatif.

Remarque :

Des ondes sphériques sont également solution de l’équation de propagation de d’Alembert tridimensionnelle.

On cherche, par exemple, des solutions à symétrie sphérique s(r,t).

Soit :

1 x 1 x

s( r ,t ) f ( t ) g( t )

r c r c

= − + +

Les deux termes de cette somme représentent des ondes sphériques respectivement divergente et convergente.

On constate que le signal ne se propage pas sans déformation en raison de l’affaiblissement exprimé par le facteur 1 / r.

II – Ondes planes progressives monochromatiques (ou harmoniques) : 1 – Ondes planes électromagnétiques :

Une onde plane EM de direction de propagation ^uz

est une structure du champ EM dans laquelle les coordonnées des champs

E

et B

sont des fonctions de la forme :

 

 



 −

= c

t z f t

z s ( , )

Toute coordonnée du champ a, à un instant donné, même valeur en tout point d’un plan z = cste.

Un tel plan, orthogonal à la direction de propagation u^z

, est appelé plan d’onde.

2 – Solutions sinusoïdales de l’équation de propagation de d’Alembert :

On se limite ici à des solutions harmoniques de l’équation de d’Alembert.

En notation réelle, le champ électrique pourra s’écrire :

) cos(

)) (

cos(

) ,

(

E

t kz

c t z

E t

z

E = ω − = ω −

Avec :

z

z

u

u c k

k

_{= =} ω

(vecteur d’onde)

En notation complexe, on notera le champ EM sous la forme :

) (

)

,

( z t E e

E =

et

B ( z , t ) = B

e

Si la direction de l’onde est quelconque, dans la direction du vecteur unitaire

u

:

) . (

)

, , ,

( x y z t E e

E

=

) . (

)

, , ,

( x y z t B e

B

=

où :

u k

k

=

(^u

vecteur unitaire donnant le sens de propagation) est le vecteur d’onde et :

OM

r =

(O, origine du repère et M le point d’observation)

L’expression du Laplacien devient :

2 2 2 2

(

)

E k k k E k E

∆ = − + + = −

Par ailleurs :

2

2 2

E E ; divE k .E ; rotE ik E

t

ω

∂ = − = − = − ∧

∂

L’équation d’onde de d’Alembert donne alors (relation de dispersion dans le vide) :

2 2 2

2 2

2

1 ( ) 0

) (

c k

soit E

c E

k ω

ω ^{= =}

−

−

−

D’où :

k ω c

=

3 – Structure des ondes planes progressives monochromatiques :

0 .

0

. E = et u B =

u

c E B u

ou u

c B

E _z ^z

= ∧ = ∧

Plan d’onde z=cste

E

B

u

c E

B

u

c

k 1

k .E 0 ; k .B 0 ; B E u E

ω c

= = = ∧ = ∧

4 – Propagation de l’énergie :

La densité d’énergie u_em pour une onde plane progressive vaut :

2 0 2

0 2

1 2

1 E B

u_em

ε + µ

=

Soit :

2 0 2

0

1 B E

u_em

ε = µ

= Vecteur de Poynting :

µ0

B E

∧

= Π

z em

z

cu u

u E

c

= =

Π ε

Valeurs moyennes :

Utilisation de la notation complexe pour la puissance :

Si f et g sont deux fonctions sinusoïdales en notation complexe, alors la partie réelle moyenne du produit fg est :

) . 2 Re(

1 _*

g f fg =

où ^g* est le conjugué de g.

On peut notamment appliquer cette formule pour calculer la puissance moyenne en électricité :

ϕ

ϕ

2 cos ) 1

. 2 Re(

1 *

e e m

mI U I

U i

u ui

P = = = =

La valeur moyenne de la densité d’énergie EM est alors :



 



 +

= Re( . )

2 1 ) 1

. 2 Re(

1 2

1 ^*

0

*

0 E E B B

e_em

ε µ

Soit :

2 0 0 2

0 0 2

0

0 2

1 2

1 2

1 2

1 E B E

e_em ε

ε µ  =



 



 +

=

La valeur moyenne du vecteur de Poynting se calcule de la même manière :

)) (

2 Re(

) 1 Re( 1

2

1 ^*

0

*

0

c E E u

B E

∧

∧

=

∧

=

Π µ µ

Soit :

u cE E

u E u E c E

2 0 0

*

*

2 ) 1 .

. 2 Re(

1 ε

µ ^{− =}

= Π

Vecteur de Poynting moyen et puissance moyenne reçue par un détecteur : vitesse de propagation de l’énergie

Soit v_e la vitesse de propagation de l’énergie.

On considère le cylindre de section droite (S) de génératrices de longueur v_edt parallèles à la direction de propagation.

L’énergie qui va traverser cette surface pendant dt est alors u_emv_eSdt.

Elle est par ailleurs égale au flux du vecteur de Poynting (multiplié par dt), soit :

u c v

soit Sdt

Sdt v

u

em em

em

em Π =

= Π

=

Dans le vide, la vitesse de propagation de l’énergie est la vitesse de la lumière dans le vide, c.

Ordres de grandeur :

• Amplitudes des champs EM d’un faisceau laser :

Un laser hélium-néon émet un faisceau cylindrique de section droite 1 mm ² et de puissance 1 mW. Il produit une onde polarisée rectilignement. Déterminer l’amplitude des champs EM.

L’onde est quasi-plane sinusoïdale car la largeur du faisceau est bien supérieure à la longueur d’onde. Les champs EM valent :

c T B E

m S V

E₀ 2 ⁰cP 8,7.10² . ₋¹ ; ₀ ⁰ 2,9.10₋⁶

=

=

=

=

µ

III – Polarisation des ondes EM :

1 – Représentation vectorielle réelle d’une onde plane progressive monochromatique :

On considère une onde EM plane progressive monochromatique de pulsation ω se propageant dans le vide.

On choisit l’axe (Oz) comme l’axe de propagation, soit ^k _c ^uz

ω

= . Alors, en notation réelle :

) cos(

) cos(

0 0

ϕ ω

ω

−

−

=

−

=

kz t

E E

kz t

E E

y y

x x

Le champ magnétique s’en déduit (à partir de _c

E B u^z

∧

= ) :

) cos(

) cos(

0 0

ϕ ω

ω

−

−

=

−

−

=

kz c t

B E

kz c t

B E

x y

y x

2 – Polarisations d’une onde plane progressive monochromatique

Pour définir la polarisation d’une onde plane EM progressive harmonique, on se place toujours dans un plan de cote z₀ donnée, que l’on prendra nulle par exemple.

) cos(

) cos(

0 0

ϕ ω

ω

−

=

=

t E

E

t E

E

y y

x x

• Polarisation rectiligne :

La polarisation rectiligne correspond au cas où le champ électrique garde une direction constante au cours du temps, que l’on peut choisir parallèle à l’axe (Ox) :

u

t E

E

=

cos ω

• Polarisation circulaire :

Application : décomposition d’une onde à polarisation rectiligne comme la superposition de deux ondes circulaires :

• Polarisation elliptique :

) cos(

) cos(

0 0

ϕ ω

ω

−

=

=

t E

E

t E

E

y y

x x

ϕ

ϕ

2

0 0

0 2

0

sin cos

2   =





 

 + 

 





 





 



 

− 

 



 



y y y

y x

x x

x

E E E

E E

E E

E