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Les ondes de polarisation dans les solides
André Kahane
To cite this version:
André Kahane. Les ondes de polarisation dans les solides. Journal de Physique, 1963, 24 (6), pp.394-
404. �10.1051/jphys:01963002406039400�. �jpa-00205492�
394.
EXPOSE ET MISE AU POINT BIBLIOGRAPHIQUE
LES ONDES DE POLARISATION DANS LES SOLIDES Par ANDRÉ KAHANE,
Faculté des Sciences de Grenoble.
Résumé. 2014 La théorie des ondes de polarisation concerne les ondes élastiques se propageant
dans un milieu à forte polarisabilité ionique.
Les bases de la théorie sont exposées à partir de la présentation classique de Born et Huang et
ses applications sont passées en revue. Quelques indications sont données sur les développements
récents de la théorie des ondes de polarisation en liaison avec les propriétés ferroélectriques des
cristaux.
Abstract.
2014The theory of polarisation waves is concerned with elastic waves moving in a
medium of high ionic polarisability.
The bases of the theory are set forth from Born and Huang’s standard exposition as a starting- point, then we give a survey of its applications. A few indications are given of the latest develop-
ments of the theory of polarisation waves in connection with the ferroelectric properties of crystals.
LE JOURNAL DE PHYSIQUE 24, 1963, 394.
Introduction.
-On a coutume d’appeler ondes de polarisation les ondes élastiques qui se propagent dans
les cristaux a forte polarisabilité ionique ; cette propa-
gation s’accompagne d’une polarisation periodique du
milieu dont il faut tenir compte dans 1’6tude des vibra- tions du reseau cristallin.
Les m6thodes appliquees a ce probl6me sont bas6es
sur une theorie macroscopique que nous exposons dans la premiere partie de cette étude ; nous nous inspirons
de la presentation classique de Born et Huang [1].
Dans la seconde partie, nous essayons de faire une
analyse critique de la theorie pour en preciser les
limites et en indiquer les généralisations possibles.
Dans la troisieme partie, nous montrons comment de
nombreux auteurs ont d6velopp6 la theorie des-ondes de polarisation, en particulier, sous une forme micro- scopique, pour relier entre elles diverses propri6t6s des
cristaux ioniques.
Dans la quatri6me partie, nous donnons quelques
indications sur les développements r6cents de la theorie des ondes de polarisation en liaison avec les proprietes ferroélectriques des cristaux.
I.
-Th6orie macroseopique
des ondes de polarisation.
L’étude des ondes de polarisation exige, en principe, qu’on tienne compte des interactions entre ions tr6s
6loign6s dans le réseau. Pratiquement, on admet que seuls les ions proches voisins d’un ion donne exercent
sur ce dernier une action directe et l’on exprime 1’effet
des autres ions a travers la polarisation macroscopique
dn milieu ; on attribue a cette polarisation la période
et la phase de l’onde élastique.
r
C’est ainsi qu’ont ete etudies les cristaux ioniques de symétrie cubique ; on montre qu’on doit distinguer,
dans ces cristaux, les ondes elastiques longitudinales et
transversales associ6es a un meme vecteur d’ondes k meme lorsque lki tend vers 0 (cf. I, parag. 1) ; on peut, ensuite, 6tablir certaines relations entre propri6t6s mécaniques, 6lectriques et optiques des cristaux ioni- ques (ct parag. 2).
Citons, parmi leo premieres etudes, celles de Keller-
mann [2], de Lyddane, Sachs et Teller [3] qui 6ta-
blirent
-par des considerations d’électrostatique un
peu artificielles - la relation :
(w1 et cjt sont les pulsations des ondes longitudinales
et transversales, so et les constantes di6lectriques
a tres basse et tres haute fréquence). Citons parmi
les exposes d6taill6s recents, ceux de Born et Huang [1],
Frolich [4], Herpin [5].
1. Distinction entre ondes longitudinales et trans- versales.
-Consid6rons une onde élastique, plane, de
vecteur d’ondes k et de pulsation w ; la polarisation P, le champ moyen E et le deplacement 6lectrique
D = E + 47rP sont des fonctions p6riodiques du temps
et de 1’espace suivant une loi en exp i(kr
-mt).
