9-Les sources de champ magnétique

(1)

Version 2022 9- les sources de champ magnétique 1

1.

_{Point P}₁

Le champ fait par le fil de gauche est

0

7

6

2

4 10 8

2 1 1, 6 10

Tm A

B µ I r

A m T π

π π

−

=

× ⋅

= ⋅

= ×

Selon la règle de la main droite, ce champ entre dans la page.

Le champ fait par le fil de droite est

0

7

6

2

4 10 6

2 0,5 2, 4 10

Tm A

B µ I r

A m T π

π π

−

=

× ⋅

= ⋅

= ×

Selon la règle de la main droite, ce champ sort de la page.

Si on dit que le sens positif est en sortant de la page, le champ net est

6 6

6

1, 6 10 2, 4 10 0,8 10

Btot T T

T

− −

−

= − × + ×

= ×

Le champ est donc de 0,8 µT en sortant de la page.

Point P2

(2)

0

7

6

2

4 10 8

2 1 1, 6 10

Tm A

B µ I r

A m T π

π π

−

=

× ⋅

= ⋅

= ×

Selon la règle de la main droite, ce champ sort dans la page.

0

7

6

2

4 10 6

2 1,5 0,8 10

Tm A

B µ I r

A m T π

π π

−

=

× ⋅

= ⋅

= ×

6 6

6

1, 6 10 0,8 10 0,8 10

Btot T T

T

− −

−

= × − ×

= ×

Le champ est donc aussi de 0,8 µT en sortant de la page.

2.

0 1

7

2

4 10 10

2 0, 2 10

Tm A

B µ I r

A m µT

π π

π

−

=

× ⋅

= ⋅

=

(3)

0 2

7

2

4 10

2 0, 2 1

Tm A

µ T A

B µ I r

I m I

π π

π

−

=

× ⋅

= ⋅

=

On va supposer que ce courant est vers le haut (Si la réponse de I est négative, cela voudra dire que le courant est vers le bas). Dans ce cas, le champ sort de la feuille.

Le champ fait par le fil du haut est

3 0

7

2

4 10 8

2 0, 25 6, 4

Tm A

B µ I r

A m µT π π

π

−

=

× ⋅

= ⋅

=

Le champ fait par le fil du bas est

0 4

7

2

4 10 20

2 0, 25 16

Tm A

B µ I r

A m µT

π π

π

−

=

× ⋅

= ⋅

=

Selon la règle de la main droite, ce champ sort dans la page.

10 1 6, 4 16

0, 4 1

µT

tot A

µT A

B µT I µT µT

µT I

= − + ⋅ − +

= − + ⋅

Puisqu’on veut que le champ soit nul, on a 0 0, 4 1

0, 4 1 0, 4

µT A µT

A

µT I

I A

= − + ⋅

= ⋅

=

(4)

Version 2022 9- les sources de champ magnétique 4 Comme la réponse est positive, le courant est de 0,4 A vers le haut.

3.

La distance entre le centre du carré et chacun des fils est

(

^0,1

)

²

(

^0,1

)

² ^{2 0,1}

r= m + m = ⋅ m

Le champ fait par le fil 1 (en haut à gauche) est

1 0

7

6

2

4 10 1

2 2 0,1

1, 414 10

Tm A

B µ I r

A m T π

π π

−

=

× ⋅

= ⋅ ⋅

= ×

Selon la règle de la main droite, ce champ est dans la direction suivante.

