Fourier

S ´ERIES DEFOURIER

1. Polyn ˆomes trigonom´etriques

On appelle polynˆome trigonom´etrique toute combinaison lin´eaire, `a coefficients complexes, d’un nombre fini de fonctions exponentielles(R → C, x 7→ e<sup>inx</sup>), o`u n ∈ Z :

P(x) =

∑

c_ne^inx, c_n∈ C.

En d´ecomposant en parties r´eelle et imaginaire, ceci s’´ecrit ´egalement P(x) = a₀+

∑

(a_ncos(nx) + b_nsin(nx)) avec

a0= c₀ et, pour tout n > 1,

 an = cn+ c−n

b_n = i(c_n− c_−n) ∈ C.

Un polynˆome trigonom´etrique est une fonction C^∞ et 2π-p´eriodique. Les coefficients cn sont enti`erement d´etermin´es par la fonction P :

cn= 1 2π

Z _2π

0

P(t)e^−int dt en vertu des identit´es

Z _2π

0 e^imt dt=

 0 si m6= 0;

2π si m= 0.

Remarque — Une cons´equence imm´ediate de cette observation est le fait que les fonctions (x 7→

e^inx)_n∈Zforment une famille libre dans le C-espace vectoriel des fonctions de R dans C.

2. Coefficients de Fourier

Soit f : R→ C une fonction 2π-p´eriodique et continue par morceaux. Les coefficients de Fourier de f sont les nombres complexes

c_n( f ) = 1 2π

Z _2π

0

f(t)e^−int dt (n ∈ Z).

On pose ´egalement :

a0( f ) = c0( f ) = 1 2π

Z _2π

0 f(t) dt et, pour tout entier n > 1,

 an( f ) = cn( f ) + c−n( f ) = _π^1R₀^2π f(t) cos(nt) dt b_n( f ) = i (c_n( f ) − c_−n( f )) =_π^1R₀^2π f(t) sin(nt) dt.

Remarques — (i) On peut modifier f en un nombre fini de points de[0, 2π] (et leurs translat´es par 2πZ pour pr´eserver la p´eriodicit´e) sans modifier ses coefficients de Fourier.

(ii) Si f est `a valeurs r´eelles, alors an( f ), bn( f ) ∈ R pour tout n.

1

On est naturellement amen´e `a consid´erer les polynˆomes trigonom´etriques S_N( f ) d´efinis par :

S_N( f )(x) =

∑

c_n( f )e^inx= a₀+

∑

(a_n( f ) cos(nx) + b_n( f ) sin(nx)).

Ce sont les polynˆomes de Fourier de f . La s´erie de fonctions∑n∈Zc_n( f )e^inxest la s´erie de Fourier de f .

Question g´en´erale : que peut-on dire de f `a partir de ses coefficients de Fourier ; ceux-ci permettent- ils de reconstituer la fonction ?

En particulier : la fonction f est-elle la somme de sa s´erie de Fourier ?

3. Coefficients de Fourier et propri´et´es de r´egularit´e

La r´egularit´e d’une fonction (continuit´e, d´erivabilit´e, classe C^k) peut se lire sur ses coefficients de Fourier ; plus pr´ecis´ement, il existe un lien ´etroit entre la r´egularit´e de f et la vitesse `a laquelle les coefficients cn( f ) tendent vers 0.

Le premier r´esultat fondamental, connu sous le nom de lemme de Riemann-Lebesgue, affirme que les coefficients de Fourier tendent effectivement vers 0.

Th´eor`eme — Pour toute fonction 2π-p´eriodique et continue par morceaux f : R → C, la suite (c_n( f ))_n∈Ztend vers 0 lorsque|n| tend vers +∞.

D´emonstration. Cf. quatri`eme fiche de t.d., premier exercice. 2 Le r´esultat suivant dit que, plus une fonction est r´eguli`ere, plus ses coefficients de Fourier tendent rapidement vers 0.

Proposition — Soit f : R→ C une fonction 2π-p´eriodique. Si f est de classe C^k avec k∈ N, alors c_n= o _n¹k
quand |n| tend vers +∞.

D´emonstration. On raisonne par r´ecurrence sur k.

Si k= 0, le r´esultat d´ecoule directement du th´eor`eme pr´ec´edent : cn( f ) = o(1) quand |n| tend vers +∞.