La vitesse de l’onde élastique co Ilkl est tres inf6rieiire a la vitesse de la lumiere si bien qu’on peut negliger les
effets de retard (pour une etude des effets de retaid,
voir Born et Huang [1], p. 89). On supposera aussi
qu’il n’existe ni charges 6lectriques libres ni effet de conduction.
Dans ce cas, on peut toujours écrire, d’apres les
définitions memes du champ et de l’induction 6lee-
trique
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01963002406039400
Supposons d’abord P parallele a k ondes longitudi- nales ; on verifie ais6ment que V A P = 0 done
d’après I,1
Des relations 1,2 et 1,3 on deduit
Supposons, ensuite, P perpendiculaire a k, ondes transversales ; V.p = 0, done d’après 1,2.
Des relations 1,1 et 1,4 on dédnit
Ainsi le champ moyen dans le cristal
-qui traduit
les actions a grande distance
-est-il different suivant
que les ondes de polarisation sont transversales ou
longitudinales.
La demonstration s’applique, en toute rigueur, a un
milieu infini. Les résultats restent cependant valahles
si les dimensions du cristal sont tres sup6rieures a la longueur d’onde 2n Ilkj de l’onde élastique. Dans la
suite on appellera done ondes longues les ondes de pola-
risation dont la longueur d’onde est grande par rapport
aux distances interatomiques mais reste petite par
rapport aux dimensions du cristal.
2. Loi de dispersion de la constante di6lectrique.
Formule de Lyddane.
-Nous allons montrer qu’il
est possible d’établir la loi de dispersion de la cons-
tante dielectrique, de calculer le rapport des pulsations
des deux types d’ondes, w1/wt, pour Iki petit
-ondes
longues
-a partir d’une representation phenomeno- logique du comportement dynamique du cristal. Le principe de cette presentation est du 6 Huang [6].
Soit W le deplacement relatif des ions + et - ; le
mouvement relatif de ces ions, dans une vibration de
fréquence m du reseau est défini par
ou
-aW et bE expriment respectivement les actions a coiirte et longue distance. E est ici le champ moyen
ou champ macroscopique. On pose, d’autre part
en admettant que l’on peut distinguer dans la polari-
sation du milieu deux termes independants respecti-
vement proportionnels au deplacement relatif des ions et au champ moyen.
A partir de 1,5, 1,6 et de la relation définissant la
constante diélectrique : zE. = É + 4nP, on peut eta- hlir la formule de dispersion
L’application de cette relation au cas des fréquences optiques (w ---> oo), du champ statique (w = 0), des
ondes longitudinales (E = - 47rP) ou transversales
(E = 0) donne les expressions suivantes :
En eliminant a, b, c, d, entre ces qnatre 6quations,
on etahlit la relation de Lyddane
On peut 6galement écrjre la relation 1,7 sons la forme classirlne :
En comparant 1,13 et 1,7 on peut exprimer a, b, c et d en fonction de e,,, e,. cot. Cela est particulierement
int6ressant si l’on peut relier abcd aux propri6t6s microscopiques du cristal (voir III).
3. Pr6sentation semi-microscopique.
-On peut
d6duire les résultats precedents d’une theorie semi-
microscopique : c’est la voie suivie a l’origine par Lyd-
dane et coll. [3] et reprise par Frulich [4] sous iine
forme plus precise.
On definit le champ effectif ou champ de polarisation agissant sur un ion M qui n’est pas 6gal au champ
moyen calcule plus haut ; il faut, en effet, tenir compte
de la r6partition discontinue des charges et eliminer,
dans le calcul du champ, la contribution de l’ion M
considéré ; l’artifice suivant permet de la faire : on d6coupe autour de M une sphere grande par rapport à
la maille du r6seau, petite devant la longueur d’onde
de l’onde de polarisation ; le champ agissant sur M
est la somme du champ moyen cree par le milieu exte- rieur a la sphere, du champ des charges supjrficiellos
laiss6es sur la cavite gph6rique par la polarisation, (4n /3) P, et du champ produit par les dipoles int6rieurs
a la sphere ; dans un milieu de symétrie cl1hiql1P, ce
dernier champ est nul si bien que
Soit, encore, d’apres les résultats du paragraphe 1°, I,
Eeff ::---(8n/3) P pour les ondes longitudinales. 1,15 Eeff
= { (l11t /3) P pour les ondes transversales.
