Ondes EM dans le vide

Texte intégral

(1)PSI Moissan 2012. Ondes EM dans le vide. Février 2013. Ondes électromagnétiques dans le vide I. Propagation du champ électromagnétique dans le vide. I.1. Equations de Maxwell dans le vide. Dans le vide, la densité de charge ρ et la densité de courants ~j sont nulles, ce qui donne les équations suivantes : Ñ Ý div E “ 0 pMaxwell ´ Gaussq (1) Ñ Ý div B “ 0 pMaxwell ´ Thomsonq (2) Ñ Ý BB Ý ÝÑÑ pMaxwell ´ Faradayq (3) rot E “ ´ Bt Ñ Ý BE Ý ÝÑÑ rot B “ 0 µ0 pMaxwell ´ Ampèreq (4) Bt. I.2. Equation de propagation. On cherche à coupler les équations entre elles. On commence par prendre la dérivée par rapport au temps de l’équation (3) ce qui donne ˜ Ñ Ý¸ B ÝÑÑ B BB Ý prot E q “ ´ Bt Bt Bt En inversant à gauche dérivée temporelle et dérivée spatiales, on obtient ˜ Ñ Ý¸ Ñ Ý B2 B ÝÑ B E rot “´ 2 Bt Bt Or. Ñ Ý BE 1 ÝÑÑ Ý “ rot B Bt 0 µ0. donc. ˙ Ñ Ý 1 ÝÑÑ B2 B Ý rot B “ ´ 2 0 µ0 Bt ÝÝÑ Ý Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý ÝÑ ÝÑÑ On utilise alors le fait que rotprot B q “ gradpdiv B q ´ ∆ B et div B “ 0 pour écrire ÝÑ rot. ˆ. Ñ Ý 1 B2 B Ñ Ý ´ ∆B “ ´ 2 0 µ0 Bt soit en regroupant les termes, l’équation de propagation du champ magnétique Ñ Ý B2 B Ñ Ý ∆ B ´ 0 µ0 2 “ 0 Bt Ñ Ý Avec la même méthode, mais partant de l’équation (4), on peut obtenir la même équation pour E . On parle donc de propagation du champ électromagnétique, dont les équations s’écrivent 1.

(2) Ondes EM dans le vide. Février 2013. Ñ Ý Ñ Ý 1 B2 E 1 B2 B Ñ Ý Ñ Ý ∆ B ´ 2 2 “ 0 et ∆ E ´ 2 2 “ 0 c Bt c Bt. (5). PSI Moissan 2012. avec. 1 0 µ0. c2 “. II. Structure des ondes planes progressives harmoniques. II.1. Description des champs. Les champs électriques et magnétique possèdent chacun 3 composantes. la propagation du champ est donc à priori décrite par six équations de d’Alembert scalaires 1 B 2 ai “0 c2 Bt2 Ñ Ý Ñ Ý où ai représente n’importe quelle composante de B ou E . Une onde plane progressive harmonique est solution de l’équation de d’Alembert et a pour expression ∆ai ´. ai pM, tq “ ai0 cospωt ´ ~k ¨ ~r ` φi q où ω représente la pulsation temporelle, ~k le vecteur d’onde qui indique la direction de propagation ~u, ÝÝÑ ~r “ OM et φi la phase à l’origine.. II.2. Relation de dispersion. La relation de dispersion est obtenue en injectant la solution en OPPH dans l’équation de d’Alembert ∆ai pM, tq “ ´k 2 ai pM, tq et donc ´k 2 ai pM, tq `. B 2 ai pM, tq “ ´ω 2 ai pM, tq Bt2. ω2 ai pM, tq “ 0 c2. ce qui donne la relation de dispersion ω c La relation de dispersion se traduit par la relation période-longueur d’onde k“. λ “ cT puisque k “ 2π{λ et ω “ 2π{T .. II.3. Notation complexe. La notation complexe de l’OPPH est <tai0 exppipωt ´ ~k ¨ ~rqqu “ ai pM, tq “ ai0 cospωt ´ ~k ¨ ~r ` φi q Elle permet d’utiliser les relations suivantes pour un champ vectoriel complexe : Ñ Ý Ñ Ý Ý Ñ Ý ÝÑÑ div A “ í~k ¨ A et rot A “ í~k ^ A 2.