La direction du vecteur est donc de 45°. Les composantes de champ sont donc

1 1

6 6

1 1

6 6

cos 45

1, 414 10 cos 45 1 10

sin 45

1, 414 10 sin 45 1 10

x

y

B B

T T

B B

T T

−

= °

= × ⋅ °

= ×

= °

= × ⋅ °

= ×

Le champ fait par le fil 2 (en haut à droite) est

(5)

0 2

7

6

2

4 10 5

2 2 0,1

7, 071 10

Tm A

B µ I r

A m T π

π π

−

=

× ⋅

= ⋅ ⋅

= ×

La direction du vecteur est donc de -45°. Les composantes de champ sont donc

( )

2 2

6 6

2 2

6 6

cos 45

7, 071 10 cos 45 5 10

sin 45

7, 071 10 sin 45 5 10

x

y

B B

T T

B B

T T

−

= − °

= × ⋅ − °

= ×

= − °

= × ⋅ − °

= − ×

Le champ fait par le fil 3 (en bas à droite) est

0 3

7

6

2

4 10 2

2 2 0,1

2,828 10

Tm A

B µ I r

A m T π

π π

−

=

× ⋅

= ⋅ ⋅

= ×

(6)

Version 2022 9- les sources de champ magnétique 6 La direction du vecteur est donc de -135°. Les composantes de champ sont donc

( )

3 3

6 6

3 3

6 6

cos 135

2,828 10 cos 135 2 10

sin 135

2,828 10 sin 135 2 10

x

y

B B

T T

B B

T T

−

= − °

= × ⋅ − °

= − ×

= − °

= × ⋅ − °

= − ×

Le champ fait par le fil 4 (en bas à gauche) est

4 0

7

6

2

4 10 4

2 2 0,1

5, 657 10

Tm A

B µ I r

A m T π

π π

−

=

× ⋅

= ⋅ ⋅

= ×

(7)

Version 2022 9- les sources de champ magnétique 7 La direction du vecteur est donc de -45°. Les composantes de champ sont donc

( )

4 4

6 6

4 3

6 6

cos 45

5, 657 10 cos 45 4 10

sin 45

5, 657 10 sin 45 4 10

x

y

B B

T T

B B

T T

−

= − °

= × ⋅ − °

= ×

= − °

= × ⋅ − °

= − × Le champ total en x est donc

1 2 3 4

6 6 6 6

6

1 10 5 10 2 10 4 10

8 10

x x x x x

B B B B B

T T T T

T

− − − −

−

= + + +

= × + × + − × + ×

= × Le champ total en y est

1 2 3 4

6 6 6 6

6

1 10 5 10 2 10 4 10

10 10

y y y y y

B B B B B

T T T T

T

− − − −

−

= + + +

= × + − × + − × + − ×

= − × La grandeur du champ est donc

( ) ( )

2 2

6 6

6

8 10 10 10

12,8 10

x y

B B B

T T

T

− −

−

= +

= × + − ×

= ×

et la direction est

6 6

arctan

10 10 arctan

8 10 51,3

y x

B B

T T θ

−

=

− ×

= ×

= − °

(8)

Version 2022 9- les sources de champ magnétique 8 On a donc un champ de 12,8 µT dans la direction -51,3°.

4.

Le champ fait par la Terre est de 0,5 G. En utilisant un axe des x vers l’est et un axe des y vers le nord, ce champ est

1 1

0 0,5

x y

B G

=

= À 20 m du fil, le champ magnétique est

0 2

7

6

2

4 10 500

2 20 5 10 0, 05

Tm A

B µ I r

A m T G π π

π

−

=

× ⋅

= ⋅

= ×

=

Comme ce champ est vers l’est selon la règle de la main droite, on a

2 2

0, 05 0

x y

B G

=

= Les composantes de champ total sont donc

1 2

0 0,05 0,05

x x x

B B B

G G

G

= +

= et

1 2

0,5 0

0,5

y y y

B B B

G G

G

= +

= La direction du champ est donc

(9)

Version 2022 9- les sources de champ magnétique 9 arctan

arctan 0,5 0, 05 84, 29

y x

B B

G G θ =

=

= °

Sans le fil, la boussole pointe vers le nord, donc vers l’axe des y. L’orientation sans fil est donc de 90°. Avec le fil, la direction est de 84,29°. La déviation est donc de

90° - 84,29° = 5,71°

La boussole dévie donc de 5,71° vers l’est.