En r6siimant une presentation assez complexe, la
m6thode de Frölich revient a admettre la validite
d’6quations du type 1,5 et 1,6 ou E repr6sente main-
tenant le champ etfectif :
En eliminant W entre ces 6qtiations, on obtient
D’autre part, en utilisant 1,14 et la definition du
deplacement 6lectrique (c - 1) Emoyen = 4nP, on obtient
En comparant 1,18 et 1,19 dans le cas des ondes optiques, du champ statique, des ondes progressives longues longitudinales ou transversales, on peut 6tablir
la formule de Lyddane ou calculer a’, b’, c’, d’ en fonc-
tion de Eo, Sa, mi, wt.
II.
-Discussion critique de la th6orie macroscopique.
Les valeurs calcul6es du champ moyen associé aux ondes transversales et longitudinales semblent r6sul-
ter d’un artifice de calcul plutot que d’une evidence
physique.
De meme le calcul tres classique du champ effectif à partir du champ moyen est peu rigoureux et 1’on ne peut guere étendre le r6sultat obtenu a des cristaux
appartenant a des groupes de sym6trie non cubiques.
La distinction entre ondes elastiques longitudinales
et transversales associ6es a un vecteur d’ondes k est
6galement matiere a discussion : cette distinction semble perdre toute valeur lorsque k tend vers 0 ; et
meme pour les valeurs finies de k et dans un cristal
cubique, les ondes ne sont purement longitudinales ou
transversales que pour certaines directions privilégiées.
Enfin, la theorie macroscopique est 6videmment insuffisante et il faut tenir compte, dans une approche microscopique, de la complexite du champ cristallin
et des effets d’anharmonicite.
Nous consacrons la partie III de cette etude aux
théories microscopiques et nous y 6voquerons ces ques- tions qui retiennent l’attention de nombreux cher- cheurs.
Dans les paragraphes qui suivent nous allons plutot
nous efforcer de pr6ciser les bases de la theorie macros-
copique expos6e dans la première partie.
1. Théorie du champ coulombien dans un r6seau de
dipoles.
-Nous nous proposons, dans ce qui suit, de pr6ciser les notions de champ moyen, champ interne et champ efifectif en nous inspirant de 1’expos6 de Born et Huang [1]. En meme temps, nous 6tablirons des for- mules valables pour des cristaux non cubiques.
Consid6rons une onde élastique de fréquence to et de
vecteur d’onde y (lyl = 1/À) se propageant dans un
cristal formé de particules charg6es. Pour exprimer
1’action des forces Coulombiennes des ions mobiles en un point M quelconque, on admet que se superposent 1’action des ions supposes fixes en leur position d’équi-
libre et Faction de dipoles oscillants situ6s 6galement
aux noeuds du r6seau.
Si M est un ion dans le cristal, on distinguera parmi
les forces qui agissent sur lui : d’une part, les forces non coulombiennes et les forces coulombiennes dues à
Faction des ions fixes ; d’autre part,l’action des dipoles
oscillants.
On peut exprimer le premier groupe de forces par une force de rappel plus ou moins compliqu6e agissant sur
l’ion M dans la mesure ou les forces non coulombiennes sont a court rayon d’action par rapport a la longueur
d’onde de l’onde élastique.
Pour exprimer Ie deuxi6me groupe de forces, nous allons, dans ce qui suit, calculer le champ créé en un point quelconque M par une infinite de dipoles situ6s
aux noeuds d’un reseau.