(3) PSI Moissan 2012. Ondes EM dans le vide. Février 2013. ce qui permet de réécrire les équations de Maxwell pour les champs en notation complexe Ý ~k ¨ Ñ E Ý ~k ¨ Ñ B Ñ Ý ~ ík ^ E Ñ Ý í~k ^ B. “ 0 pMaxwell ´ Gaussq “ 0 pMaxwell ´ Thomsonq Ñ Ý “ íω B pMaxwell ´ Faradayq Ñ Ý “ iω0 µ0 E pMaxwell ´ Ampèreq. donc Ý ~k ¨ Ñ E Ý ~k ¨ Ñ B Ý ~k ^ Ñ E Ý ~k ^ Ñ B. II.4. “ 0 pMaxwell ´ Gaussq “ 0 pMaxwell ´ Thomsonq Ñ Ý “ ω B pMaxwell ´ Faradayq Ñ Ý “ ´ω0 µ0 E pMaxwell ´ Ampèreq. Structure de l’onde plane progressive harmonique. Ñ Ý Ñ Ý Les expressions précédentes montrent que les champs E et B sont orthogonaux à ~k, donc à la direction de propagation. Les ondes électromagnétiques sont donc des ondes transversales. Par ailleurs, l’équation Ñ Ý Ñ Ý de Maxwell-Faraday montre que p~k, E , B q est un trièdre direct. Les ondes EM sont des ondes transversales et la relation Ý ~k ^ Ñ E Ñ Ý B “ ω Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý permet de calculer B facilement tout en montrant que p~k, E , B q est un trièdre direct. Pour finir, Ñ Ý || E || Ñ Ý || B || “ c Onde plane quelconque En raison de la linéarité de l’équation de d’Alembert et des résultats de l’analyse harmonique, qui prévoient qu’une onde plane peut se décomposer en somme d’OPPH, les résultats sur la structure de l’onde sont valables pour toutes les ondes planes.. II.5. Polarisation. Les propriétés de structure de l’onde ne permettent pas de déterminer la direction du champ électrique. La notion de polarisation permet de préciser cette caractéristique. Définition La direction du champ électrique d’une OPPH dans le plan d’onde définit la direction de la polarisation de cette onde. Cette polarisation est susceptible d’évoluer dans le temps. La donnée de la direction du champ électrique permet de calculer le champ magnétique. Ñ Ý On étudie l’état de polarisation en décrivant la trajectoire de l’extrémité du champ E pM, tq dans le plan d’onde, l’observateur voyant l’onde arriver vers lui.. 3.

(4) Ondes EM dans le vide. PSI Moissan 2012. Février 2013. Polarisation elliptique On considère une OPPH se propageant vers les x croissants : Ñ Ý E pM, tq “ E0y cospωt ´ kx ´ φy q~ey ` E0z cospωt ´ kx ´ φz q~ez On peut choisir arbitrairement l’origine des temps et donc φy “ 0, soit Ñ Ý E pM, tq “ E0y cospωt ´ kxq~ey ` E0z cospωt ´ kx ´ φq~ez L’extrémité du champ électrique décrit dans le plan d’onde la trajectoire d’équation paramétrique " Y ptq “ E0y cospωt ´ kxq Zptq “ E0z cospωt ´ kx ´ φq Pour trouver l’équation de la trajectoire, on doit éliminer t. En développant cospωt ´ kx ´ φq “ cospωt ´ kxq cospφq ` sinpωt ´ kxq sinpφq et en utilisant cospωt ´ kxq “ on obtient cospωt ´ kx ´ φq “. Y ptq E0y. Zptq “ cospωt ´ kxq cospφq ` sinpωt ´ kxq sinpφq E0z. donc sinpωt ´ kxq “. Y ptq cospφq Zptq ´ E0z sinpφq E0y sinpφq. ce qui donne en calculant cos2 pωt ´ kxq ` sin2 pωt ´ kxq “ 1 ˆ. Y ptq E0y. ˙2. ˆ `. Zptq Y ptq cospφq ´ E0z sinpφq E0y sinpφq. ˙2 “1. qui est l’équation cartésienne d’une ellipse. Dans le cas le plus général, une OPPH est polarisée elliptiquement : l’extrémité du champ électrique dans un plan d’onde donné décrit une ellipse. Si l’ellipse est parcourue dans le sens trigonométrique, la polarisation est dite elliptique gauche (figure plus bas), dans le cas contraire elliptique droite. z ă. y. x. 4.