Soit k > 1 et supposons le r´esultat d´emontr´e au rang k− 1. Pour tout n ∈ Z − {0}, une int´egration par parties permet d’´ecrire

c_n( f ) =₂¹_π^R₀^2πf(t)e^−int dt= ₋₁

2inπf(t)e^−int2π

0 +_2in¹_π^R₀^2π f^′(t)e^−intdt

= 0 +_in¹c_n( f^′).

La fonction f^′ est de classe C^k−1, donc cn( f^′) = o _nk−1¹
quand |n| tend vers +∞par hypoth`ese. On

en d´eduit : c_n( f ) = o _n¹k
quand |n| tend vers +∞. 2

L’assertion r´eciproque est fausse : la condition cn( f ) = o _n¹k
n’implique pas que la fonction f soit de classe C^k. Il faut imposer une condition un peu plus forte.

Proposition — Soit k∈ N et soit (c_n)_n∈Zune suite de nombres complexes telle que la s´erie∑n∈Zc_nn^k soit absolument convergente.

La s´erie de fonctions∑n∈Zc_ne^inx converge normalement vers une fonction 2π-p´eriodique g : R→ C, de classe C^k et telle que cn(g) = cnpour tout n∈ Z.

Remarque — La condition^≪c_n= o _n¹k
quand |n| tend vers +∞^≫est ´equivalente `a^≪(|c_n||n|^k) → 0 quand|n| tend vers +∞^≫. On voit ainsi que la convergence de la s´erie ∑n∈Z|c_n||n|^k, qui implique

´evidemment la condition pr´ec´edente, est plus forte.

D´emonstration. On raisonne par r´ecurrence sur k.

Supposons k= 0 ; par hypoth`ese, la s´erie∑n∈Z|cn| est convergente. Comme sup_x∈R|cne^inx| = |cn|, la s´erie de fonctions ∑n∈Zc_ne^inx converge normalement sur R vers une fonction 2π-p´eriodique g : R→ C. La somme d’une s´erie normalement convergente de fonctions continues ´etant continue, la fonction g est continue.

La convergence normale permet en outre d’int´egrer terme `a terme : pour tout m∈ Z, c_m(g) = 1

2π Z _2π

0

g(t)e^−imt dt=

∑

n∈Z

1 2π

Z _2π

0

c_ne^inte^−imt dt= c_m puisque ₂¹_π^R₀^2πe^i(n−m)t dt= 1 si n = m, 0 sinon.

Soit maintenant k> 0 et supposons que le r´esultat soit ´etabli au rang k − 1. Par hypoth`ese, la s´erie∑n∈Z|cn||n|^k est convergente. Comme|cn| 6 |cn||n| 6 |cn||n|^k pour tout n∈ Z − {0}, les s´eries

∑n∈Z|c_n| et ∑n∈Z|c_n||n| sont convergentes. On en d´eduit que les s´eries de fonctions ∑n∈Zc_ne^inx et

∑n∈Zincne^inxsont normalement convergentes, donc que leurs sommes g(x) =

∑

n∈Z

c_ne^inx et h(x) =

∑

n∈Z

inc_ne^inx

sont des fonctions 2π-p´eriodiques continues.

La convergence normale permettant d’int´egrer terme `a terme, Z _x

0

h(t) dt =

∑

n∈Z

c_n Z _x

0

ine^int dt=

∑

n∈Z

c_ne^intx 0=

∑

n∈Z

c_n(e^inx− 1) = g(x) − g(0) pour tout x∈ R. Ceci montre que la fonction g est d´erivable sur R et g^′= h.

Posons c^′_n= inc_npour tout n∈ Z. Par hypoth`ese, la s´erie∑n∈Z|c_n^′||n|^k−1=∑n∈Z|c_n||n|^kest conver- gente, donc le r´esultat au rang k− 1 affirme que la fonction h est de classe C^k−1 et v´erifie c_n(h) = c^′_n= incnpour tout n∈ Z. Puisque g^′= h, la fonction g est donc de classe C^ket

c_n(g) = 1

inc_n(g^′) = 1

inc_n(h) = c_n

pour tout n∈ Z. 2

Le corollaire suivant permet de contrˆoler la r´egularit´e d’une fonction `a partir de la d´ecroissance de ses coefficients de Fourier.

Corollaire — Soit f : R→ C une fonction 2π-p´eriodique et continue par morceaux. Soit k un entier naturel.