Nous utilisons la m6thode d’Ewald appliquee
d’abord pour plus de simplicite au cas d’un reseau simple (comportant un atome par maille) d6fini par L’ondp élastique er6e, aux sommcts dn resean, une polarisation,
La composante suivant oc du champ Coulombien
en un point M tel que OM = x est d6finie par
A 1’aide de l’identit6
la formule 11,3 peut s’écrire
Par une transformation de Fourier on peut d6mon-
trer que X(p) est équivalent a Y(p) (transformation d’Ewald).
ou va est le volume de la maille dans 1’espace direct et
ou y(h) définit la position des noeuds du reseau reci- proque.
Puisque X(p) = Y(p), l’int6grale de la formule 11,5 peut etre coupee en deux parties et le champ Coulom-
bien est d6fini par
A) CHAMP MOYEN OU MACROSCOPIQUE. - Les
expressions X et Y, dans l’accolade (11,8), s’écrivent,
en remplacant X(p) et Y(o) par leurs valeurs (11,6,7)
On calculera El en faisant ainsi deux sommations, l’une dans 1’espace reel l’autre dans l’espace reci-
proque ; pour un choix convenable de R, les deux
sommes convergent rapidement.
Mais la fonction Y est singuliere pour y = 0 ; le
terme de la sommation correspondant a h = 0, visi-
blement responsable de cette singularité, s’écrit apres i ntegration en p et derivation Ô Xoc ô: x effectuées:
Lorsque y tend vers 0, cette expression se r6dult à
Eg§ est la composante du champ moyen calculé en 1, paragraphe 1°. On vérifie que Em varie de
-47tP (ou P = p jva) lorsqu’on passe du cas des ondes longi-
tudinales a celui des ondes transversales.
En 61iminant de Ec (champ Coulombien) la valeur de Em (champ moyen) on d6finit une fonction continue pour y = 0 : le champ interne Ei. Dans la suite nous
calculons la valeur de Ei pour y = 0 (ondes longues) ;
dans ce cas Ei est d6fini par la formule 11,13 :
B) CHAMP EFFECTIF OU D’EXCITATION OU DE POLA- RISATION.
-D’après 11,13 il est visible que Ea n’est
pas defini pour x = x(l) c’est-a-dire aux noeuds du reseau. Pour x = 0 par exemple, la singularite de la
fonction est due a 1’effet du dipole situe a l’origine.
Pour définir le champ agissant a l’origine on doit sous-
traire de Ei la contribution du dipole origine
On obtient Ee" fonction d6finie a l’origine, qui repre-
sente la partie « microscopique » du champ effectif agissant en 0 (le champ effectif Ee, comprend, en outre,
le champ moyen calcule en A).
La valeur de Ea, a l’origine est, tous les calculs faits,
donn6e par 1’expression 11,15 dans laquelle xa xo sont les coordonn6es d’un noeuds du reseau direct et r la dis- tance a l’origine ; de meme Yex, yB et s sont des quantités analogues dans le reseau r6ciproque
La formule pr6c6dente peut etre ais6ment établie dans le cas d’un reseau complexe ou les N atomes d’une
maille sont reperes par la lettre k. La sommation ini- tiale doit etre faite par rapport à B et k ; xa, r3 et r son relatif a la maille l et a 1’atome k dans la maille ; enfin,
dans la sommation par rapport a h, on doit faire figurer 1’expression eneadr6e (x pouvant prendre toutes le
valeurs xl, x,,
...xN). Quant au champ moyen de ]a formule II,11 il est maintenant d6fini par :
les formules 11,15 et 11,16 définissent done, de maniere genprale, le champ effectif Ee == E. + Ee’ agissant sur
un ion place a l’origine.
C) CHAMP DE LORENTZ.
-Nous sommes libres de
choisir la valeur de la limite d’intégration R. Nous
poserons ici .R = vnla. Le deuxi6me terme de 11,15 s’écrit, pour un r6seau complexe
On peut choisir une valeur de a telle que
Le champ E, = 47r/3 P est alors appel6 chanip de
Lorentz et le champ effectif peut finalement etre 6crit de mani6re precise pour un reseau complexe sans
caracteres de symetrie particuliers.
ou AE est defini par ses composantes
398
avec a defini par la relation 11,18 reliant la polarisa-
tion de l’ion origine a la polarisation macroscopique
du milieu.