5.

a) Le champ est

0

7

5

2

4 10 20

2 0, 4 1 10

Tm A

B µ I r

A m T π π

π

−

=

× ⋅

= ⋅

= × Ce champ de 10 µT entre dans la feuille.

b) La force sur la charge est

6 5

8

sin

4 10 1000 1 10 sin 90 4 10

m s

F qvB

C T

N θ

− −

−

=

= × ⋅ ⋅ × ⋅ °

= ×

Cette force est vers le haut. (La charge est repoussée par le fil.)

6.

a) Le champ magnétique fait par le fil parcouru par un courant de 10 A est

0

7

6

2

4 10 10

2 0,5 4 10

Tm A

B µ I r

A m T π π

π

−

=

× ⋅

= ⋅

= ×

(10)

Version 2022 9- les sources de champ magnétique 10 Selon la règle de la main droite, ce champ est dans la direction suivante.

Les composantes du champ sont donc

1

6 1

0 4 10

x y

B T

B ⁻ T

=

= − ×

Le champ magnétique fait par le fil parcouru par un courant de 8 A est

0

7

6

2

4 10 8

2 0, 2 8 10

Tm A

B µ I r

A m T π π

π

−

=

× ⋅

= ⋅

= ×

Les composantes du champ sont donc

6 2

2

8 10 0

x y

B T

= − × −

=

(11)

Version 2022 9- les sources de champ magnétique 11 Les composantes de champ total sont donc

1 2

6 6

0 8 10

8 10

x x x

B B B

T T

T

−

= +

= − ×

= − × et

1 2

6 6

4 10 0

4 10

y y y

B B B

T T T

−

= +

= − × +

= − × La grandeur du champ est donc

( ) ( )

2 2

6 6

6

8 10 4 10

8,944 10

x y

B B B

T T

T

− −

−

= +

= − × + − ×

= ×

et la direction est

6 6

arctan arctan 4 10

8 10 206, 6

y x

B B

T T θ

−

=

= − ×

− ×

= °

b) La force est

6 4

sin

3 5 8,944 10 sin 90 1,342 10

F IlB

A m T

N θ

−

=

= ⋅ ⋅ × ⋅ °

= ×

Selon la règle de la main droite, la force est dans cette direction.

(12)

Version 2022 9- les sources de champ magnétique 12 La direction de ce vecteur est 90° inférieurs à celle du champ magnétique, c’est- à-dire que la direction de ce vecteur est de 116,6°.

La force est donc de 1,342 x 10^-4 N à 116,6°.

7.

Ces deux forces s’annulent.

De même que ces deux forces.

(13)

Version 2022 9- les sources de champ magnétique 13 Il ne reste donc qu’à trouver les forces sur les fils verticaux. Commençons par le fil qui est à 10 cm du fil infini. À cette distance, le champ du fil infini a la grandeur suivante.

0

7

4

2

4 10 70

2 0,1 1, 4 10

Tm A

B µ I r

A m T π

π π

−

=

× ⋅

= ⋅

= ×

Le champ entre dans la feuille.

La force sur le fil

4 4

sin

6 0,15 1, 4 10 sin 90 1, 26 10

F IlB

A m T

N θ

−

=

= ⋅ ⋅ × ⋅ °

= ×

Cette force est vers la gauche.

Continuons par le fil qui est à une distance de 20 cm du fil infini. À cette distance, le champ du fil infini a la grandeur suivante.

0

7

5

2

4 10 70

2 0, 2 7 10

Tm A

B µ I r

A m T π π

π

−

=

× ⋅

= ⋅

= × Le champ entre dans la feuille.

La force sur le fil

5 5

sin

6 0,15 7 10 sin 90 6,3 10

F IlB

A m T

N θ

−

=

= ⋅ ⋅ × ⋅ °

= ×

Cette force est vers la gauche.

Finissons par le fil qui est à une distance de 35 cm du fil infini. À cette distance, le champ du fil infini a la grandeur suivante.