Si la s´erie ∑n∈Z|cn( f )||n^k| est convergente, alors f est de classe C^k sur le compl´ementaire de ses points de discontinuit´e.

D´emonstration. D’apr`es la proposition pr´ec´edente, la somme g de la s´erie ∑n∈Zc<sub>n</sub>( f )e<sup>inx</sup> est une fonction 2π-p´eriodique de classe C<sup>k</sup>et c<sub>n</sub>(g) = c<sub>n</sub>( f ) pour tout n ∈ Z. On d´emontrera ult´erieurement (corollaire ?) que cette derni`ere condition implique f(x) = g(x) pour tout x ∈ R qui n’est pas un point de discontinuit´e de f ou de g ; comme g est continue, f = g sur le compl´ementaire des points de

discontinuit´e de f . 2

4. Le th´eor`eme de convergence de Dirichlet

Etant donn´e une fonction 2´ π-p´eriodique et continue par morceaux f : R→ C, il est assez naturel de se demander si f est la somme de sa s´erie de Fourier∑n∈Zcn( f )e^inx, c’est-`a-dire si cette s´erie est convergente, de limite f . La r´eponse `a cette question est fournie par le r´esultat suivant, dˆu `a Dirichlet.

Th´eor`eme — Soit f : R→ C une fonction 2π-p´eriodique et de classe C¹par morceaux.

(i) La s´erie de Fourier de f converge (simplement) en tout point x ∈ R et a pour somme

1

2( f (x⁺) + f (x⁻)).

(ii) La convergence est uniforme sur tout segment ne contenant aucun point de discontinuit´e de f . Pr´eparatifs —

1. Rappel — Une fonction 2π-p´eriodique f : R→ C est dite de classe C¹par morceaux s’il existe une subdivision 0= c₀< c₁< ... < c_n= 2π de[0, 2π] telle que

1. f soit de classe C¹sur chaque intervalle]ci, ci+1[ ;

2. f et f^′admettent une limite `a gauche (resp. `a droite) en c₁, . . . , c_n(resp. en c₀, . . . , c_n−1).

Il revient au mˆeme de dire que les restrictions de f et f^′ `a chaque intervalle ouvert]c<sub>i</sub>, c<sub>i+1</sub>[ se pro- longent par continuit´e `a l’intervalle ferm´e[ci, c_i+1].

Pour tout point x∈ R, on d´esigne par f (x⁺) (resp. f (x⁻)) la limite `a droite (resp. `a gauche) de f en x.

2. Noyau de Dirichlet — Pour tout entier naturel N et tout t∈ R, on pose DN(t) =

∑

e^int=

( sin(^(N+12)t)

sin(t/2) , si t∈ Z/ 2N+ 1, si t∈ Z.

La fonction D_Nest 2π-p´eriodique et paire. En outre, Z _π

0

DN(t) dt =π+

∑

Z _π

0

(e^int+ e^−int) dt =π+ 2

∑

Z _π

0

cos(nt) dt =π, donc

1 2π

Z _2π

0

DN(t) dt =1

2 et 1

2π Z _π

−πDN(t) dt = 2 2π

Z _π

0

DN(t) dt = 1.

D´emonstration du point (i) — Soit x∈ R.

Pour tout entier naturel N, posons

S_N(x) =

∑

c_n( f )e^inx.

En utilisant la d´efinition des coefficients de Fourier, nous pouvons encore ´ecrire S_N(x) = 1

2π Z _π

−πf(t)

∑

e^in(x−t)dt= 1 2π

Z _π

−πf(t)D_N(x − t) dt = 1 2π

Z _π

−πf(x − t)D_N(t) dt, d’o`u

SN(x)−1

2 f(x⁺) + f (x⁻)
= 1 2π

Z ₀

−π f(x − t) − f (x⁺)
DN(t) dt + 1 2π

Z _π

0

f(x − t) − f (x⁻)
DN(t) dt en vertu des identit´es

1 2π

Z ₀

−πDN= 1 2π

Z _π

0

DN=1 2.

La premi`ere int´egrale s’´ecrit sous la forme Z 0

−π f(x − t) − f (x⁺)
D_N(t) dt = Z 0

−π f(t)sin (N +¹₂)t
sin(t/2) dt.