Dans le cas de cristaux cubiques ioniques (type NaCl), les ions homologues d’indice k ont meme pola- risation ; par rapport a l’ion origine, ils se corres-
pondent dans les operations de symetrie du systeme cubique de sorte que
La partie de Ex associee aux ions d’indice k s’écrit done (pour k # 0) en tenant compte de la relation
pr6c6dente
Or l’égalité
est un cas particulier de la transformation d’Ewald
(11,6,7). En notant que, dans 11,22, la sommation en k est incomplete, on en deduit
Pour les ions d’indice 0, homologues de l’origine, les
deux sommations sont incompletes d’ou
Finaleiiient, en tenant compte de la valeur de a
d6finie par 11,18, AE,,, = AEO + E AEk - 0 ;
k =/= o
le champ effectif, pour les cristaux cubiques est la
somme du champ moyen et du champ de Lorentz.
Cette m6thode de presentation du champ de Lorentz
differe de celle de Born et Huang [1] (appendice VI).
Elle permet de calculer la valeur de AE pour un cristal
quelconque ; elle peut etre transpos6e au calcul des
birefringences en consid6rant les polarisations 6lectro- niques [7].
De mani6re plus g6n6rale, Hall [9] a montre que la theorie des ondes de polarisation, d6velopp6e par Born et Huang pour les cristaux ioniques peut etre adaptee
4 1’6tude de cristaux moléculaires : le calcul de 1’energie
d’un cristal mol6culaire - a une molecule par maille
-
dans un 6tat excite est mathematiquement ana- logue au calcul de 1’energie de vibration d’un cristal
ionique. Ainsi, Hall peut-il remplacer 1’action mutuelle des molecules par 1’interaction entre une molecule et le
champ electromagnetique.
2° Ondes longitudinales et ondes transversales.
-De maniere g6n6rale, dans un reseau cristallin complexe comprenant N atomes par maille, trois vibrations
« acoustiques )) et 3 N - 3 vibrations « optiques » sont
associ6es au vecteur d’onde k. La description du mou-
v emcnt des atomes dans le réseau est compliquee et il n’est, en general, pas possible de définir des ondes longitudinales et transversales.
Dans le cas des cristaux cubiques, de Launay [9]
montre, sans introduire aucune hypothèse sur leur
structure microscopique, que les ondes acoustiques ne peuvent etre s6par6es en longitudinales et transver-
sales par rapport a k, que si k est normal a l’un des
plans (100), (100) ou (1,1,1).
Rosenstock [10], constatant que le meme probleme
n’a pas 6t6 tralt6 pour les modes optiques, étudie, à
titre d’exeinple, un reseau particulier : reseau plan diatomique « carr6 centre » avec forces centrales entre
premiers et seconds voisins ; il montre que lorsque k
tend vers 0, les mouvements des atoires voisins (-/) et (-) sont paralleles dans les modes acoustiques et anti- parall6leg dans les modes optiques ; les deux vibrations optiques sont perpsndiculaires l’une a 1’autre (de
meme les vibrations acoustiques) mais les unes et les
autres ne sont purement transversales ou longitudi-
nales que si k est parallele a Ox ou Oy. Rosenstock signale 6galement que, sur son modele, w1/wt = 1 pour k --> 0 ; il en conclut que la notion d’onde longi-
tudinale ou transversale est, en general, sans fonde-
ment.
Les conclusions de Rosenstock sont erron6es dans la
mesure ou il n6glige, dans 1’etude de son modèle (et
dans la generalisation qu’il en fait) les actions a longue
distance traduite par le champ de polarisation ; le probleme semble, a priori, un cercle vicieux puisqu’il faut, pour calculer la valeur du champ de polarisation,
définir des ondes elastiques longitudinales ou transver-
sales par rapport a un vecteur k ! !