(14)

0

7

5

2

4 10 70

2 0,35 4 10

Tm A

B µ I r

A m T π π

π

−

=

× ⋅

= ⋅

= × Le champ entre dans la feuille.

La force sur le fil

5 5

sin

6 0,3 4 10 sin 90 7, 2 10

F IlB

A m T

N θ

−

=

= ⋅ ⋅ × ⋅ °

= ×

Cette force est vers la droite.

La force nette en x est donc (avec un axe positif vers la droite)

4 5 5

4

1, 26 10 6,3 10 7, 2 10

1,17 10

Fx N N N

N

− − −

−

= − × + − × + ×

= − ×

La force nette est donc de 1,17 x 10^-4 N vers la gauche.

8.

Le champ fait par le fil infini est

0

7

6

2

4 10 20

2 0,80 5 10

Tm A

B µ I r

A m T π π

π

−

=

× ⋅

= ⋅

= × La force sur le fil de 5 m de long est donc

6

sin

40 5 5 10 sin 90 0,001

F IlB

A m T

N θ

−

=

= ⋅ ⋅ × ⋅ °

=

Puisque les courants sont dans le même sens, la force est attractive.

(15)

9.

Le champ fait par le fil 1 est

0 1 1

1 7

6

2

4 10 1

2 0, 20 1 10

Tm A

B µ I r

A m T π π

π

−

=

× ⋅

= ⋅

= ×

La figure montre la direction de ce champ à l’endroit où est situé le fil 4.

Les composantes de ce champ sont donc

6 1

1

1 10 0

x y

B T

B

= × −

= Le champ fait par le fil 2 est

0 2 2

2 7

6

2

4 10 5

2 2 0, 20 3,5355 10

Tm A

B µ I r

A m T π

π π

−

=

× ⋅

= ⋅ ⋅

= ×

(16)

Version 2022 9- les sources de champ magnétique 16 Les composantes de ce champ sont donc

( )

6 6

2

6 6

2

3,5355 10 cos 45 2,5 10 3,5355 10 sin 45 2,5 10

x y

B T T

− −

= × ⋅ − ° = ×

= × ⋅ − ° = − ×

Le champ fait par le fil 3 est

3 0 3 2

7

6

2

4 10 2

2 0, 20 2 10

Tm A

B µ I r

A m T π π

π

−

=

× ⋅

= ⋅

= ×

Les composantes de ce champ sont donc

(17)

3

6 3

0 2 10

x y

B

B ⁻ T

=

= − × Les composantes de du champ total sont donc

6 6 6

1 2 3

6 6 6

1 2 3

1 10 2,5 10 0 3,5 10

0 2,5 10 2 10 4,5 10

x x x x

y y y y

B B B B T T T T

− − −

= + + = × + × + = ×

= + + = + − × + − × = − ×

La grandeur du champ est

( ) ( )

2 2

6 6

6

3,5 10 4,5 10

5, 701 10

x y

B B B

T T

T

− −

−

= +

= × + − ×

= ×

et sa direction est

6 6

arctan

4,5 10 arctan

3,5 10 52,12

y x

B B

T T θ

−

=

− ×

= ×

= − °

La force sur le fil 4 est donc

6 4

sin

4 10 5, 701 10 sin 90 2, 28 10

F IlB

A m T

N θ

−

=

= ⋅ ⋅ × ⋅ °

= ×

(18)

Version 2022 9- les sources de champ magnétique 18 La direction est, selon la règle de la main droite

-52,1° - 90° = -142,1° (ou 217,9°)

10.

Les deux bouts de fils sur la figure avec un X rouge ne contribuent pas au champ puisque le point P est aligné avec le fil.