La fonction f ´etant de classe C¹par morceaux, ^f(x+h)− f (x⁺)

h tend vers f^′(x⁺) lorsque h tend vers 0 dans]0, +∞[. On en d´eduit que la fonction continue

[−π, 0[→ R, t 7→ f(x − t) − f (x⁺) t

admet un prolongement par continuit´e `a[−π, 0] valant − f^′(x⁺) en 0.

De mˆeme, la fonction continue t7→ _sin(t/2)^t sur [−π, 0[ admet un prolongement par continuit´e `a [−π, 0] valant 2 en 0.

Ces deux observations nous permettent d’´ecrire : Z ₀

−π f(x − t) − f (x⁺)
DN(t) dt = Z ₀

−πg(t) sin

 (N +1

2)t

 dt, o`u g est la fonction continue sur[−π, 0] d´efinie par g(t) = ^f(x−t)− f (x⁺)

sin(t/2) pour t6= 0 et g(0) = −2 f^′(x⁺).

Sous cette forme, il apparaˆıt clairement que l’int´egrale tend vers 0 lorsque N tend vers+∞: c’est en effet une application directe du lemme de Riemann-Lebesgue g´en´eralis´e (td 4, exercice 1).

On d´emontre de mani`ere analogue que l’int´egrale<sup>R</sup><sub>0</sub><sup>π</sup>( f (x − t) − f (x<sup>−</sup>))D<sub>N</sub>(t) dt converge vers 0 lorsque N tend vers+∞, ce qui ach`eve la d´emonstration du point (i). 2

Le point (ii) est admis.

5. Convergence en moyenne quadratique

D´esignons par E le C-espace vectoriel des fonctions de R dans C, 2π-p´eriodiques et continues par morceaux. L’expression

( f |g) = 1 2π

Z _2π

0

f(t)g(t) dt d´efinit une forme hermitienne sur E , de semi-norme associ´ee

|| f ||₂= 1 2π

Z _2π

0

| f (t)|²

¹₂ .

Remarques — 1. On parle de semi-norme car ||λf||₂ = |λ| · || f ||₂ et || f + g||₂ 6|| f ||₂+ ||g||₂ pour toutes fonctions f, g ∈ E et tout scalaire λ ∈ C, mais la condition || f ||₂ = 0 n’implique pas n´ecessairement f = 0. En fait, pour tout f ∈ E ,

|| f ||₂= 0 ⇐⇒ ( f est nulle en dehors de ses points de discontinuit´e)

⇐⇒ f_|[0,2π] est identiquement nulle, sauf en un nombre fini de points.

Observons en particulier que la condition| f ||2= 0 implique f = 0 pour toute fonction continue dans E .

2. Les fonctions(e^int)_n∈Zforment une famille orthonormale dans E . Ceci d´ecoule simplement des identit´es

(e^inx|e^imx) = 1 2π

Z _2π

0

e^i(n−m)xdx=

 0 si n6= m 1 si n= m

Proposition — Soit f : R→ C une fonction 2π-p´eriodique et continue par morceaux. Soit N un entier naturel. Pour tout polynˆome trigonom´etrique Q de degr´e 6 N, i.e. Q=∑^N_n=−Nd_ne^int,

|| f − Q||₂6|| f − S_N( f )||₂, avec ´egalit´e si et seulement si Q= S_N.

De mani`ere ´equivalente : SN( f ) est le projet´e orthogonal de f sur le sous-espace vectoriel de E engendr´e par les fonctions(e^inx)_|n|6N.

D´emonstration. Le projet´e orthogonal de f sur le sous-espace vectoriel VN= Vect(e^inx, |n| 6 N) est l’unique ´el´ement p_N( f ) de V_Ntel que( f − p_N( f )|g) = 0 pour tout g ∈ V_N.

Le polynˆome trigonom´etrique SN( f ) appartient `a VN; par ailleurs, ( f − SN( f )|e^imx) = ( f |e^imx) − (SN( f )|e^imx) = cm( f ) −

∑

cn( f )(e^inx|e^imx) = cm( f ) − cm( f ) = 0 pour tout entier m tel que|m| 6 N, donc ( f − S_N( f )|g) = 0 pour tout g ∈ V_Npar lin´earit´e. Ceci prouve

que SN( f ) est le projet´e orthogonal de f sur VN. 2

Corollaire — Soit f : R→ C une fonction 2π-p´eriodique et continue par morceaux. Pour tout entier naturel N,

|| f ||²₂=

∑

|cn( f )|²+ || f − SN( f )||²₂; en particulier, la s´erie∑n∈Z|c_n( f )|²est convergente.