En fait, le domaine de validite de la theorie classique
des ondes de polarisation dans les cristaux cubiques, peut etre precise de la maniere suivante : consid6rons,
en ne tenant pas compte du champ effeetif, un mode
propre optique correspondant a k = 0, triplement d6g6n6r6 ; lorsqu’on tient compte de ce champ pour des valeurs de k tres voisines de 0, nous aligns montrer
que la degenerescence est levee, donnant naissance à
un mode propre simple, longitudinal, et a un mode
propre transversal doublement d6g6n6r6.
Représentons, en effet, un mouvement propre
optique triplement d6g6n6r6 par un oscillateur harmo-
nique OM de pulsation o. Le mouvement de M sur un
axe d’orientation quelconque Ou est un mouvement
,propre. Appliquer, dans le cristal, un champ effectif,
revient a appliquer A l’oscillateur (qui prend mainte-
nant une pulsation w’) :
d’une part, le champ (4n /3) P cos to’ t où P est paral, -
16le a Ou ;
d’autre part, le champ moyen Em (f ormule 11,12) qui
est toujours parallele a k meme lorsque k tend vers 0.
Le mouvement de M sur Ou ne reste mouvement propre associ6 a une pulsation w’ que dans deux cas :
a) lorsque Em donc k est parallele a Ou ; c’est le cas
des ondeb longitudinales,
b) lorsque Em = 0, ce qui a lieu, d’apres II,12, lorsque k est perpendiculaire a P, donc a Ou. C’est le ces
des ondes transversales et w’ = c,,t.
L’orientation de Ou etant quelconque, a toute direc-
tion k on pourra associer une onde longitudinale (en
prenant Ou parallele a k) et une onde transversale doublement d6g6n6r6e (en prenant Ou perpendiculaire
a k). Pour les cristaux de sym6trie cubique on se trouve
dans les conditions enoncees plus haut et pour toute direction associée a un vecteur k qui tend vers 0 on peut d6finir de mani6re univoque w1 et (Dt. 11 n’en est
pas de meme pour les cristaux de plus basse symetrie
comme 1’a montre Poulet [11] (voir III, paragraphe 40).
Boccara [121 a 6tudi6 ce probleme : il a etabli les conditions necessaires et sufflsantes pour qu’un vecteur
d’ondes q, parallele a une direction donn6e, pilote des
ondes longitudinales ou transversales pures. Pour les ondes longitudinales q est dirig6 suivant un axe de sym6trie d’ordre 2, 3, 4, 6, 3, 4 ou 6. Pour les ondes
transversales, q est dirig6 suivant un axe d’ordre 3, 4, 6, 3, 6 ou contenu dans un miroir.
III,
-Applications de la theorie
des ondes de polarisation.
Nous passons en revue, dans la troisièn1e partie de
cet expose, diff6rentes questions qui sont en relation
avec la theorie des ondes de polarisation. Le champ de
la theorie est pratiquement limite aux cristaux ioniques
de types NaCI, CsCI ou ZnS et les principes exposes
dans la partie I servent de base a l’interprétation des phenomenes ; mais, sur cette base, nne analyse micros- copique d6taill6e des propri6t6s des cristaux ioniques
est d6velopp6e par de nombreux auteurs, permettant d’etablir des liens entre des propri6t6s tres diverses des cristaux ioniques.
1° Pouvoir dispersif des cristaux ioniques dans le proche infra-rouge.
-Des 1928, Fuchs et Wolf [13]
ont pu 6tablir des formules empiriques de dispersion
valables de l’ultraviolet au proche infra-rouge pour N aCl et KC1 :
ou vi, V,, v3 sont, dans les deux cas, des frequences d’absorption electronique dans l’U. V. du vide; V4 cor- respond pour NaCI a "’4 = 61,67 u et pour KCI à
X4 = 70,23 V.. On peut comparer ces valeurs aux deter- minations directes plus récentes (voir, par exemple, Szigeti [14]) des longueurs d’onde des bandes d’absorp-
tion dans l’infra-rouge lointain de NaCI et KCI : 61,1 !1.
et 70,7 !1..