(5) Ondes EM dans le vide. PSI Moissan 2012. Février 2013. Polarisation rectiligne Dans le cas particulier, mais oh combien important, où φ “ π,ou φ “ 0, l’équation paramétrique se ramène à " Y ptq “ E0y cospωt ´ kxq Zptq “ ˘E0z cospωt ´ kxq Le champ électrique garde alors une direction constante. L’onde est polarisée rectilignement. Polarisation circulaire Dans le cas où φ “ ˘π{2 et si les 2 composantes ont même amplitude, alors " Y ptq “ E0 cospωt ´ kxq Zptq “ ˘E0 sinpωt ´ kxq C’est l’équation d’un cercle de rayon E0 . La polarisation est alors circulaire. Elle peut être circulaire droite ou gauche (cf convention elliptique). États de base On peut montrer que toute OPPH peut se mettre sous la forme de deux ondes polarisées rectilignement perpendiculaires entre elles. On peut aussi montrer que toute OPPH peut se mettre sous la forme de deux ondes polarisées circulairement et de sens opposé.. III. Aspect énergétique. On s’intéresse ici, sans réduire la généralité, à une OPPH se propageant dans le sens des x croissants : Ñ Ý Ñ Ý E pM, tq “ E 0 cospωt ´ kx ` φq. III.1. Densité volumique d’énergie électromagnétique. La densité volumique d’énergie électromagnétique est donnée par εpM, tq “. ε0 E 2 pM, tq B 2 pM, tq ` 2 2µ0. Compte tenu du lien entre B et E, on peut écrire εpM, tq “. ε0 E 2 pM, tq ε0 E 2 pM, tq ` “ ε0 E 2 pM, tq 2 2. Il y a donc équipartition de l’énergie entre le terme magnétique et le terme électrique. Remarque La description en onde plane définie en non nulle sur tout l’espace est ici mise en défaut, menant à une énergie totale infinie. Nous verrons comment résoudre ce problème dans le chapitre suivant en superposant des ondes planes.. III.2. Vecteur de Poynting. Le vecteur de Poynting vaut par définition Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý E^B E ^ p~k ^ E q Ñ Ý Π “ “ µ0 µ0 ω 5.

