[ MP – MATHEMATIQUES 1 ] ...1
CONTRE-EXEMPLES...2
ALGEBRE DE BASE ...4
1–GROUPES...4
2–GROUPES /N ...4
3–ACTION D'UN GROUPE...6
ARITHMETIQUE ...7
4–ANNEAUX COMMUTATIFS...7
5–ARITHMETIQUE DANS ...7
6–(EX)NOMBRES PREMIERS...9
7–(EX)FONCTION DE MOBIUS...9
8–IDEAUX DE K[X] ... 10
9–(EX)ALGEBRIQUES... 11
10–CORPS COMMUTATIFS... 11
11–(EX)POLYNOMES CYCLOTOMIQUES... 12
ESPACES VECTORIELS ... 13
12–ESPACE VECTORIEL SUR UN CORPS COMMUTATIF... 13
13–RANG D'UNE APPLICATION LINEAIRE... 13
14–HYPERPLANS... 14
15–DUALITE EN DIMENSION FINIE... 14
MATRICES... 16
16–TRACE... 16
17–MATRICES EQUIVALENTES... 16
18–OPERATIONS ELEMENTAIRES SUR LES MATRICES... 16
FORMES QUADRATIQUES... 18
19–FORMES BILINEAIRES SYMETRIQUES SUR UN EV... 18
20–FBS SUR UN EV DE DIMENSION FINIE... 19
21–METHODE DE GAUSS... 20
22–SIGNATURE D'UNE FORME QUADRATIQUE... 21
DETERMINANTS... 22
23–GROUPE SYMETRIQUE... 22
24–DETERMINANTS... 22
ELEMENTS PROPRES ... 25
25–ENDOMORPHISMES... 25
26–ELEMENTS PROPRES... 26
27–POLYNOME CARACTERISTIQUE... 27
28–(EX)SEVS CARACTERISTIQUES... 28
29–ENDOMORPHISMES DIAGONALISABLES... 28
30–(EX)CALCUL DE AN... 30
31–(EX)ETUDE LOCALE DES ENDOMORPHISMES... 30
32–(EX)MATRICES STOCHASTIQUES... 30
PRODUIT SCALAIRE SUR UN EV REEL... 31
33–ESPACES PREHILBERTIENS... 31
34–ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS... 32
35–AUTOMORPHISMES ORTHOGONAUX... 33
36–EV EUCLIDIENS ORIENTES DE DIMENSION 3 ... 34
37–REDUCTION DES AUTOADJOINTS... 35
38–QUADRIQUES D'UN EV EUCLIDIEN DE DIMENSION 3... 36
PRODUIT SCALAIRE HERMITIEN... 38
39–EV PREHILBERTIENS COMPLEXES... 38
40–EV HERMITIENS... 38
41–ENDOMORPHISMES HERMITIENS... 39
42–GROUPE UNITAIRE... 39
Contre-exemples
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3 – Action d'un groupe
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4 – Anneaux commutatifs
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5 – Arithmétique dans
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6 – (Ex) Nombres premiers
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7 – (Ex) Fonction de Mobius
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8 – Idéaux de K[X]
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10 – Corps commutatifs
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11 – (Ex) Polynômes cyclotomiques
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12 – Espace vectoriel sur un corps commutatif
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13 – Rang d'une application linéaire
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14 – Hyperplans
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*"*+ - *"*+ - %$*' %$*'
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♦ E () $%!"'&A)" E:6 +6-" C !% "$ϕ/ψ ∈ P[ <.> O +ϕ7 O +ψ ⇔ ϕ/ψ '$ -%* & 1!
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♦ :6 +6-" & K" !%$ϕ ∈K"P " "!$ / /" - 8 ' # "!"%() & !%$ 37 3 / /3" ∈ -!+'37Σ3% % ϕ3 7Σ λ%3% !^∀%∈ "/λ%7ϕ %
3C*() $%!" & 6-" , #$!+% -& "' D 34 8:4 #F7 . !^ /8/#≠ ././.
15 – Dualité en dimension finie
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E !%$ )"K , & &%1 "'%!" 5%"% ∀3∈ [ <.>/∃ ϕ ∈ P/ϕ3 7 & 1!
E !%$ M7 / /" 8 ' & " "!$ ;P- 5!+1 -%"* %+ 37Σ3L L∈ →3;∈K
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B!$ $%!" C':18!- & O+!" #L + T∀ %/; ∈ "2/%P ; 7δ% ;
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16 – Trace
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17 – Matrices équivalentes
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♦ E ∀ /M ∈ 6/(K/ G M⇔+ 7 + M
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♦ E ∀ ∈ 6/(K/+ 7 + $ & 1! , #d+
18 – Opérations élémentaires sur les matrices
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M ' # "!"%() &
M ' # "!"%() &
M ' # "!"%() &
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19 – Formes bilinéaires symétriques sur un ev
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*"*+ - *"*+ - %$*' %$*'
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♦ ∀ 3/: ∈ 2/M 3/: 7 h ( 3 4 : ( 3 ( : & 1!'& , -!66 1 "$
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3 CM 5/ 7 85f∈ . /8 / '$ &*5%"% 6!'%$%, ⇔<3∈ /8 =f 3 Y . > '$ & "' & "' /8 f 3 7 3 J'%" =3 J#!",% "$
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20 – FBS sur un ev de dimension finie
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♦ "' 2/( 3 /3 7 3 2 O + ( 7 ./ 7 , #$ )+'%'!$+!6 '
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$ (/# "!" '$ )" 1 $+%# & 6 +1)$ $%!" " 6 )$ -A*#+%+ " + " "$ -'%;')%, "$ C %% T %; ;%
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!"$+ + O + 6 1 6 3 !" )$%-%' ( 3 7 3 2 6 3 2
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21 – Méthode de Gauss
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( 3 7 ϕ 4ϕ 2 ϕ ϕ 2 4 ( 3D/ /3"
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3 3 4 3 3D4 3 3D7 3 4 3 4 3D 2 3 3 2 3D2
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