D´emonstration. Puisque S_N( f ) est le projet´e orthogonal de f sur V_N, les fonctions f− S_N( f ) et S_N( f ) sont orthogonales et donc

|| f ||²₂= ||( f − S_N( f )) + S_N( f )||²₂= || f − S_N( f )||²₂+ ||S_N( f )||²₂. Par ailleurs,

||SN( f )||²₂=

∑

cn( f )e^inx     

∑

cn( f )e^inx

!

=

∑

−N6n,m6N

cn( f )cm( f )(e^inx|e^imx) =

∑

|cn( f )|², donc

|| f ||²₂=

∑

|cn( f )|²+ || f − SN( f )||²₂. L’´egalit´e pr´ec´edente implique la majoration

∑

|c_n( f )|²6|| f ||²₂

pour tout N∈ N puisque || f − S_N( f )||²₂ est un nombre r´eel positif. La s´erie `a termes positifs

∑n∈Z|c_n( f )|²est donc convergente. 2

Th´eor`eme (Bessel-Parseval) — Soit f : R→ C une fonction 2π-p´eriodique et continue par morceaux.

La s´erie∑n∈Z|cn( f )|²est convergente et

n∈Z

∑

|cn( f )|²= 1 2π

Z _2π

0

| f |².

Remarque — Pour tout n > 1, les identit´es an= c_n+ c_−net bn= i(c_n− c_n) impliquent

|an|²+ |bn|²= 2(|cn|²+ |c−n|²).

L’´egalit´e de Bessel-Parseval s’´ecrit donc ´egalement sous la forme : a²₀+1

2

∑

(|a_n|²+ |b_n|²) = 1 2π

Z _2π

0

| f |².

D´emonstration. Vu l’identit´e

|| f ||²₂=

∑

|c_n( f )|²+ || f − S_N( f )||²₂,

nous devons d´emontrer que la quantit´e|| f − SN( f )||2tend vers 0 lorsque N tend vers+∞, c’est-`a-dire que les polynˆomes de Fourier S_N( f ) convergent vers f au sens de la (semi-)norme ||.||₂. Nous allons le faire d’abord en supposant que f est continue et de classe C¹par morceaux, puis nous expliquerons comment en d´eduire le cas g´en´eral.

1. Cas d’une fonction continue et de classe C¹ par morceaux — Supposons que f soit continue et de classe C¹ par morceaux. En vertu du th´eor`eme de Dirichlet, la suite de fonctions (SN( f ))_N∈N converge uniform´ement vers f sur[0, 2π]. Vu la majoration ´evidente

|| f − S_N( f )||²₂= 1 2π

Z _2π

0

| f − S_N|²6 sup

[0,2π]

|| f − S_N||², on en d´eduit le r´esultat annonc´e :|| f − SN( f )||2tend vers 0 lorsque N tend vers+∞.

2. Cas g´en´eral : approximation — Pour ´etablir le th´eor`eme dans le cas g´en´eral, nous allons utiliser un r´esultat d’approximation au sens de la (semi-)norme||.||₂:

´etant donn´e une fonction f ∈ E et un nombre r´eelε> 0, il existe une fonction g ∈ E , continue et de classe C¹par morceaux, telle que

|| f − g||₂6ε.

Par souci de clart´e, nous d´emontrerons ceci dans un lemme ind´ependant ci-dessous.

3. Cas g´en´eral : conclusion — Soit f ∈ E et soitε un nombre r´eel strictement positif. D’apr`es ce le point 2, il existe une fonction g∈ E , continue et de classe C¹par morceaux, telle que|| f − g||₂6^ε₂. Pour tout entier N∈ N, le polynˆome trigonom´etrique SN(g) appartient au sous-espace vectoriel Vect(e^inx ;|n| 6 N), donc

|| f − S_N( f )||₂6|| f − S_N(g)||₂

puisque S_N( f ) est le projet´e orthogonal de f sur ce sous-espace. On en d´eduit la majoration

|| f − S_N( f )||₂ 6 || f − S_N(g)||₂= ||( f − g) + (g − S_N(g)||₂ 6 || f − g||₂+ ||g − S_N(g)||₂

6 ε

2+ ||g − S_N(g)||₂.