Ainsi so trouve confirmée la validite dc la formule de
dispersion theorique 1,7 00 le terme a est 6gal a W2 t. Les
ondes d’absorption 1. R. dans les cristaux ioniques sont
en effet transversales et la frequence d’absorption, pour
un cristal mince (voir plus loin) correspond a Ú)t.
20 Reflexion s6lective des cristaux ioniques.
-Le pouvoir r6flecteur d’un milieu optiquement isotrope
est donné par
Lorsque co est proche de cot (I,23), R croit rapidement jusqu’a atteindre la valeur 1 pour w = wt ; puis c
etant n6gatif, done n imaginaire pur, R reste 6gal a 1 j usqu’a la valeur de w telle que c(co) = 0 ; w est alors 6gal a w1 d’apres 1,10. Dans cette theorie tres grossière,
la variation du pouvoir réflecteur R doit ètre repr6-
sentee par la courbe de la figure 1, a. En fait, les
courbes experimentales different tres sensiblement de la courbe th6orique : les figures 1, b, c, d, e, repr6sentent
les variations du pouvoir réflecteur en fonction de la
longueur d’onde pour LiF, NaF, NaCl, KCI d’apres
les travaux de Czerny [15] et Hohls [16] ; recemment,
des mesures de pouvoir r6flecteur ont ete faites ou
refaites sur 10 cristaux ioniques par Mitsuishi et
coll. [17] et sur des cristaux semiconducteurs par Haas et Henvis [18] ; les courbes sont analogues a celles de
la figure 1.
FIG. 1.
-Variation du pouvoir réflecteur en fonction de la longueur d’onde X (en p) : a) courbe th6orique corres- pondant aux formules 111,2 et 1,13 (so = 9, coo = 2,25, Xi = 40 u) ; b, c, d, e, courbes expérimentales de Czerny
et Hohls.
La difference entre la courbe l,cz et les courbes experimentales n’est pas surprenante puisque dans la
formule 1,13 ne figure aucun terme d’amortissement.
On doit introduire ce terme dans la formule 1,5 qui
devient
Dans ces conditions on peut calculer la valeur de wm
pulsation correspondant au maximum de reflexion.
Havelock [19] a montre que pour les faibles valeurs du rapport y jmt
Le tableau 1 ci-dessous donne quelques valeurs exp6-
rimentales de X,,,, longueur d’onde correspondant au
maximum de r6flexion, rassembl6es par Schaeffer et Matossi [20], les valeurs de Xt calcul6es par la formule 111,4 et les valeurs experimentales recentes [14] de Xt :
TABLEAU 1
Plus r6cemment encore, Yoshinaga [21] et Mit-
suishi [22] ont determine directement cor (voir fcg.1, a),
valeur de la pulsation pour laquelle s’annule le pouvoir réflecteur ; cor correspond a n2 === e = 1 d’après 111,2.
Par l’interm6diaire de 1’expression 1,13 ou l’on pose
s(co) = 1, on peut relier cor a wt.
Dans le tableau 2, on compare la valeur de zo cal- cul6e a partir de Zoo, Àr et Xt a la valeur exp6rimentale directe ; le tableau 2 est extrait d’un article de Kuro-
sawa [23].
TABLEAU 2
Pour vi, frequence associee aux ondes longues longi- tudinales, on ne peut d6duire sa valeur de la courbe experimentale du pouvoir t6flecteur. Haas et Ma- thieu [24] remarquent que vi correspond au cas ou les parties r6elles et imaginaires de l’indice complexe sont egales et deduisent ainsi directement v, de l’intersection des courbes repr6sentant l’indice de refraction et l’indice d’absorption en fonction de la frequence. La
m6thode appliqu6e a la blende donne vi = 367 cm-1 a comparer a la valeur vi == 349 cm-1 obtenue a partir
du spectre Raman.