Il ne reste que le bout de fils de 200 cm de long. Le champ de ce fil est

( ) ( ) ( ) ( )

0 1 2

2 2 2 2

1 2

7

2 2 2 2

6

4

4 10 16 0,8 1, 2

4 0,8 0,8 0,8 1, 2 0,8

3, 078 10

Tm A

µ I y y

B R y R y R

A m m

m m m m m

T π

π π

−

= +

+ +

× ⋅

= ⋅ +

⋅ + +

= ×

Le champ est de 3,078 µT, en entrant dans la feuille.

(19)

11.

Avant de trouver le champ, on va trouver la distance entre le fil et le point P. Cette distance est

cos 60 5

2,5 R

m

R m

= °

= Le champ est

0 1 2

7

cos cos

4

4 10 8

cos 30 cos 90 4 2,5

2, 771 10

Tm A

B µ I R

A m

T

θ θ

π π

π

−

= −

× ⋅

= ⋅ ° − °

⋅

= ×

12.

Les deux fils rectilignes ne font pas de champ au point P. Il ne resta alors que l’arc de cercle. Le champ est donc

0

7

5

4

4 10 10

4 0, 2 1,571 10

Tm A

B µ I a

A m T π β

π π

π

−

=

× ⋅

= ⋅

⋅

= ×

13.

Les deux petits bouts de fils rectilignes ne font pas de champ au point P. Il ne reste donc que les deux arcs de cercle. L’arc avec le plus grand rayon fait le champ suivant.

1 0

7

5

4

4 10 12

4 0, 24 1,571 10

Tm A

B µ I a

A m T π β

π π

π

−

=

× ⋅

= ⋅

⋅

= ×

Ce champ entre dans la page.

(20)

Version 2022 9- les sources de champ magnétique 20 L’arc avec le plus petit rayon fait le champ suivant.

2 0

7

5

4

4 10 12

4 0,16 2,356 10

Tm A

B µ I a

A m T π β

π π

π

−

=

× ⋅

= ⋅

⋅

= ×

Ce champ sort dans la page.

Additionnons maintenant les deux champs. En prenant un axe positif qui sort de la page, on a

1 2

5 5

6

1,571 10 2,356 10 7,85 10

B B B

T T

− −

−

= +

= − × + ×

= ×

On a donc un champ de 7,85 µT qui sort de la page.

14.

On a deux fils infinis et un arc de cercle.

Le champ du fil infini horizontal est

0

1 1 2

7

6

cos cos 4

4 10 10

cos 0 cos 90 4 0, 4

2,5 10

Tm A

B µ I R

A m T

θ θ

π π

π

−

= −

× ⋅

= ⋅ ° − °

⋅

= ×

Le champ de l’arc de cercle est

0 2

7

6

4

4 10 10

4 0, 4 2

3,927 10

Tm A

B µ I a

A m T π β

π π

π

−

=

× ⋅

= ⋅

⋅

= ×

(21)

Version 2022 9- les sources de champ magnétique 21 Le champ du fil infini vertical est

3 0 1 2

7

6

cos cos

4

4 10 10

cos 90 cos180 4 0, 4

2,5 10

Tm A

B µ I R

A m T

θ θ

π π

π

−

= −

× ⋅

= ⋅ ° − °

⋅

= ×

Additionnons maintenant les trois champs. En prenant un axe positif qui entre dans la page, on a

1 2 3

6 6 6

6

2,5 10 3,927 10 2,5 10 8,927 10

B B B B

T T T

T

− − −

−

= + +

= × + × + ×

= ×

On a donc un champ de 8,927 µT qui entre de la page.

15.

On a 4 fils rectilignes. Le fil du haut fait un champ de

0

1 1 2

7

6

cos cos

4

4 10 2

cos 45 cos135 4 0, 25

1,131 10

Tm A

B µ I R

A m T

θ θ

π π

π

−

= −

× ⋅

= ⋅ ° − °

⋅

= ×

Ce champ entre dans la feuille.