(6) Ondes EM dans le vide. PSI Moissan 2012. Février 2013. Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý En utilisant la formule du double produit vectoriel A ^ p B ^ C q “ p A ¨ C q B ´ p A ¨ B q C Ñ Ý Ñ Ý E 2~k ´ p~k ¨ E q E Ñ Ý Π “ µ0 ω ce qui donne k Ñ Ý Π “ E 2~ex “ cε0 E 2~ex µ0 ω Le vecteur de Poynting est donc dirigé dans le sens de la propagation de l’onde. Remarque Le vecteur de Poynting doit absolument être calculé à partir des champ réels. Dans l’hypothèse où on ne s’intéresse qu’à la moyenne temporelle du vecteur de Poynting, on peut cependant utiliser les notations complexes et la formule #Ñ Ý ÝÑ˚ + 1 E ^B Ñ Ý xΠy “ < 2 µ0. III.3. Propagation de l’énergie. Ñ Ý L’énergie traversant la surface d S perpendiculaire à la propagation pendant un intervalle de temps dt s’écrit Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý dE “ Π ¨ d S dt “ cdtε0 E 2 d S ¨ ~ex “ cdtdSε “ cdtdSε0 E 2 par définition du vecteur de Poynting. On peut aussi écrire l’énergie contenue dans le cylindre de section Ñ Ý d S et de longueur cdt dE “ cdtdSε “ cdtdSε0 E 2 On a donc montré que l’énergie traversant la surface dS pendant dt se retrouve dans le volume cdtdS donc que la propagation de l’énergie se fait à la vitesse c.. IV IV.1. Réflexion sur un plan conducteur Mise en équation. On considère une OPPH polarisée selon ~ey se propageant dans le sens des x croissants dans le demi espace x ă 0. Le demi espace est occupé par un conducteur parfait. Le champ magnétique est déterminé par la structure de l’onde plane. On peut donc écrire B0i Ñ Ý Bi “ cospωt ´ kxq~ex c. Ñ Ý E i “ E0i cospωt ´ kxq~ey. Le conducteur parfait est caractérisé par le fait que le champ électromagnétique est nul pour x ą 0 : Ñ Ý Ý Ñ Ý Ñ Ñ Ý Ñ Ý E “ 0 , B “ 0 ~j “ 0 , ρ “ 0.. IV.2. Onde réfléchie. Relation de passage La composante tangentielle du champ électrique est continue à la traversée de la surface. Cette condition ne peut être assurée avec le champ incident seul puisque Ñ Ý E i px “ 0, tq “ E0i cospωtq~ey. 6.

(7) PSI Moissan 2012. Ondes EM dans le vide. Février 2013. est différent de 0. Il faut donc supposer que le champ total dans l’espace x ă 0 est la superposition du champ incident et d’un champ réfléchi se propageant dans le sens des x décroissants : ´ ´ x¯ x¯ Ñ Ý Er “ f t ` ~ey ` g t ` ~ez c c On peut alors réécrire la relation de passage pour la composante tangentielle du champ électrique Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý E t px “ 0, tq “ E i px “ 0, tq ` E r px “ 0, tq “ 0 En développant E0i cospωtq~ey ` f ptq~ey ` gptq~ez “ 0 ce qui impose gptq “ 0. Il n’y a donc pas de composante polarisée rectilignement sur ~ez . En projetant sur ~ey f ptq “ É0i cospωtq @t On a donc alors ´ ´ ´ ´ x ¯¯ x¯ x¯ f t` “ É0i cos ω t ` “ É0i cos ωt ` ω “ É0i cos pωt ` kxq c c c Le champ électrique réfléchi par un conducteur parfait est donc Ñ Ý E r “ É0i cos pωt ` kxq ~ey L’onde se propageant dans le sens des x décroissants, la relation de structure s’écrit Ý ~kr ^ Ñ Er ´k~ex ^ pÉ0i cos pωt ` kxq ~ey q E0i Ñ Ý Br “ “ “ cos pωt ` kxq ~ez ω ω c Le champ électrique réfléchi par un conducteur parfait est donc E0i Ñ Ý Br “ cos pωt ` kxq ~ez c. IV.3. Onde stationnaire. Le champ électrique total est la superposition du champ incident et du champ réfléchi Ñ Ý E t “ E0i cospωt ´ kxq~ey ´ E0i cos pωt ` kxq ~ey “ E0i~ey rcospωt ´ kxq ´ cospωt ` kxqs Or cospωt ´ kxq ´ cospωt ` kxq “. cospωtq cospkxq ` sinpωtq sinpkxq ´pcospωtq cospkxq ´ sinpωtq sinpkxqq “ 2 sinpωtq sinpkxq. On peut donc écrire le champ électrique total comme une onde stationnaire Le champ électrique total est donc Ñ Ý E t “ 2E0i sinpωtq sinpkxq~ey On peut montrer (et c’est un bon exercice de cours !) que Le champ électrique total est donc E0i Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý Bt “ Bi ` Br “ 2 cospωtq cospkxq~ez c Ñ Ý Ñ Ý Remarque Les champs E t et B t ne sont pas reliés par la relation de structure des ondes planes. 7.

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