30 Thdorie microscopique
-Liaison entre absorption
I. R. et compressibilité.
-IJOS relations 1,5 et 1,6 sont,
nous 1’avons vu dans la premiere partie, purement phenomenologiques. Une etude microscopique des
actions subies par les ions permet de les justiner et de
relier les constantes a, b, c, d, (donc Ooo, EO, 6)1, 6)t) à des grandeurs atomiques traduisant ces actions. A des details de notation pr6s, nous adoptons 1’expos6 de
Born et Huang [1], (p. 104).
Soient M1 et M2, ul et u2, + Ze et
-Ze, cx, et OC2 les masses, les deplacements, les charges et les polarisabi-
lit6s electroniques des ions positifs et n6gatifs ; la pola-
risation macroscopique P est donn6e par
En remplaçant ul - u2 par W (notation de ]a partie I) et en utilisant la relation Ee = E + (47t /3) P, III,5 devient
En adoptant les memes hypotheses que dans la deuxi6me partie (d6but du parag. 1 °) les ions sont sou- mis, d’une part, a une force de rappel proportionnelle
a leur deplacement relatif, d’autre part, à l’action du
champ effectif.
Ainsi, en posant M = Mi M2/(M + M2) 1’6qua-
tion de leur mouvement ielatif s’écrit :
soit
Les equations 111,8 et 111,6 sont respectivement 6quivalentes a 1,5 et 1,6. En comparant les deux couples d’equations ont peut relier les parametres microscopiques a so, Eoo, mi et wt. En particulier, on peut aisement calculer la valeur de la constante de force k :
Par rintermediaire de k on peut faire le lien entre les proprietes m6caniques et 6lectriques (ou optiques) des
cristaux ioniques ; k peut, en effet etre reli6, par
exemple, a la compressibilité B du cristal ; on d6montre
pour les cristaux cubiques la relation :
N : nombre d’ions premiers voisins d’un ion de signe oppose.
r, : distance entre deux ions premiers voisins.
De la on deduit la relation suivante, établie a l’origine
par Szigeti [25] en 1950.
On peut comparer la valeur Bc calcul6e a partir dc 111,11 ou l’on connait tous les param,etres, et la valeur exp6rimentale direct e Bm : cela fournit un premier test
de la validite de ]a theorie microscopique expos6e plus
haut. Pour LiF, NaC], Nal, KCI, KBr, KI, la concor-
dance est remarquables (5 010)’ Pour d’autres corps
(T1CI, MgO, etc...) le rapport BM/Bc peut atteindre 2.
On peut d’ailleurs, de la comparaison entre les for-
mules « microscopiques et « macroscopiques )), tirer d’autres relations entre grandeurs independemment mesurables, par exemple :
Si les formules 111,8 et 111,6 sont equivalents A 1,5
et 1,6 s = 1. (Dans de nombreuses etudes, on discute,
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non la valeur de s mais celle Ze* /Ze rapport de la charge effective a la charge vraie ; la charge effective
est définie par 1’6quation 111,12 ou 1’on pose s = 1).
Expérimentalement, s varie entre 1,10 et 0,48 pour
une s6rie de cristaux et l’on doit noter qu’il n’y a pas de corps pour lequel on ait, 4 la fois s et BM /Bc voisins
de 1.
Ce probl6me est a l’origine de nombreuses etudes :
Szigeti [25] fait intervenir les deformations de 1’entou- rage 6lectronique d’un ion du aux autres ions du
reseau ; Lundqvist [26], [27] examine l’influence de termes supplémentaires introduits dans 1’expression de 1’6nergie du reseau sur les ondes de polarisation et relie
la valeur de s ou plut6t de Ze* /Ze aux constantes elas-
tiques du cristal ; Dick et Overhauser [28] utilisent un
modele d’ion ou le « noyau » de l’ion est relie a une
(( coquille )) 6lectronique par une force élastique.
Havinga [29], Mashkevich [30] et Cowley [31] pr6cisent
les bases th6oriques de ce modele.
Parallelement, les travaux experimentaux les plus
r6cents dans ce domaine portent a la fois :
- sur les mesures de la compressibilité (ou des cons-
tantes elastiques) : Bergman [32], Bolef et Menes [33],
Dalven et Garland [34] ; ;
- sur les mesures de s, : Hassuhl [35] ;
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