D’apr`es le point 1, la quantit´e ||g − SN(g)||2 tend vers 0 lorsque N tend vers+∞; il existe donc un entier naturel N₀tel que||g − S_N(g)||₂6^ε₂ pour tout N > N₀. Au final :

|| f − SN( f )||26ε pour tout N > N0,

ce qui signifie pr´ecis´ement que la quantit´e|| f − S_N( f )||₂tend vers 0 lorsque N tend vers+∞. 2 Lemme — Soit f : R→ C une fonction 2π-p´eriodique et continue par morceaux. Pour tout nombre r´eelε > 0, il existe une fonction 2π-p´eriodique g : R→ C, continue et de classe C¹par morceaux, telle que

|| f − g||₂6ε.

D´emonstration. Puisque f est continue par morceaux, il existe une subdivision 0= c₀< c₁< . . . <

c_r= 2πdu segment[0, 2π] telle que f soit continue sur chaque intervalle ouvert ]c_i, c_i+1[. Choisissons un nombre entier n tel que c_i+1− c_i>²_n pour tout i et consid´erons la fonction h :[0, 2π] → R d´efinie comme suit (cf. figure 1) :

– h= f sur [c_i+¹_n, c_i+1−¹_n] pour tout i ∈ {0, . . . , r − 1} ;

– sur chacun des segments [0,¹_n], [c₁−¹_n, c₁+ ¹_n], . . . , [c_r−1− ¹_n, c_r−1+¹_n], [2π−¹_n, 2π], h est l’unique fonction affine qui co¨ıncide avec f aux extr´emit´es.

+

+ +

+ + +

c₁ c2 2π 0 2π

0

f

Figure 1

h

La fonction h est clairement continue. Elle se prolonge par ailleurs en une fonction 2π-p´eriodique et continue sur R car h(0) = f (0) = f (2π) = h(2π). Enfin,

|| f − h||²₂ = 1 2π

Z _2π

0

| f − h|²

= 1

2π Z _1/n

0

| f − h|²+ 1 2π

r−1

∑

i=1

Z _ci+1/n

ci−1/n | f − h|²+ 1 2π

Z _2π

2π−1/n| f − h|²

6 1

2π sup

[0,2π]

| f − h|²· 1

n+ (r − 1)2 n+1

n

 .

On a clairement sup_[0,2π]|h| 6 sup_[0,2π]| f |, donc sup_[0,2π]| f − h| 6 2 sup_[0,2π]| f | et, par suite,

|| f − h||262 sup

[0,2π]

| f | r r

πn. En prenant n suffisamment grand, on obtient :|| f − h||₂6^ε₃.

Comme la fonction h est continue, le th´eor`eme de Weierstrass permet de l’approcher, uniform´ement sur le segment[0, 2π], par une fonction de classe C¹. Il existe donc une fonction ˜h :[0, 2π] → C de classe C¹telle que sup_[0,2π]|h − ˜h| 6 ^ε₃, donc telle que

||h − ˜h||₂6 sup

[0,2π]

|h − ˜h| 6ε 3.

Probl`eme : il n’y a aucune raison que l’on ait ˜h(0) = ˜h(2π), donc on ne peut pas prolonger ˜h en une fonction 2π-p´eriodique et continue sur R. Ce n’est pas tr`es s´erieux, il suffit de modifier un peu ˜h pour y rem´edier : choisissons un entier n > 1 et consid´erons la fonction g :[0, 2π] → C d´efinie comme suit (cf. figure 2) :

– g= ˜h sur [1/n, 2π] ;

– sur le segment[0, 1/n], g est l’unique fonction affine telle que g(1/n) = ˜h(1/n) et g(0) = ˜h(2π).

2π 0 ¹_n

g

˜h

Figure 2

La fonction g est continue et de classe C¹par morceaux sur[0, 2π]. En outre, comme g(0) = g(2π), elle se prolonge en une fonction 2π-p´eriodique sur R qui est ´egalement continue et de classe C¹par morceaux. Par ailleurs,

||˜h − g||²₂= 1 2π

Z _2π

0

|˜h − g|²6 sup

[0,2π]

|˜h − g|²·1

n6(2 sup

[0,2π]

|˜h|)²·1 n. En choisissant n suffisamment grand, nous pouvons donc obtenir :||˜h − g||26^ε₃.

Conclusion — Nous avons obtenu une fonction 2π-p´eriodique g : R→ C, continue et de classe C¹ par morceaux, telle que

|| f − g||₂6|| f − h||₂+ ||h − ˜h||₂+ ||˜h − g||₂6ε.