Le fil de droite fait un champ de

0

1 1 2

7

6

cos cos

4

4 10 2

cos 45 cos135 4 0, 25

1,131 10

Tm A

B µ I R

A m T

θ θ

π π

π

−

= −

× ⋅

= ⋅ ° − °

⋅

= ×

(22)

Version 2022 9- les sources de champ magnétique 22 Le fil du bas fait un champ de

1 0 1 2

7

6

cos cos

4

4 10 2

cos 45 cos135 4 0, 25

1,131 10

Tm A

B µ I R

A m T

θ θ

π π

π

−

= −

× ⋅

= ⋅ ° − °

⋅

= ×

Le fil de gauche fait un champ de

1 0 1 2

7

6

cos cos

4

4 10 2

cos 45 cos135 4 0, 25

1,131 10

Tm A

B µ I R

A m T

θ θ

π π

π

−

= −

× ⋅

= ⋅ ° − °

⋅

= ×

Additionnons maintenant les quatre champs. En prenant un axe positif qui entre dans la page, on a

1 2 3

6 6 6 6

6

1,131 10 1,131 10 1,131 10 1,131 10 4,525 10

B B B B

T T T T

T

− − − −

−

= + +

= × + × + × + ×

= ×

On a donc un champ de 4,525 µT qui entre de la page.

16.

_{On a}

0

7

2

4 10 2

0,002

2 0,12 191

Tm A

B µ NI a

N A

T m

N π ⁻

=

× ⋅ ⋅

= ⋅

=

17.

On a 3 fils rectilignes et un arc de cercle. Le fil de gauche fait un champ de

(23)

( ) ( ) ( ) ( )

0 1 2

1 2 2 2 2

1 2

7

2 2 2 2

7

4

4 10 10 1 1

4 2 1 2 1 2

4, 472 10

Tm A

µ I y y

B R y R y R

A m m

m m m m m

T π

π π

−

= +

+ +

× ⋅

= ⋅ +

⋅ + +

= ×

Ce champ sort de la feuille.

Le fil du haut fait un champ de

( ) ( ) ( ) ( )

0 1 2

2 2 2 2 2

1 2

7

2 2 2 2

7

4

4 10 10 0 2

4 1 0 1 2 1

8,944 10

Tm A

µ I y y

B R y R y R

A m m

m m m m m

T π

π π

−

= +

+ +

× ⋅

= ⋅ +

⋅ + +

= ×

L’arc de cercle fait un champ de

3 0

7

6

4

4 10 10

4 1 3,1416 10

Tm A

B µ I a

A m

T π β

π π

π

−

=

× ⋅

= ⋅

⋅

= ×

Le fil du bas fait un champ de

( ) ( ) ( ) ( )

0 1 2

4 2 2 2 2

2 1

7

2 2 2 2

7

4

4 10 10 2 0

4 1 2 1 0 1

8,944 10

Tm A

µ I y y

B R y R y R

A m m

m m m m m

T π

π π

−

= +

+ +

× ⋅

= ⋅ +

⋅ + +

= ×

(24)

Version 2022 9- les sources de champ magnétique 24 Ce champ sort de la feuille.

Additionnons maintenant les quatre champs. En prenant un axe positif qui sort dans la page, on a

1 2 3 4

7 7 6 7

6

4, 472 10 8,944 10 3,1416 10 8,944 10 5,378 10

B B B B B

T T T T

T

− − − −

−

= + + +

= × + × + × + ×

= ×

On a donc un champ de 5,378 µT qui sort de la page.

18.

Le champ est

0

7

4

4 10 684 0,0491

0,172 2, 454 10

Tm A

B µ NI L

A m

T π ⁻

−

=

× ⋅ ⋅

=

= ×

19.

_{On a}

0

4 10 7 20

0,08 0, 2

636,6

Tm A

B µ NI L T I

m

I A

π ⁻

=

× ⋅ ⋅

=

20.

a) La densité de courant dans le fil est

( )

2

²

aire du fil

5 0, 02 3979_m^A J I

I R

A m π

π

=

⋅

=

(25)

Version 2022 9- les sources de champ magnétique 25 On va maintenant faire une trajectoire centrée sur le centre du fil et qui a un rayon de 1 cm.