Ceci ach`eve la d´emonstration du lemme. 2

Nous avons d´ej`a observ´e que les coefficients de Fourier d’une fonction 2π-p´eriodique et continue par morceaux f sont inchang´es si l’on modifie f en un nombre fini de points de[0, 2π] (et leurs translat´es par 2πZ pour pr´eserver la p´eriodicit´e) ; ainsi, l’application

E −→ C^Z, f 7→ (cn( f ))n∈Z

n’est pas injective. En fait, c’est la seule obstruction `a l’injectivit´e en vertu du r´esultat suivant.

Corollaire — Soit f, g : R → C deux fonctions 2π-p´eriodiques et continues par morceaux.

Si cn( f ) = c_n(g) pour tout n ∈ Z, alors ces fonctions sont ´egales en dehors de leurs points de discon- tinuit´e.

En particulier : si f et g sont continues et ont les mˆemes coefficients de Fourier, alors f= g.

D´emonstration. Si c_n( f ) = c_n(g) pour tout n ∈ Z, alors c_n(g − f ) = 0 pour tout n ∈ Z et donc || f − g||2= 0 en vertu du th´eor`eme de Bessel-Parseval. Ceci implique f (x) = g(x) pour tout point x en

lequel f et g sont continues. 2

6. Trois exemples

Exemple 1 — Consid´erons la fonction 2π-p´eriodique f : R→ C dont la restriction `a [−π,π] est d´efinie par :

f(x) = x si −π< x <π et f(−π) = f (π) = 0.

Cette fonction est impaire, donc a_n( f ) = 0 pour tout n ∈ N. On a par ailleurs b_n( f ) = (−1)^{n+1 2}_n pour tout n > 1.

Comme f est de classe C¹ par morceaux et v´erifie f(x) = ¹₂( f (x⁺) + f (x⁻)) pour tout x ∈ R, le th´eor`eme de Dirichlet fournit la convergence simple de la s´erie

n>1

∑

(−1)ⁿ⁺¹sin(nx) n vers ¹₂f(x) pour tout x ∈ R.

Cette convergence est uniforme sur tout segment ne rencontrant pasπ+ 2πZ.

Le th´eor`eme de Bessel-Parseval fournit dans ce cas l’´egalit´e remarquable :

+∞

∑

n=1

1 n² =π²

6 . (On a ici ₂¹(|a_n|²+ |b_n|²) =_n²2 et|| f ||²₂=^π₃².)

Exemple 2 — Consid´erons la fonction 2π-p´eriodique f : R→ C dont la restriction `a [−π,π] est d´efinie par :

f(x) = x si 0 < x < 2π et f(0) = f (2π) =π.

On a

a₀( f ) =π et a_n( f ) = 0, b_n( f ) = −2

n pour tout n > 1.

Comme f est de classe C¹ par morceaux et v´erifie f(x) = ¹₂( f (x⁺) + f (x⁻)) pour tout x ∈ R, le th´eor`eme de Dirichlet fournit la convergence simple de la s´erie

n>1

∑

sin(nx) n vers ¹₂(π− f (x)) pour tout x ∈ R.

Cette convergence est uniforme sur tout segment ne rencontrant pas 2πZ.

Dans ce cas, le th´eor`eme de Bessel-Parseval conduit de nouveau `a l’´egalit´e remarquable :

+∞

∑

n=1

1 n² =π²

6 .

Exemple 3 — Consid´erons la fonction 2π-p´eriodique f : R→ C dont la restriction `a [−π,π] co¨ıncide avec la fonction x7→ |x|.

C’est une fonction paire, donc bn( f ) = 0 pour tout n > 1. On a par ailleurs a0( f ) = π

2 et an( f ) = 2

πn²((−1)ⁿ− 1) pour tout n > 1.

La fonction f est continue et de classe C¹ par morceaux. Le th´eor`eme de Dirichlet fournit la convergence uniforme de la s´erie

n>1

∑

cos((2n + 1)x) (2n + 1)² vers ^π₄ ^π₂− f (x)
pour tout x ∈ R.

Le th´eor`eme de Bessel-Parseval fournit dans ce cas l’´egalit´e remarquable :

+∞

∑

n=0

1

(2n + 1)² =π⁴ 96.

0 π

−π π

2π 0

Exemple 2 Exemple 1

−π 0 π

π

Exemple 3