Le courant qui traverse cette trajectoire est

( )

int int

2

²

3979 0,01

1, 25

A m

I JA J r

m A

π π

=

= ⋅ ⋅

= On a donc

0 int 7 5

2

2 0,01 4 10 1, 25 2,5 10 T

Tm A

B r µ I

B m A

B π

π π ⁻

−

=

⋅ ⋅ = × ⋅

= ×

b) On va faire une trajectoire centrée sur le centre du fil et qui a un rayon de 10 cm.

On a donc

(26)

0 int 7 5

2

2 0,1 4 10 5

1 10 T

Tm A

B r µ I

B m A

B π

π π ⁻

−

=

⋅ ⋅ = × ⋅

= ×

21.

a) On va faire une trajectoire circulaire de 1 cm de rayon. Cette trajectoire est

Comme il n’y a pas de courant qui traverse cette trajectoire, on a

0 int 7

2

2 0,01 4 10 0

0T

Tm A

B r µ I

B m A

B π

π π ⁻

=

⋅ ⋅ = × ⋅

=

b) On va maintenant faire une trajectoire ayant un rayon de 4 cm.

Il n’y a qu’une partie du courant qui passe dans la trajectoire. La densité de courant dans le fil est

(27)

( )

²

( )

²

aire du fil 14

0,06 0,02

1,3926_m^A J I

mA

m m

π π

=

= ⋅ − ⋅

=

Le courant dans la trajectoire est donc

( ) ( )

( )

int int

2 2

1,3926 ² 0,04 0,02

5, 25

A m

I JA

m m

mA

π π

=

= ⋅ ⋅ − ⋅

=

Le théorème d’Ampère nous donne donc

0 int 7

8

2

2 0,04 4 10 0,00525 2,625 10 T

Tm A

B r µ I

B m A

B π

π π ⁻

−

=

⋅ ⋅ = × ⋅

= ×

c) On va finalement faire une trajectoire ayant un rayon de 10 cm.

Dans ce cas, le courant passe au complet dans la trajectoire. On a donc

0 int 7 8

2

2 0,1 4 10 0,014

2,8 10 T

Tm A

B r µ I

B m A

B π

π π ⁻

−

=

⋅ ⋅ = × ⋅

= ×

22.

a) On va faire une trajectoire circulaire de 1 cm de rayon. Cette trajectoire est

(28)

Version 2022 9- les sources de champ magnétique 28 Il n’y a qu’une partie du courant du fil central qui passe dans la trajectoire. La densité de courant dans le fil central est

( )

²

aire du fil 1, 2

0,02 954,9_m^A J I

A π m

=

⋅

= Le courant dans la trajectoire est donc

( )

int int

2

954,9 ² 0,01 0,3

A m

I JA

m A

π

=

= ⋅ ⋅

=

0 int 7 6

2

2 0,01 4 10 0,3

6 10 T

Tm A

B r µ I

B m A

B π

π π ⁻

−

=

⋅ ⋅ = × ⋅

= ×

b) On va maintenant faire une trajectoire ayant un rayon de 3 cm.

(29)

Version 2022 9- les sources de champ magnétique 29 Dans ce cas, le courant du fil passe au complet dans la trajectoire. On a donc

0 int 7 6

2

2 0,03 4 10 1, 2

8 10 T

Tm A

B r µ I

B m A

B π

π π ⁻

−

=

⋅ ⋅ = × ⋅

= ×

c) On va maintenant faire une trajectoire ayant un rayon de 5 cm.

Tout le courant de la partie centrale passe dans la trajectoire, plus une partie du courant dans le cylindre externe. La densité de courant dans le cylindre externe est

( )

²

( )

²

aire du fil 1, 2

0,06 0,04

191_m^A J I

A

m m

π π

=

⋅ − ⋅

=

Le courant dans la trajectoire est donc

(30)

( ) ( )

( )

int int

2 2

191 ² 0,05 0,04

0,54

A m

I JA

m m

A

π π

=

= ⋅ ⋅ − ⋅

=

( )

0 int 7

6

2

2 0,05 4 10 1, 2 0,54 2,64 10 T

Tm A

B r µ I

B m A A

B π

π π ⁻

−

=

⋅ ⋅ = × ⋅ −

= ×

d) On va finalement faire une trajectoire ayant un rayon de 8 cm.

Maintenant, les deux courants passent au complet dans la trajectoire. On a donc

( )

0 int 7

2

2 0,08 4 10 1, 2 1, 2

0T

Tm A

B r µ I

B m A A

B π

π π ⁻

=

⋅ ⋅ = × ⋅ −

=

23.

Pour trouver le champ, on va séparer le disque en petits anneaux. On sommera le champ fait par chacun de ces anneaux pour trouver le champ magnétique total.

On doit donc trouver le champ fait par un anneau, on va prendre la loi de Biot-Savart Chaque petit morceau génère un champ dont la grandeur est

(31)

0

2 sin

4

dB µ Ids

r φ

= π

Dans cette formule, φ est toujours 90°.

On voit que ce champ n’est pas toujours dans la même direction.

On va séparer en composante et garder seulement la composante z (les autres composantes vont s’annuler 2 à 2 comme pour les deux champs montrés sur la figure). Cette composante est

cnx.org/contents/A6AqGAGN@7/Magnetic-Field-of-a-Current-Loop

2 2

z cos dB dB

dBR r dB R

R x φ

=

+ Le champ total est donc

0 2

0 3

4 4

z

B dBR r

µ R

r Ids r µ RI ds

r π π

=

∫

Comme la somme des distances sur l’anneau est 2πR, on a

0 3 2 0

3

4 2

2

z

B µ RI R r µ R I

r π π

=

Comme r= R²+x² , on a

(32)

( )

2 0 2 2 3/2 z 2

µ R I B

R x

=

+ On peut maintenant retourner au disque, formé de plusieurs anneaux.

Ici, chaque anneau de rayon r fait le champ

( )

2 0 2 2 3/2 z 2

µ r I dB

r x

=

+

Il faut trouver le courant dans chaque anneau généré par la rotation du disque. En un tour, la charge de l’anneau passe au complet en un point. Le courant est donc

I dq

= T

www.chegg.com/homework-help/magnetic-field-rotating-charged-disk- circular-disk-radius-un-chapter-4-problem-5p-solution-9780132433846-exc

La charge de l’anneau est égale à l’aire de l’anneau, multiplié par la charge surfacique

2 dq dA

rdr σ σ π

=

= Comme la charge surfacique est

2

Q σ R

=π On a

2

2 2 2 dq rdr

Q rdr R

Q rdr R σ π

π π

=

= Le courant est donc

(33)

2 2 I dq

T

Q rdr TR

=

= Comme T = 2π/ω, le courant est

2

2 2

I Q rdr R Q rdr

R ω π

ω π

=

= Le champ d’un anneau est donc

( )

2 0 2 2 3/2

2 0

3/2 2

2 2

2

z

µ r I dB

r x

µ r Q

R rdr r x

ω π

=

+

=

+

Si on somme les champs de tous les anneaux, on a

( )

2 0

3/2 2

2 2

0

3 0

2 2 2 3/2

0

2

R z

R

µ r Q

B rdr

r x R

µ Q r

R r x dr ω π ω

π

=

+

=

+

∫

Si on fait l’intégrale, on obtient

2 2

0

2 2 2

0

2 2 2

0

2 2 2 2

2 2

0

2 2 2

2 2

2

2 2

2

R z

µ Q r x

B R r x

µ Q R x x

R R x x

µ Q R x

R R x x ω

π ω π

ω π

 + 

=  

 + 

 + 

=  − 

 + 

 + 

=  − 

 + 

(34)